Nội dung

Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ * Kiến thức cơ bản: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. + Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. + Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I Dạng 1: Xét sự biến thiên của hàm số Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y. Tìm các điểm mà tại đó y = 0 hoặc y không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài 1: Xét sự biến thiên của hàm số: 1 2x  1 a) y  x3  2x2  x  2 b) y  x4  2x2  1 c) y  4 x 5    1 d) y 1 e) y  2x  x2 f) y sin2x  x    x    2 2 1 x Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đơn điệu trên tập xác định Cho hàm số y  f (x, m) , m là tham số, có tập xác định D.  Hàm số f đồng biến trên D  y  0, x  D.  Hàm số f nghịch biến trên D  y  0, x  D. Chú ý: Nếu y’=ax2+bx+c thì + +  Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài 2: Tìm m để hàm số đồng biến trên R: y ' 0x  R  a  0    0 y ' 0x  R  1 3 a. y= x 3  mx 2  (2m  3) x  m a  0    0 b.y=x3-(m+1)x2+3(m+1)x+2 Bài 3: Tìm m để hàm số nghịch biến trên R: a. y  1 3 x  (m  2) x 2  ( m  4) x  3m 3 b. y= - x3+(m+2)x2+(2m+1)x-4m Bài 4: Tìm m để hàm số: a. y  x3  3(2m 1)x2  (12m 5)x  2 đồng biến trên khoảng (2; +). b. y  1 3 x  (m  1) x 2  ( 2m  1) x  3 nghịch biến trên (0;3) 3 c. y  x3  3x2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. Vấn đề 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 1 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017  Tìm f (x).  Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.  Lập bảng biến thiên. Nếu f (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. Qui tắc 2: Dùng định lí 2.  Tính f (x).  Giải phương trình f (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …).  Tính f (x) và f (xi) (i = 1, 2, …). Nếu f (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. Nếu f (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi. Bài 1: Áp dụng qui tắc 1, tìm cực trị hàm số: 1 x2  2x  15 a) y  x3  4x2  15x b) y  x4  4x2  5 c) y  3 x 3 Bài 2: Áp dụng qui tắc 2, tìm cực trị hàm số: a) y 3x2  2x3 b) y  2 x  x 2 Dạng 2: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị tại x0  Tìm f (x) và f ’’(x)  xCT  x0  f ' ( x0 ) 0  m ?  Tính f ’’(x0)=A (thay m vừa tìm được) + A>0  xCT  x0 (đ / s)  m(n / l ) c) y=cos2x+2sinx-3 + A<0  xCĐ  x0 (đ / s)  m(n / l ) Bài 3: Tìm m để hàm số: a) y  x3  3mx2  (m2  1)x  2 đạt cực đại tại x = 2. b) y  x 4  2mx 2  2m  1 đạt cực tiểu tại x=0. Dạng 3: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f (x) đổi dấu khi x đi qua x0. Chú ý:  Hàm số y ax3  bx2  cx  d có 2 cực trị  Phương trình y = 0 có hai nghiệm phân biệt  Hàm số y ax 4  bx 2  c có 3 cực trị  Phương trình y = 0 có ba nghiệm phân biệt Bài 4: y  x 4  2mx 2  2m 1 .Tìm m để hàm số có 3 cực trị. Bài 5: y  x3  3(m 1)x2  (2m2  3m 2)x  m(m 1) Tìm m để hs có cực đại, cực tiểu. Bài 6: y 2 x 3  3(m  1) x 2  6mx  2m Tìm m để hàm số có 2 cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị đó. 4 2 Bài 7: y  f ( x) x -2(m+1)x  2m  1(Cm ) Tìm m để hàm số có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông(tam giác đều, tam giác có diện tích bằng 4. Vấn đề 3: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài toán: Tìm giátrị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f (x) trên Khoảng (a ; b ) Đoạn [a;b ]  Tính y’  Tính y’  Giải PT y’ = 0  Giải pt y’ = 0 tìm nghiệm x1, x2….