Nội dung

PHÒNG GIÁO DỤC HUYỆN THANH OAI ( Trường THCS Thanh Cao ) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học ( 2015 –2016) Môn TOÁN : (Thời gian làm bài 150 phút) Bài 1: (6,0 điểm) 1. Cho biểu thức: P x x  26 x  19  x 2 x  3 a/ Rút gọn P b/ Tính P khi x= 5  12 c/ Tìm GTNN của P 3 2 x  x 1 x 3 x 3 3  3 5  12 3 2. Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương thì: 7.5 2 n  12.6 n 19 Bài 2: (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sau: x2 +3x +1 =(x + 3) x 2 1 2. Chứng minh rằng :Nếu x + y + z = 0 thì 2.(x5 + y5+ z5) = 5xyz(x2 + y2+ z2) Bài 3: (3,0 điểm) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau 19x5 + 5y +1995z =x2 –x +3 2. Cho a,b,c >0 và 1 1 1 1 1 1   2 . Cmr :   4(a  b  c) a 1 b 1 c 1 a b c Bài 4 (6,0 điểm) Cho (0; AB 2 ). Điểm M thay đổi trên (0), (M A,B). Vẽ (M) tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến (M). Cmr a/ CD là tiếp tuyến (0) b/ Tổng AC+DB không đổi. Từ đó tính GTLN của AC.DB c/ Lấy N cố định trên (0). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp điểm P Bài 5: (1,0 điểm) Một học sinh viết dãy số sau: 49,4489,444889, 44448889,….. (Số đứng sau được viết 48 vào giữa số đứng trước). Chứng minh rằng tất cả các số viết theo quy luật trên đều là số chính phương. .......................................................................... HẾT………………………………………….. phßng Gi¸o dôc & §µo t¹o Thanh oai ( Trường THCS Thanh Cao ) Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 9 N¨m häc 2015 - 2016 Bài 1: (6,0 điểm) 1. a ) Rút gọn P  x 16 2đ x 3 b) Tính x=1  đkxđ . Suy ra p= 2. 1đ 17 4 1đ c) Pmin=4 khi x=4 . =7.25n + 19.6n – 7.6n =7.19.(.....) + 19.6n 1đ  19 1đ Bài 2: (4,0 điểm) 1. Đặt x 2  1 =t (t 0) phương trình đã cho trở thành t2+3x=(x+3).t  t=3 hoặc t=x +) Với t=3 => x= 2 2 +) Với t=x => vô nghiệm 2. Từ x + y + z = 0  y + z = -x  (y + z)5 = - x5  y5 + 5y4z + 10y3z2 + 10y2z3 +5yz4+z5 = - x5  ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y3 +2y2z + 2yz2 +z3) = 0  ( x5 + y5+ z5) + 5yz((y +z)(y2 – yz +z2)+2yz(y + z)) = 0  ( x5 + y5+ z5) + 5yz(y + z)( y2 + yz +z2)= 0  ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + yz +z2)= 0  2 ( x5 + y5+ z5) - 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)= 0  2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( y2 + 2yz +z2 + y2 +z2)  2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz(( y + z)2 + y2 +z2)  2 ( x5 + y5+ z5) = 5xyz( x2 + y2 +z2) ( đpcm) Bài 3: (3,0 điểm) 1.  20x5 –(x5-x)+5y+1995z=x2+3  20x5-(x-2)(x-1).x.(x+1)(x+2)-5(x-1)x(x+1)+1995z=x2+3 Ta thấy VT 5 con VP không chia hết cho 5 nên pt vô nghiệm 0,5đ 1đ 1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 1 y  z 1 z  x 1 x  y  ;  ;  a 1 x  y  z b 1 x  y  z c 1 x  y  z 2. Đặt 0,5đ  a= x y z ;b  ;c  yz zx xy Biểu thức đã cho  x( y  z ) 2 y ( z  x ) 2 z ( x  y ) 2   0 yz ( y  z ) xz( z  x) xy ( x  y ) Dấu “=” xảy ra khi x=y=z 0,5đ (luân đúng) 0,5đ Bài 4 (6,0 điểm) a/ Tính góc CMD=1800 => C, M, D thẳng hàng =>đpcm b/ AC+DB=AB không đổi AC  BD 2 AB 2 )  (BĐT cosi) 2 4 AB 2 =>(AC.BD)max = khi AC=BD  4 2đ 0,5đ AC.BD ( 0,5đ H 0  M chính giữa cung AB c/ Gọi K là giao của PI và AN Vì IK//AM =>K là trung điểm của AN =KB cố định =>P chuyển động trên dường tròn đường kính KB Bài 5: (1,0 điểm) 1đ 1đ 1đ Ta có: A= 4 ......  .44  ..488    89 = 9 + 8.10 + 8.102 +…+ 8.10n + 4.10n+1 + +10n+2…+4.102n+1 Ta viết 9 = 1+4+4 và 8 = 4+4 ta được: 2 A=1+4+4+(4+4).10+(4+4).10 +…+(4+4).10n+4.10n+1+4.10n+2+…+4.102n+1 = 1+(4+4.10+4.102+…+4.10n)+(4+4.10+4.102+…+4.102n+1) = 1+4.(1+10+102+…+10n)+4.(1+10+102+…+102n+1) 0,5đ 10n1  1 102n2  1 = 1+4. +4. 9 9 n1 2n 2 9  4.10  4  4.10  4 = 9 2n 2 4.10  4.10n1  1 = 9  2.10n1  1  = 3   2 Ta có: 2.10n+1+1 3 (Có tổng các chữ số chia hết cho 3) Nên số trong ngoặc tạo thành một số chính phương. Suy ra A là số chính phương 0,5đ