Nội dung

Đề thi Hướng tới Olympic Toán năm 2013 Khối 10 Bài 1. Cho dãy số nguyên dương $\{a_n\}$ thỏa mãn điều kiện $m+n$ chia hết cho $a_m+a_n$ với mọi $m, n$ nguyên dương. Hãy tìm tất cả các giá trị có thể có của $a_{2012}$. Bài 2. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $UV$ là một dây cung của $(O)$. Giả sử $UV$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $Q$ và $P$. Gọi $M, N, J, R$ theo thứ tự là trung điểm $BP, CQ, PQ$ và $UV$. Chứng minh rằng $R$ nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNJ$. Bài 3. Chứng minh rằng với mọi $x,y,z>0$ ta có: $$\dfrac{3x}{y}+\dfrac{4y}{z}+16\sqrt{\dfrac{z}{3x+y}} \ge 15$$ Bài 4. Hỏi có thể phủ bàn cờ $8 \times 8$ bằng $9$ hình vuông $2 \times 2$ và $7$ hình chữ $Z$ được hay không? Giải thích rõ câu trả lời. Khối 11 Bài 1. Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} + \frac{1}{{{{(a + b + c)}^2}}} \ge \frac{7}{{25}}{\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{{a + b + c}}} \right)^2}\] Bài 2. Cho tứ giác lồi $ABCD$ thỏa mãn $\widehat{ABC}+\widehat{BCD}<180^0$. Giả sử hai đường thẳng $AB$ và $CD$ cắt nhau tại $E$. Chứng minh rằng ta có $\widehat{ABC}=\widehat{ADC}$ khi và chỉ khi $AC^2=|AB.AE-CD.CE|$ Bài 3. Gọi $S$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $2011$ chữ số có dạng $\overline{a_{2011}a_{2010}...a_2a_1}$ thỏa mãn điều kiện $a_i \equiv i \pmod 2$ với mọi $i=1,2,3...,2011$. Tính số tất cả các cặp số $(x,y)$ với $x,y \in \mathbb{Z},\,x < y$ sao cho $ x + y$ chia hết cho $5^{2011}$. Bài 4. Trong chương trình Gặp gỡ Toán học lần IV có tổng cộng $673$ tựa sách và quyết định tổ chức đăng ký mua sách cho các thành viên tham gia. Sau khi thu phiếu đăng ký, ban tổ chức phát hiện các điều thú vị sau: 1) Tất cả các bạn đều đăng ký mua đúng ba tựa sách. 2) Hai bạn bất kì đăng ký mua giống nhau ít nhất một tựa sách. 3) Không có tựa sách nào được tất cả các thành viên đăng ký mua. 4) Không có ba bạn nào mua ba tựa sách giống nhau. Chứng minh rằng ở kỳ Gặp gỡ Toán học lần này có nhiều nhất $2011$ bạn tham gia giao lưu và học tập. Khối 12 Bài 1. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực: $$\begin{cases}2x=y^3-y^2+2\\2y=z^3z^2+2\\2z=x^3-x^2+2\end{cases}$$ Bài 2. Cho hai đường tròn $(O)$ và $(O')$ có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A,B$. Gọi $PQ$ là tiếp tuyến chung gần $A$ hơn của hai đường tròn với $P$ thuộc $(O)$ và $Q$ thuộc $(O')$. Gọi $C$ là điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $PQ$. Chứng minh rằng: 1) Tiếp tuyến kẻ từ $C$ đến hai đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPQ$ đi qua tâm vị tự ngoài của hai đường tròn $(O)$, $(O')$. 2) Đường thẳng qua $P$ vuông góc với $BQ$, đường thẳng qua $B$ vuông góc với $PB$ và đường thẳng $OO'$ đồng quy. Bài 3. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ chẵn sao cho nếu đặt $$a_n=\dfrac{1}{1!.(n-1)!}+\dfrac{1}{3!.(n-3)!}+...+\dfrac{1}{(n-1)!.1!}$$ thì phương trình $2^{x_n}=a_n(2y_n+1)$ có nghiệm nguyên dương $(x_n,y_n)$. Bài 4. Trong một đất nước có $54$ thành phố, mỗi thành phố có một sân bay. Giữa hai thành phố bất kì có đúng một đường bay nối trực tiếp giữa chúng và mỗi đường bay thuộc sỡ hữu của một hãng hàng không duy nhất. Biết rằng có $4$ hãng hàng không đang hoạt động trên nước này. Chứng minh rằng tồn tại một hành trình bay vòng quanh một số thành phố (lớn hơn $2$) sao cho tất cả các đường bay trên hành trình đó đều thuộc sở hữu của một hãng hàng không.