Nội dung

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Bài1: ( 4 điểm) Cho hàm số y  2 x  m x 2  2 x  2 1. Tìm các tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi m = 3 2. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại một điểm xo<-2 Bài 2: ( 4điểm) 1. Tìm m để nghiệm của bất phương trình sau chứa đoạn 1;2 2 m x 2  3x  1  2 0 x  3x  1 2. Giải bất phương trình: 2 2 2 (2m) x  4 x 6  (1  m 2 ) x  4 x  6  (1  m 2 ) x  4 x  6 Với 0 < m < 1 Bài 3: ( 4điểm) 1. Giải phương trình: log cos x (1  cos x ) log cos x sin x  (1  sin x) ãgonx 2. Cho ABC. Tìm giá trị lớn nhất của sinC biết: 1 sin2 A + sin2 B = k sin2C Với k > 2 Bài 4: ( 2 điểm) Tìm các đa thức f(x) thoả mãn: x.f(x-1) = (x-3) f(x) Bài 5: ( 6 điểm) 1. Lập phương trình của Parabol (P) có tiêu điểm F(3;2) và đỉnh S(2;1). 2. Cho tứ diện OABC, đỉnh S có ba mặt vuông. Gọi H là hình chiếu của O lên đáy ABC. Chứng minh rằng: a) 1 1 1 1    2 2 2 OH OA OB OC 2 b) S 2 ABC  S 2 OBC  S 2 OAC  S 2 OAB ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 MÔN: TOÁN THỜI GIAN: 180' Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số: y 1 3 1 x  mx 2  2 x  2m  (cm) 3 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 2. Tìm m  (0; 56 ) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đườ ng thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4. Bài 2: (4 điểm). 1. Giải các phương trình: 3 tgx  1 (sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x). 2. giải phương trình: [ 2x + 2.log7(x + 3)] Bài 3: ( 4 điểm). log22 x + x.log7(x + 3)= log2x 1. Tìm a để phương trình sau có nghiệm. a  a  sin x = sin x 2. Tìm a để phương trình sau có đúng 3 nghiệm phân biệt. x3  1 x x  2(a  1) x2 1 x 1  4(1  a).  4a  6  0 x x Bài 4( 4 điểm). 1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O bán kính R. Gọi R1, R2, R3 lần lượt là các bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA, AOB. Cho biết: R1+R2+R3 = 3R. Tính 3 góc của ABC 2. Cho (E): x2 + 4y2 = 4 . M là điểm thay đổi trên đường thẳng y=2. Từ M kẻ đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T1, T2. Tìm vị trí của M để đường tròn tâm M tiếp xúc với đường thẳng T 1, T2 có bán kính nhỏ nhất. Bài 5:( 4 điểm). 1. Cho hàm số f(x) xác định và dương trên R thỏa mãn:  f '2 ( x)  4 f ' ( x). f ( x)  f 2 ( x)  0   f (0)  1 Tìm hàm số f(x). 2. Cho tứ diện ABCD có trọng tâm là G. Các đường thẳng AG, BG, CG, DG kéo dài lần lượt cắt mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ở A1, B1, C1, D1 CMR: GA1  GB1  GC1  GD1  GA  GB  GC  GD -NKL-THPT B¶n Ngµ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 ( Thời gian 180 phút) Giáo viên:Lê Việt Cường Bài 1:(4 điểm) Cho hàm số y = x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m a). khảo sát hàm số khi m=-1 b) Tìm m để phương trình x3 -(3+2m)x2 +5mx +2m = 0 có 3 nghiệm phân biệt. Bài 2:(5 điểm)  Cho phương trình x x  x  12  m 5  x  4  x  a) Giải phương trình khi m = 12 b) Tìm m để phương trình có nghiệm Bài 3: (4 điểm) Tính 2005 Lim x  0 Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình 1  10 x .2006 1  100 x  1 x log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2 Bài 5: (4 điểm) Cho tứ diện ABCD, gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. G1, G2, G3, G4 lần lượt là trọng tâm các mặt BCD, ACD, ABD, ABC. Đặt AG1 = m1, BG2 = m2, CG3 = m3, DG4 = m4. CMR: ABCD là tứ diện đều khi và chỉ khi m1+m2+m3+m4 = 16R 3