Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12

pdf
Số trang Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 13 Cỡ tệp Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 410 KB Lượt tải Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 0 Lượt đọc Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12 67
Đánh giá Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 12
4.2 ( 5 lượt)
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Đang xem trước 10 trên tổng 13 trang, để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chủ đề liên quan

Nội dung

Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Th¸i B×nh ®Ò chÝnh thøc §Ò thi chän häc sinh giái líp 12 THpt M«n thi: To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Câu 1. (3 điểm) 3 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số: y  x  3 x  2 () 2. Gọi d là đường thẳng đi qua M(2;0) và có hệ số góc k. Tìm k để đường thẳng d cắt () tại 4 điểm phân biệt. Câu 2. (4 điểm)  x1  1  1. Cho dãy số (xn) xác định bởi:  2008 với n  1 .  x n 1  1  1  x  n Chứng minh rằng (xn) có giới hạn và tìm giới hạn đó. 2. Tìm m để phương trình: x  y  2x(y  1)  m  2 có nghiệm. Câu 3. (2 điểm) 1 Cho  a, b,c, d  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4 1 1 1 1     F  log a  b    log b  c    log c  d    log d  a   4 4 4 4     Câu 4. (3 điểm) 1. Giải phương trình: x 2  x  2008 1  16064x  2008 2. Tìm nghiệm của phương trình cos x  sinx  cos2x 1  sin 2x  0 thỏa mãn: 2008  x  2009 Câu 5. (2 điểm) Cho tam giác ABC biết A(1; 2), hai đường phân giác trong của góc B và C lần lượt có phương trình là: (d1 ) : 3x  y  3  0 và (d 2 ) : x  y  1  0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC. Câu 6. (4 điểm) Cho một tam diện vuông Oxyz và một điểm A cố định bên trong tam diện. Gọi khoảng cách từ A đến ba mặt phẳng Oyz, Ozx, Oxy lần lượt là a, b, c. Một mặt phẳng (α) qua A cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại M, N, P. a b c   1 1. Chứng minh rằng: OM ON OP 2. Xác định vị trí của mặt phẳng (α) để thể tích của tứ diện OMNP đạt giá trị nhỏ nhất. Khi thể tích tứ diện OMNP nhỏ nhất, hãy chỉ rõ vị trí điểm A. 2 3. Chứng minh rằng:  MN  NP  PM   6  OM 2  ON 2  OP 2  0  a  b  c  d Câu 7. (2 điểm) Cho  . Chứng minh rằng: a b .bc .cd .da  a d .d c .cb .ba  bc  ad --- Hết --Họ và tên thí sinh: ................................................................. Số báo danh: ................ §Ò thi chän häc sinh giái líp 12 N¨m häc 2009 – 2010 Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Th¸i B×nh Tr­êng THPT Lª Quý §«n ********* M«n: To¸n Thêi gian lµm bµi: 180 phót Bµi 1: (6 ®iÓm) 1/ T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè: y  x 2  3 x  m  3 cã 3 x ®iÓm cùc trÞ. Khi ®ã chøng minh r»ng c¶ 3 ®iÓm cùc trÞ nµy ®Òu n»m trªn ®­êng cong cã ph­¬ng tr×nh: y  3( x  1)2 . 