[a; b]  Lập bảng biến thiên trên (a ; b )  Tính y (x1 )…. , y(a) , y (b)  Kết luận : max y  yCD Chọn số lớn nhất M , kết luận : max y M  a ;b   a ;b  y  yCT hoặc min  a ;b  y m Chọn số nhỏ nhất m , kết luận : min  a ;b  2 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 Bài 1. Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau trên mỗi tập tương ứng : 5  3 2 2 1. f  x  2 x  3x  12 x  1 trên   2;  6. f  x   x .ln x trên  1;e  2  4  [0; ] 2. f  x  1  x  trên   1; 2 7. y  x  cos 2 x trên 2 x2 3 2 3. y ( x  2). 4  x 2 trên tập xác định 8. y = x - 3x - 9x –7 trên [ - 4 ; 3 ] 1   4. y = x – 2+ trên  1;   9. y= 2 cos 2 x  4sin x trên  0;  x 1  2 3 x 4 2 5. y= x e trên [0; 1] 10. y = x - 8x +16 trên [-1; 3] 11. y 2 x3  3x 2  1 trên [-2;-1/2] ; [1,3). 12. y  x  4  x 2 . 4 3 13. y 2 s inx- sin x 3   14. y  2cos2x+4sinx  0;   2 trên đoạn [0,π] 2 15. y  x  3x  2 [-10,10]. 16. y  x  2  4 x Vấn đề 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Hàm số bậc ba: y ax3  bx 2  cx  d Hàm số bậc bốn: y ax 4  bx 2  c + TXĐ : D = R + Tìm y’ + Giải PT : y’ = 0 ( Nếu có) + GH: limy a() Hàm số y  ax  b cx  d  c 0, ad  bc 0   d + TXĐ : D = R\     c ad  bc 2 (>0 hoặc <0 x  D ) + y’=  cx  d  x  + Bảng biến thiên: - Hs tăng trên… - Hs giảm trên … - xCĐ = , xCT = ( Nếu có) +Vẽ đồ thị - Điểm đặc biệt : Cđ, Ct, Đ uốn - Tìm giao với trục Ox, Oy(Nếu dễ) - Lấy 2 điểm(Trước sau điểm C trị hay điểm uốn 1 ĐV) - Dựa vào BBTđể vẽ ĐT(Tại CĐ vẽ lồi, CT vẽ lõm)  limy   x  d c x   a  limy  c  y x   a c d c TCD TCN + Bảng biến thiên: - Hs đbiến, nbiến,… Khơng cĩ cực trị. +Vẽ đồ thị - Vẽ hai tiệm cận   b d  b  ;0   a  - Lấy 2 điểm  0; ;   - Lấy đối xứng 2 điểm này qua I    Baøi 1: Khaûo saùt caùc haøm soá : 1.1. y= x 3  2 x 2  x  1 1.2. y=  x 3  3 x 2  3 x  1 1 3 x4 3 1.4 y=  x 4  x 2 1.5. y=  x 2  4 2 2 2 1.7. y = 2x  1 2 x 1.8 y = 3x  1 ; x 2 1.3. y = - x3 - 3x2 +1 x 3 1.6. y = 2 x ( x2+1) Vấn đề 5: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài toán: Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) * Tại M(x0,y0)(C) 3 d a ;  c c 1.9. y = (x - 2) Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 + Tìm y’ + Tính hệ số góc f’(x0) (thay x0 vào y’) + Áp dụng công thức : y = f’(x0)(x – x0) + y0 * Biết hệ số góc k + Giải pt: f’(x0) = k Hoành độ tiếp điểm x0 + Thế x0 vào pt (C)  y0=f(x0) +PTTT có dạng y = f’(x0) (x – x0) + y0 Chú ý: 1, PTTT song song đường thẳng y = kx + b  f '( x0 ) k  x0  y0 . K.luận 2.PTTT vuông góc đường thẳng y = kx + b  f '( x0 ).k  1  x0  y0 .K.luận * QuaM(x1,y1) (nâng cao) + Đường thẳng d quaM(x1,y1) có hệ số góc k: d: y = k(x-x1) +y1(*) + ĐKTX :  f (x) k(x  x )  y (1) 1 1  (2) k  f '(x) (Thế 2 vào 1 tìm x => k=> pttt) Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số: x 2 a) y = tại x0=2 x 1 b)y = x3  2 x 2  3 x  1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 3x – 1 3 c) y = x 4  2 x 2  3 có đồ thị ( C ) . i. Tại giao điểm của ( C ) và trục tung . ii. Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x -1 iii. Tại x0 sao cho f ''(x0 ) 8 d) y = x3 – 6x2 - 9x – 1(C). i. Tại điểm uốn của (C). ii.Tại điểm có tung độ bằng -1 iii.Song song với đường thẳng d1 : y = 6x – 5. iv.Vuông góc với đường thẳng d2 : x - 21y = 0. Vấn đề 6: BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài toán : Biện luận số nghiệm của phương trình : F(x , m ) = 0 ( với m là tham số ).  Chuyển phương trình : F(x , m ) = 0 về dạng : f(x) = h(m) (*)  Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của ( C) và đường thẳng (d) : y= h (m) Bài 1: Cho hàm số : y x 4  2 x 2  1 a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b.Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình x 4  2 x 2 m c.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết nó có hệ số góc bằng 24. d. Tìm tọa độ giao điểm giữa đồ thị hàm số và (P) : y 2x2  1 Bài 2: Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) b. Dùng đồ thị (C) , hãy biện luận số nghiệm của phương trình :– x3 + 3x2 – 1 = m m c. Tìm m để PT : x3 – 3x2 + = 0 có đúng 3 nghiệm. 2 Vấn đề 7: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐƯỜNG Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình: f(x) = g(x) (1) Do đó, số nghiệm phân biệt của (1) bằng số giao điểm của hai đường cong. 4 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 Bài 1: Cho hàm số : y = x3 - 3x2 - 1 (C) a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm giao điểm (C) và d: y=2x - 5 Bài 2: Cho hàm số : y = x 1 (C) x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm giao điểm (C) và d: y=2x - 1 Bài 3: Cho hàm số : y = 2x 1 (C) x 1 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số. b. Tìm m để d: y= - x+m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt. Bài 4: Tìm m để đồ thị hsố y = (x – 1)(x2 - mx – m) cắt trục hòanh tại ba điểm phân biệt Bài 5: Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2mx2 +2m-1 cắt trục hòanh tại 4 điểm phân biệt. Bài 6: Tìm m để (d) đi qua điểm A( -1 ; -1) có hsg là m cắt đồ thị hs y= x2 tại 2 điểm pb 2x 1 MỘT SỐ BÀI TỔNG HỢP Bài 1 : Cho hàm số y = x(3-x)2 a. Khảo sát hàm số b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị(C) của hàm số. Trục hoành và 2 đường thẳng x = 2; x = 4 c. Đường thẳng d qua gốc toạ độ có hệ số góc m . Với giá trị nào của m thì d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt. Bài 2 : Cho hàm số y = x3 – 3x a. Khảo sát hàm số b. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3- 3x + m = 0 c. Tính diện tích hình Phẳng bị chắn về phía trên đường thẳng y = 2 và về phía dưới bởi (C) Bài 3 : Cho hàm số y =2x2 – x4 a. Khảo sát hàm số b. Dựa vào đồ thị (C) của hàm số biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4- 2x2 + m = 0 c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành Bài 4 : Cho hàm số y = x4 – 2(m +2) x2 + 2m +3 a. xác định m để đồ thị (Cm) của hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm b. Khảo sát hàm số khi m = 3 c. Dựa vào đồ thị (C3) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4 –10x2+ k = 0 Bài 5 : Cho hàm số (C) 4 y a. Khảo sát hàm số  góc 4 m. Biện luận theo m vị trí tương đối của (C) và d b. Đường thẳng d qua A(2; 0) hệxsố c. Viết PTTT với(C) xuất phát từ điểm A(2; 0) d. Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi : đồ thị (C); trục hoành; các đường thẳng x = 0; x = 2 quay xung quanh trục 0x tạo thành 2x  4 Bài 6 : Cho hàm số (C) y x 3 a. Khảo sát hàm số b. Viết PTTT với(C) tại giao điểm của (C) với trục hoành c. Chứng minh rằng giao điểm của 2 tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị Bài 7 : Cho hàm số mx  1 y 2x  m a. CMR hàm số luôn đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó b. Xác định m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng đi qua A(-1; 2) c. Khảo sát hàm số khi m = 2 Bài 8: Cho hàm số y  x4  2(m 1)x2  2m 1 5 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ( C ) khi m = 0. b)Với giá trị nào của m thì pt : x4  2x2  3m 2 0 có đúng 3 nghiệm. c) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt với hoành độ lập thành cấp số cộng. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 1 Câu 1 : Hàm số nào sau đây đồng biến trên R 2x  1 a : y x3  3x2  3x  2 b : y x4  8x2  5 c : y  d : y  x3  3x2  2 x 2 3 2 Câu 2: Hàm số y  x  9x  15x  3 có mấy cực trị a:1 b:2 c:3 d:0 Câu 3 : Hàm số y x4  8x2  5 có mấy cực trị a:1 b:2 c:3 Câu 4 : Hàm số y  x  x có mấy cực trị a:1 b:2 c:3 d:0 3 d : không có cực trị Câu 5: Hàm số y 2x3  3x2  2 có khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là a: b:2 5 c: 3 d: 2 x 1 đồng biến trên khoảng nào? x1 a : ( ;  1) b : ( ;  1) và ( 1; ) c : ( ; ) d : ( ;1) 1 Câu 7 : Với giá trị nào của m thì hàm số y  x3  2x2  3mx  3 đồng biến trên R 3 4 4 4 4 a : m b : m c : m d : m 3 3 3 3 1 Câu 8 : Với giá trị nào của m thì hàm số y  x3  mx2  (m 2)x  1 có 2 cực trị 3 a : m  1; m 2 b : 1m2 c : 1 m 2 d : m 2 3 2 Câu 9 : Với giá trị nào của m thì pt sau  x  3x  2 m 2 có 3 nghiệm phân biệt a : m  1; m 4 b : 0 m4 c : 0  m 4 d : m 4 Câu 6 : Hàm số y  Câu 10 : Hàm số y 2 1 x2  x có đạt cực trị tại a : A( 1 ; 3) b : B( 1 ;0) c : C ( 1 ;  3) d : D ( 1 ; 3) 3 3 3 3 Câu 11: Hàm số y 3x4  6mx2  1 có 1 cực trị khi m bằng: a : m1 b : m2 c : m3 d : m0 3 2 Câu 12 : Với giá trị nào của m thì pt sau  x  3x  2 m 2 có 4 nghiệm phân biệt a :  1 m 0 b : 0 m1 c :  1 m 2 d : m 1 x4 9 cắt trục hoành tại mấy điểm  2x2  4 4 a:1 b:2 c: 3 d: 4 2x  3 Câu 14: Đồ thị hàm số y  có mấy tiếp tuyến song song với đường thẳng y = x + 2 x 2 a:1 b:2 c: 3 d: 4 4 2 Câu 15: Hàm số y  x  6x  3 có mấy cực trị : a:1 b:2 c: 3 d: 4 3 2 Câu 16: Hàm số y mx  3x  3x  2 nghịch biến trên R khi: Câu 13: Hàm số y  6 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 a :  1 m 0 b : m 1 c : m  1 d : m 1 Câu 17: Hàm số y  x  2x  1 đạt cực tiểu tại a : A (0;1) b : B (1;0) c : C (0;  1) d : D (0;0) Câu18:Khi m bằng bao nhiêu thì hàm số y x3  3mx2  3(m2  1)x  mđạt cực tiểu tại x = 2 a : m1 b : m2 c : m3 d : m0 3 2 Câu 19: Hàm số y  x  3x  mx  5 có cực trị khi: a : m 0 b : m 1 c : m  1 d : m 3 Câu 20: Giá trị lớn nhất của hàm số y 2x3  3x2  12x  1 trên đoạn   1;5 là: a : 116 b : 16 c :126 d : 36 4 2 Câu 