Nội dung

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XẤ HÀ ĐÔNG, HÀ TÂY Môn Toán lớp 7 (2003 - 2004) (Thời gian : 120 phút) o Bài 1 : (4 điểm) Cho các đa thức : f(x) = 2x5 - 4x3 + x2 - 2x + 2 g(x) = x5 - 2x4 + x2 - 5x + 3 h(x) = x4 + 4x3 + 3x2 - 8x + a) Tính M(x) = f(x) - 2g(x) + h(x). b) Tính giá trị của M(x) khi : c) Có giá trị nào của x để M(x) = 0 ? o Bài 2 : (4 điểm) a) Tìm 3 số a, b, c biết : 3a = 2b ; 5b = 7c và 3a + 5c - 7b = 60. b) Tìm x biết : |2x - 3| - x = |2 - x|. o Bài 3 : (4 điểm) Tìm giá trị nguyên của m, n để biểu thức : a) có giá trị lớn nhất. b) có giá trị nguyên nhỏ nhất. o Bài 4 : (5 điểm) Cho tam giác ABC có AB < AC, AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC ngƣời ta kẻ đƣờng vuông góc vớ iđƣờng phân giác trong của A đƣờng thẳng này cắt các đƣờng thẳng AB, AC lần lƣợt tại D và E. a) Chứng minh : BD = CE. b) Tính AD và BD theo b, c. o Bài 5 : (3 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A,  A = 100o, D là một điểm thuộc miền trong của tam giác ABC sao cho DBC = 10o, DCB =20o. Tính ADB. Môn Toán lớp 8 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) o Bài 1 : (5 điểm) Cho a) Rút gọn A. b) Tìm A để x = 6013. c) Tìm x để A < 0. d) Tìm x để A nguyên o Bài 2 : (3 điểm) Cho A = (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 a) Rút gọn A. b) Chứng minh A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên. o Bài 3 : (4 điểm) Sau một loạt bắn đạn thật của 3 chiến sĩ Hùng, Dũng, Cƣờng (mỗi ngƣời bắn một viên), ngƣời báo bia cho biết có ba điểm khác nhau là 8, 9, 10 và thông báo : a) Hùng đạt điểm 10. b) Dũng không đạt điểm 10. c) Cƣờng không đạt điểm 9. Đồng thời cho biết trong 3 thông báo trên chỉ có một thông báo là đúng, hãy cho biết kết quả điểm bắn của mỗi ngƣời. o Bài 4 : (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC = b. Lần lƣợt dựng trên AB, AC, bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD tại D, ACE tại E. a) Chứng minh các điểm E, A, D thẳng hàng. b) Gọi trung điểm của BC là I, chứng minh tam giác DIE vuông. c) Tính diện tích tứ giác BDEC. d) Đƣờng thẳng ED cắt đƣờng thẳng CB tại K. Tính các tỉ số sau theo b và c o Bài 5 : (3 điểm) Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trên CD (khác C, D). Chứng minh rằng MA + MB < max {CA + CB ; DA + DB} (kí hiệu max {CA + CB ; DA + DB} là giá trị lớn nhất trong 2 giá trị CA + CB ; DA + DB). ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI QUẬNN HOÀN KIẾM, HÀ NỘI 2003 - 2004 Môn toán lớp 7 (Thời gian : 120 phút) Bài 1 : (4 điểm) Giải phƣơng trình Bài 2 : (4 điểm) Cho các số nguyên dƣơng x, y, z. Chứng minh rằng : Bài 3 : (4 điểm) Tìm các nghiệm nguyên của phƣơng trình : (2a + 5b + 1)(2|a| +a2 + a + b) = 105. Bài 4 : (3 điểm) Ba bạn A, B, C chơi một cỗ bài gồm 3 quân. Trên mỗi quân bài có viết một số tự nhiên (các số khác nhau và lớn hơn 0). Mỗi ngƣời đƣợc phát một quân bài và đƣợc nhận số kẹo bằng đúng số đã viết trên quân bài ấy. Sau đó các quân bài đƣợc thu lại, xáo trộn và phát lại. Sau hơn hai lần chơi, A nhận đƣợc 20 cái kẹo, B nhận đƣợc 10 cái kẹo, C nhận đƣợc 9 cái kẹo. Hỏi số đã đƣợc ghi trên mỗi quân bài ? Biết số lớn nhất đƣợc viết trên các quân bài lớn hơn 9. Bài 5 : (5 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A,  A =  C = 80oTừ B và C kẻ các đƣờng thẳng cắt các cạnh đối diện tƣơng ứng ở D và E sao cho  CBD = 60o và  BCE = 50o Tính  BDE. Môn toán lớp 8 (Thời gian : 120 phút Bài 1 : (4 điểm) Giải phƣơng trình Bài 2 : (4 điểm) Tìm x để hàm số y = x/(x + 2004) 2 có giá trị lớn nhất. Bài 3 : (4 điểm) Cho phƣơng trình Với giá trị nào của a thì phƣơng trình có nghiệm không nhỏ hơn 1 ? Bài 4 : (4 điểm) Từ điểm O thuộc miền trong của hình thang cân ABCD (AB = CD) nối với các đỉnh của hình thang