2/ Cho ®å thÞ (C) cã ph­¬ng tr×nh: y  x  4 x 2  2 x  1 T×m trªn trôc tung ®iÓm A sao cho qua A kÎ ®­îc Ýt nhÊt mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) Bµi 2: (3 ®iÓm) Cho c¸c gãc cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n: sin 2 A  sin 2 B  2005 sin C BiÕt gãc A, B nhän. TÝnh gãc C. Bµi 3: (4 ®iÓm) Trong hÖ trôc to¹ ®é 0xy cho 3 ®iÓm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) víi a>0, b>0. 1/ ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn tiÕp xóc víi AB t¹i B. 2/ Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®­êng trßn ë c©u 1/. Gäi d1, d2, d3 lÇn l­ît lµ kho¶ng c¸ch tõ M tíi AB, AC vµ BC. Chøng minh r»ng: d1 .d 2  d32 Bµi 4: (5 ®iÓm) 1/ Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2004 x  2006 x  2.2005x 2/ Víi gi¸ trÞ nµo cña m bÊt ph­¬ng tr×nh: log 2 x 2  2x  m  4 log 4 (x 2  2x  m)  5 nghiÖm ®óng víi mäi x   0;2  Bµi 5: (2 ®iÓm) XÐt c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n: x 3 x 1  3 y  2  y H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P  x  y -------------------- §¸p ¸n vµ biÓu ®iÓm Bµi Néi dung Bµi 1: 1/ T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ hµm sè: y  x 2  3x  ®iÓm 3® m  3 cã 3 ®iÓm cùc trÞ. x Khi ®ã chøng minh r»ng c¶ 3 ®iÓm cùc trÞ nµy ®Òu n»m trªn ®­êng cong cã ph­¬ng tr×nh: y  3( x  1)2 . 1/ + TX§: D  R \ 0 m 2x 3  3x 2  m + TÝnh y '  2x  3  2  x¸c ®Þnh x  D 2 x x + Hµm sè cã ba cùc trÞ  y '  0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt x1 , x 2 , x 3 vµ ®æi dÊu qua c¸c nghiÖm ®ã.  ph­¬ng tr×nh f(x)  2x 3  3x 2  m  0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt x1 , x 2 , x3 cïng kh¸c 0. f(0)  0  f(x)cã cã C§, CT mµ fC§ .fCT  0  XÐt f(x)   m  0  m  0  XÐt f(x)  2x 3  3x 2  m x  0 Cã f '(x)  6x 2  6x  f '(x)  0   x  1 x - 0 0 f(x) + 0 0 Hµm sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x  0  fC§  f(0)  m Hµm sè ®¹t cùc tiÓu t¹i x  1  fCT  f)(1)  1  m 1 2 1 2 + +  fC§ .fCT  0  m(m  1)  0  1  m  0 Do ®ã hµm sè cã 3 cùc trÞ  1  0 * Gäi 3 ®iÓm cùc trÞ lµ A(x1 ;y1 ), B(x 2 ;y 2 );C(x 3 ;y 3 ) víi x1 , x 2 , x 3 lµ 1 2 1 2 ba nghiÖm cña f(x)  2x 3  3x 2  m  0 + Chøng minh: Víi hµm sè y (x)  u(x) , x 0  TX§, y'(x0 )  0, v '(x0 )  0 v(x) u '(x 0 ) v '(x 0 ) Tõ ®ã y1  y (x1 )  3x12  6x1  3 y (x0 )  y 2  y (x2 )  3x 22  6x 2  3 y 3  y (x3 )  3x32  6x3  3 th×: 1 2 Chøng tá to¹ ®é 3 ®iÓm cùc trÞ tho¶ m·n ph­¬ng tr×nh: y  3x  6x  3  y  3(x  1) 2 1 2 2 2/ Cho ®å thÞ (C) cã ph­¬ng tr×nh: y  x  4 x 2  2 x  1 T×m trªn trôc tung ®iÓm A sao cho qua A kÎ ®­îc Ýt nhÊt mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) V× 4x 2  2x  1  (x  1)2  3x 2  0x  R + TX§: R 4x  1 + TÝnh y '  1  3® 1 4 1 4 4x 2  2x  1 + LÊy ®iÓm M(x 0 ;y 0 )  (C)  y 0  x 0  4x 20  2x 0  1  TiÕp tuyÕn (d) cña (C) t¹i M cã ph­¬ng tr×nh d¹ng: y  y 0  y '(x0 ) .