21: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3x  1 trên đoạn  0;2 là x 3 a :-2 b:2 c :5 d : -5 2 Câu 22: Giá trị nhỏ nhất của hàm số y  16  x trên đoạn   4;4 là a :3 b:2 c :0 d:1 7 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 CHỦ ĐỀ 2 : PHƯƠNG TRÌNH BPT MŨ VÀ LOGARIT Vấn đề 1 : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1: Phương trình mũ af(x) = b  f(x)= logab af(x) = ag(x)  f(x) = g(x) * Với 0 < a 1 thì : * Với 0 < a 1 thì : Dạng 1. Đưa về cùng cơ số Bài 1 : Giải các phương trình sau a) 2 x 4  3 4 b) 2 x 2  6 x 5 2 c) 32 x  4 9 x 16 2 2 3 x  5 x 5 x 17 1 e) 52x +2 – 3. 52x = 110 f) 32 x  7  128 x  3 4 x x -1 x–2 x x–1 x-2 1–x f) 2 - 2 - 2 = 3 – 3 - 3 g) (1,25) = (0, 64) 2(1 x ) Dạng 2. Đặt ẩn phụ Bài 2 : Giải các phương trình a) 4x  2x1  8 0 b) 4x1  6.2x1  8 0 c) 34x8  4.32x5  27 0 d) 16x  17.4x  16 0 e) 49x  7x1  8 0 f) 2x2  x  22 x x2 3. d) 2 x 2  x 8 41 3 x Bài 3 : Giải các phương trình a) 64.9x  84.12x  27.16x 0 d) 25x  10x  22x1 Bài 4 : Giải các phương trình a)  2  x b) 3.16 x  2.81x 5.36 x c) 6.32 x  13.6 x  6.22 x 0 e) 27 x  12 x 2.8 x f) 3.16x  2.81x 5.36x x b) 3   2  3 14 c) (2 3)x  (7 4 3)(2  3)x  4(2 3)  x 2 3 x c) 3x – 3 = 5x x 1 x x 3   2  3 4x x x c)  3  2 2    3  2 2  6 x Dạng 5. Đưa về phương trình tích Bài 8: Giải các phương trình: a) 8.3x  3.2x 24  6x c) 8 x.2x  23 x  x 0 b) 2 3  x 4 x 24 10  7 x 12 f) 52x - 1- 7x - 1 = 52x - 7x d) 2 x  2 5 x  5 x 6 e) 5x.8 x 500 Dạng 4. Sử dụng tính đơn điệu Bài 6: Giải các phương trình a) 3x + 4 x = 5x b) 3x – 12x = 4x Bài 7: Giải các phương trình: a)  2  2 d)  5 24   5 Dạng 3. Logarit hóạ Bài 5: Giải các phương trình a) 2x - 2 = 3 b) 3x - 1 = 5x – 2 2   c) 3 x 11  x x x  3  2   3  2   5 x x d)  3 5  16. 3 5 2x3 b) 12.3x  3.15x  5x1 20 d) 2 x  3 x 1  6 x 2: Phương trình logarit b * log a f ( x ) b  f ( x) a Dạng 1. Đưa về cùng cơ số f ( x) g ( x)  8 *log a f ( x) log a g ( x)   c g ( x)  0  f ( x)  0, hoaë x Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 Bài 1: Giải các phương trình a) log4(x - 2) – log4(x +2) = 2 log46 b) lg(x - 1) – lg( 1+x) = lg(2x - 3) c) log4x - log2x - 2log16x = 5 d) log4(x +3) – log4(x2 + 1) = 0 1 e) log3x = log9(4x - 5) f) log4x.log3x = log2x - log3x + 2 2 g) log2(9x – 2+7) – 2 = log2( 3x – 2 + 1) h)) log3x + log9x + log27x=11 Dạng 2. đặt ẩn phụ Bài 2: Giải phương trình 1 2  1 a) b) logx2 – log4x +7/6=0 4  ln x 2  ln x c) log1 x  2 logx 3 d) 3log 16 – 4 log x = 2log x 3) log x 3 2 2 x  3log 2 x  log 1 x 2 16 2 h) lg x2 16  l o g 2 x 64 3 2 Dạng 3 mũ hóa Bài 3: Giải các phương trình a) 2 – x - 3log52 = log5(3x – 52 - x) Dạng 4. Sử dụng tính đơn điệu Bài 4: Giải các phương trình a) x  xlog2 3 xlog2 5 (x  0) b) log3(3x – 8) = 2 – x b) x2  3log2 x 5log2 x d) log2(3 x)  x c) log5(x  3) 3 x Dạng 5. Đưa về phương trình tích Bài 5: Giải các phương trình a) log2 x  2.log7 x 2  log2 x.log7 x b) log2 x.log3 x  3 3.log3 x  log2 x c) 2 log x 2 log x.log  2x  1  1 9 3 3 Bài 6: Giải các phương trình 1 2 3 3 x x a) log 1  x  2   3 log 1  4  x   log 1  x  6  b) log 2 9  7 2  log 2 3  1 2 4 4 4  c) log 2 2  log 2 4 x 3    2 3 d) 4log x x  2log 4 x x 3log 2 x x x 2 