đƣợc 4 đoạn thẳng OA, OB, OC, OD. Chứng minh rằng từ 4 đoạn thẳng nhận đƣợc, có thể dựng đƣợc một tứ giác nội tiếp hình thang này (mỗi đỉnh của tứ giác nằm trên một cạnh của hình thang cân). Bài 5 : (4 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Gọi I b, Ic theo thứ tự là độ dài của các đƣờng phân giác của góc B và góc C. Chứng minh rằng nếu b > c thì I b < Ic ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƢƠNG Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài 1 : (2,5 điểm) Giải phƣơng trình : |xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = 0 Bài 2 : (2,5 điểm) Hai phƣơng trình : x2 + (a - 1)x + 1 = 0 ; x2 + (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phƣơng trình : x2 + x + a - 1 = 0 và x2 + cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c). Bài 3 : (3,0 điểm) Cho hai đƣờng tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau tại A, B. Đƣờng thẳng O1A cắt đƣờng tròn tâm O2 tại D, đƣờng thẳng O2A cắt đƣờng tròn tâm O1 tại C. Qua A kẻ đƣờng thẳng song song với CD cắt đƣờng tròn tâm O1 tại M và cắt đƣờng tròn tâm O2 tại N. Chứng minh rằng : 1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đƣờng tròn. 2) BC + BD = MN. Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 + y2 = 3 và x + y là một số nguyên. ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút) Bài 1 : (6 điểm) 1) Chứng minh rằng : là số nguyên. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số với n là số nguyên lớn hơn 2. Bài 2 : (6 điểm) 1) Giải phƣơng trình : sao cho : 2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đƣờng thẳng (d) : y = 1/2 x + 2. a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất. Bài 3 : (8 điểm) 1) Cho đƣờng tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển động trên đƣờng tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đƣờng vuông góc hạ từ M xuống đƣờng thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đƣờng tròn cố định. 2) Cho 2 đƣờng tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt đƣờng tròn (O’) tại C và tia O’A cắt đƣờng tròn (O) tại D. Tia BD cắt đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE. ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 TỈNH VĨNH PHÚC, NĂM HỌC 2003 - 2004 Môn : Toán (Thời gian : 150 phút) Câu 1 : (3 điểm) Cho hệ phƣơng trình với tham số a : a) Giải hệ phƣơng trình khi a = -2. b) Tìm các giá trị của tham số a để hệ phƣơng trình có đúng hai nghiệm. Câu 2 : (2 điểm) a) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = -z2 + z(y + 1) + xy. b) Cho tứ giác ABCD (hai cạnh AB và CD có cùng độ dài) nội tiếp đƣờng tròn bán kính 1. Chứng minh rằng nếu tứ giác ABCD ngoại tiếp đƣờng tròn bán kính r thì Câu 3 : (2 điểm) Tìm tất cả các số nguyên dƣơng n sao cho phƣơng trình 499(1997 n + 1) = x2 + x có nghiệm nguyên. Câu 4 : (3 điểm) Cho tam giác ABC vuông (AC BC). Đƣờng tròn (O) đƣờng kính CD cắt hai cạnh AC và BC lần lƣợt tại E và F (D là hình chiếu vuông góc của C lên AB). Gọi M là giao điểm thứ hai của đƣờng thẳng BE với đƣờng tròn (O), hai đƣờng thẳng AC và MF cắt nhau tại K, giao điểm của đƣờng thẳng EF và BK là P. a) Chứng minh bốn điểm B, M, F và P cùng thuộc một đƣờng tròn. b) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng. Tính số đo góc của tam giác ABC. c) Giả sử ba điểm D, M và P thẳng hàng, gọi O là trung điểm của đoạn CD. Chứng minh rằng CM vuông góc với đƣờng thẳng nối tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MEO với tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác MFP. QUẠN PHÚ THUẬN, TP. HỒ CHÍ MINH, NĂM HỌC 2004 - 2005 Môn : Toán (Thời gian : 90 phút) Bài 1 : (2 điểm) Tìm các số nguyên x để biểu thức sau là số chính phƣơng : x4 - x2 + 2x + 2 Bài 2 : (2 điểm) Giải phƣơng trình và hệ phƣơng trình :