(x  x 0 )   4x 0  1   (x  x 0 )  x 0  4x 20  2x 0  1  y  1  4x 20  2x 0  1   + Gäi A  d  0y  A(0;a)   4x 0  1  ( x 0 )  x 0  4x 20  2x 0  1  a  1  2  4x 0  2x 0  1   x0  1  4x 20  2x 0  1 x0  1 + XÐt hµm sè: a  f(x0 )  TX§: R. 2 4x 0  2x 0  1 3x 0 Cã f '(x0 )   f '(x0 )  0  x 0  0 2 2 (4x 0  2x 0  1) 4x 0  2x 0  1 1 1 lim f(x0 )  ; lim f(x0 )   x  2 x 2 x0 - + f '(x0 ) 0 0 1 2 1 2 1 2 + - 1 f(x0 )  1 2 1 2 1 2 Bài 2 1  Víi x 0  TX§ th× -  a  1 2 1 KÕt luËn: §iÓm A(0;a) víi -  a  1 2 Cho c¸c sin A  sin B  2 2 gãc 2005 cña tam gi¸c ABC tho¶ m·n: 1 2 3® sin C BiÕt gãc A, B nhän. TÝnh gãc C. + Do C là gãc cña tam gi¸c nªn 0  sin C  1  2005 sin C  sin C (1)  sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  4R 2 sin 2 A  4R 2 sin 2 B  4R 2 sin 2 C 1 2  a 2  b 2  c2  a 2  b 2  a 2  b 2  2.a.b.cosC  cosC  0 (2) + Chøng minh: sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  2.cos A.cos B.cosC sin C  sin 2 C  2  2.cos A.cos B.cosC (*) Cã: 2005 sin C  sin 2 C  2  2  2.cos A.cos B.cosC  2  cos A.cos B.cosC  0  cosC  0 (3) (v× A, B nhän  cosA>0, cosB>0) Tõ (2) vµ (3)  cos C  0  C  90 0 Do ®ã: Bµi 3: 1 1 2 2005 Trong hÖ trôc to¹ ®é 0xy cho 3 ®iÓm A(0;a), B(b;0), C(-b;0) víi a>0, b>0. 1/ ViÕt ph­¬ng tr×nh ®­êng trßn tiÕp xóc víi AB t¹i B. Gi¶ sö ®­êng trßn (C): (x   )2  (y   )2  R 2 tho¶ m·n ®Çu bµi + Cã AB, AC ®èi xøng nhau qua 0y  I( ;  )  0y nªn  =0    b2  IB.AB  0    a + (C) tiÕp xóc víi AB t¹i B    R  AB R  b 2   2   b2    a   4 R  b 2  b  a2 1 2 1 2 2® 1 2 1  b2 VËy ®­êng trßn (C) cã ph­¬ng tr×nh: x   y  a  2  b4 2 b  2 a  2- Gäi M lµ mét ®iÓm bÊt kú trªn ®­êng trßn ë c©u 1/. Gäi d1 , d 2 , d3 lÇn l­ît lµ kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn AB, AC vµ BC x y   1  ax  by  ab  0 b a x y Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AC:   1  ax  by  ab  0 b a 1 2 2® + Ph­¬ng tr×nh ®­êng th¼ng AB: Ph­¬ng tr×nh BC: y=0 1 2 2  b2  b4 2 + Gäi M(x 0 ;y 0 )  (C)  x   y 0   b  2 a a   b2  x 20  y 20  2. .y 0  b 2  0 a  a 2 .x 20  a 2 y 20  2a.b 2 .y 0  a 2 .b 2  0 (1) | ax 0  by 0  ab | | ax 0  by 0  ab | d1  ;d 2  ;d3 | y 0 | 2 2 2 2 a b a b 2 0 1 2 Khi ®ã: 2 2 2 2 2 2 | a 2 x 20  (by 0  ab)2 | | a x 0  b y 0  2a.b 2 .y 0  a .b | d1 .d 2   (2) a2  b2 a2  b2 Tõ (1)  a 2 x 20  a 2 y 20  2.a.b 2 .y 0  a 2 b 2  0  a 2 x 20  2.a.b 2 .y 0  a 2 b 2  a 2 y 20 Bµi 4 (3) | a 2 y 20  b 2 y 20 | Thay (3) vào (2) ta cã: d1 .d 2  | y 0 |2  d32 2 2 a b x 1- Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2004  2006 x  2.2005x 2® Gi¶ sö x0 lµ mét nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh  2004 x0  2006 x0  2.2005x0  2006  2005  2005  2004 §Æt: f(t)  (t  1)x0  t x0  f(t) liªn tôc trªn R Nªn f(t) liªn tôc trªn  2004;2005 vµ cã f(2005)  f(2004) x0 x0 x0 x0 Vµ: f '(t)  x 0 (t  1)x0 1  x 0 t x0 1  x 0 (t  1) x0 1  t x 0 1  Nªn    2004;2005  ®Ó f'( )=0 1 2 1 2  x 0 (  1)x0 1   x0 1   0 x0  0 x0  0 x0  0      x 0 1   x0 1 x0  1  0 x0  1 (  1) 1 2 Thö l¹i x 0  0, x 0  1 tho¶ m·n. KÕt luËn: NghiÖm ph­¬ng tr×nh: x=0, x=1 2- Víi gi¸ trÞ nµo cña m bÊt ph­¬ng tr×nh: 1 2 3® log 2 x 2  2x  m  4 log 4 (x 2  2x  m)  5 nghiÖm ®óng víi x   0;2  2 x  2x  m  0 §iÒu kiÖn:   x 2  2x  m  1 2 log 4 (x  2x  m)  0 1 4 Bpt  log 4 (x 2  2x  m)  4 log 4 (x 2  2x  m)  5 (1) §Æt t  log 4 (x 2  2x  m) ®k: t  0 t 2  4t  5  0 Bpt (1)    0  t 1 t  0  log 4 (x 2  2x  m)  0 2  0  log 4 (x  2x  m)  1   2 log 4 (x  2x  m)  1 x 2  2x  m  1  2 x  2x  m  4 Do ®ã ®Ó bÊt ph­¬ng tr×nh ®· cho nghiÖm ®óng x   0;2  1 2 1 2 x 2  2x  m  1 nghiÖm ®óng x   0;2   2 x  2x  m  4 x 2  2x  1  m nghiÖm ®óng x   0;2   2 x  2x  4  m  M in f(x)  1  m  x0;2  (víi f(x)=x 2  2x) f(x)  4  m  Max x 0;2  XÐt f(x)  x 2  2x víi 0  x  2 Cã: f '(x)  2x  2  f(x)  0  x  1 B¶ng biÕn thiªn: x - f’(x) f(x) 0 - 1 0 0 1 4 2 + 0 -1 + 1 2  M in f(x)  0  x 0;2  f(x)  1  Max x 0;2  1  1  m m  2 Do ®ã (*)    2m4 0  4  m m  4 KÕt luËn: 2  m  4 Bµi 5: XÐt c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n: 1 2 2® x 3 x 1  3 y  2  y H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P  x  y Gi¶ thiÕt (1): x  y  3  x 1  y  2  x  y  P (I) 3( x  1  y  2)  P  XÐt hÖ:  u  x  1  0 1 2 §Æt:   v  y  2  0 P  u  v   3 3(u  v)  P  HÖ (I):  2 (II)   2 2   1 P u  v  P  3  u.v    P  3   2 9  HÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi hÖ (II) cã nghiÖm u,v: u  0, v  0  P 1  P2 2  t  t    P  3  0 3 2 9   18t  6Pt  P  9P  27  0 cã 2 nghiÖm kh«ng ©m   '  0  9  3 21 c  0   P  9  3 15 a 2   b  a  0 9  3 21 KÕt luËn: Min P  , MaxP  9  3 15 2 2 2 1 2 1 2 1 2 Së gd&§T b¾c giang Tr­êng THPT Lôc Ng¹n sè 4 ®Ò thi häc sinh giái cÊp tr­êng n¨m häc 2009 -2010 M«n : To¸n 12 Thêi gian lµm bµi 180 phót Câu I: ( 3 điểm) Cho hàm số y  1x x2 có đồ thị (C). 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết rằng tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại các điểm A,B ( A  B ) sao cho OA = 3 OB. 2. Gọi I là giao điểm của 2 tiệm cận, đường thẳng d qua I có hệ số góc k. Tìm k để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Chứng minh rằng khi đó I là trung điểm của A, B. 3. Tìm 2 điểm M, N thuộc 2 nhánh của đồ thị sao cho khoảng cách MN nhỏ nhất. Câu II: ( 2 điểm) Giải phương trình: 2 log 2 ( x 2  3x ) 2  log 1 ( x 2 2 3x ) 2  1. Câu III: ( 2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, SA = SB. M là trung điểm của AB và cạnh bên tạo với đáy góc 450. 1. Chứng minh rằng SM  (SAB) và tam giác SAB đều. 2. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. Câu IV: ( 2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x – lnx trên Câu V: ( 1 điểm) a b Cho a  b  0. Chứng minh rằng:  2  1   2  1 . b a ------------------------ Hết -----------------------  1  ; e.   4  SỞ GD & ĐT KỲ THI HỌC SINH GIỎI THANH HOÁ LỚP 12 TRƯỜNG THPT Năm học 2005-2006 MAI ANH TUẤN Môn: Toán. Bảng A-B (Thời gian làm bài 180 phút) Câu I. (5 điểm). Cho hàm số y x 2  2x  2 x 1 1, Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên. 2, Chứng minh đường thẳng (d): x y  1 2 1 có đúng hai điểm mà từ mỗi điểm đó kẻ đến (C) hai tiếp tuyến vuông góc. Xác định toạ độ hai điểm đó. Câu II. (4 điểm). 1, Biện luận theo m số nghiệm của hệ phương trình  x  my  m  2 2 x  y  x Khi hệ có hai nghiệm (x1;y1), (x2;y2) tìm m để P  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2 lớn nhất.
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.