3  3 x  1 e)  log 3 log 2 x  log 3    log 2 x x 3 2  2 g) 2  log 9 x  log 3 x.log 3  2 f) log 2 x   x  1 log 2 x 6  2 x  2 x  1  1 h)  x  2  log 32  x 1  4  x 1 log 3  x  1  16 0 Vấn đề 2 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT 1: Bất Phương trình mũ a f ( x ) * a f b ( x )  a f 0    ( x ) f  ( x)     a  1  log a f 0  a ( x)  a  1     f ( x )  log a b  1 a  1    g ( x)  f ( x)  g ( x) b Bài 1: Giải các bất phương trình x–4 a) 16 d) 4 ≥8 x2  x 6 1  1 b)    3 1 e)    2 2 x5 6 c) 9 x 3 x2 9 4 x 2  15 x  4 f) 52x +2 > 3. 5x  23x 4 Bài 2: Giải các bất phương trình a) 22x +6 - 2x +1 >17 b) 52x – 3 – 2.5x -2 ≤ 3 d) 5.4x +.25x ≤ 7.10x e) 2. 16x – 24x – 42x – 2 9 1 1 c) 4 x  1  2 x  2  3 ≤ 15 f) 4x -16x ≥ 2log48 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 g) 9.4-1.x - 5.6-1.x < 4.9-1.x Bài 3: Giải các bất phương trình a) 3x -1 > 5 2: Bất Phương trình logarit b) (1.2) 2x - 3≤ 3 c) 5x – 3x-1 > 2(5x -1 - 3 x – 2) a 1  a 1  *log a f ( x)  b    b b  f ( x)  a 0  f ( x )  a  a 1  0  a 1   *log a f ( x)  log a g ( x)   f ( x )  g ( x )   f ( x )  g ( x)  g ( x)  0  f ( x)  0   Bài 58: Giải các bất phương trình a) log4(x - 7) > log4(1 – x) b) log2( x - 5) ≤ log2(3 – 2x) – 4 d) log1  log3 x 0 c) log2( x2 – 4x – 5) < 4 e) 2log8( x- 2) – log8( x- 3) > 2 2 3 f) log2x(x2 -5x - 6) < 1 Bài 59: Giải các bất phương trình a) log22 x  log2 x 0 b) log2 x - log2x 8 ≤ 4 1 1 1  1 c) d*) log x 2.log x 2  log 2 x  6 1  log x log x 16 Bài 60. Giải các bất phương trình a) log3(x - 2) ≥ 2 – x b) log5(2x - 1) < 5 – 2x c) log2(5 – x) > x - 1 d) log2(2x - 1) – log2(4x - 2) ≤ 2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM CHỦ ĐỀ 2  2  Câu 1: Số nghiệm của phương trình log3  x  6  log3  x  2 1 là:   A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 x x Câu 2: Số nghiệm của phương trình 9  2.3  3 0 là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 x x Câu 3: Phương trình 9  3.3  2 0 có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  . Giá trị 2 x1  3 x2 là: A. 0 B. 4 log 2 3 C. 3 log 3 2 D. 2 Câu 4: Số nghiệm của phương trình 2 log 2 x 1 2  log 2  x  2 là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2  x 2  x Câu 5: Số nghiệm của phương trình 2 2 15 là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 log x 1 2  log  x  2 là: Câu 6: Điều kiện xác định của phương trình 2 2 A. x  2 B. x  1 C. x 2 D.  1  x  2      x  2 là: log x  1  2 log 5  x  1  log Câu 7: Nghiệm của bất phương trình 2 4 2 A.1  x  2 B.  4  x  3 C. 2  x  5 D. 2  x  3  2   Câu 8: Nghiệm của bất phương trình log 1  log 2  2  x    0 là: 2 A.   1;1   2;  B.Đáp án khác C.   1;0    0;1 D. 1;1 Câu 9: Tập xác định của phương trình A. x   1 B. x  0 log  x3 1  2 log  1  x  x 2   log x 0 2 2 2   C. x  R 10 D. x 0 là: Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017  1  2  3x Câu 10: Phương trình    2  2.4 x  3. 2x 0 có nghiệm là: A.  1 B. log 2 3 C. log 2 5 D.0 Câu 11: Số nghiệm của phương trình log 2 x. log3  2 x  1 2 log 2 x là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 12: Nghiệm của phương trình 3  5 x  3   A.  x 2  x  3  B.    x 0  x  1  C. 5 x 3.2 x là:  x 1  x  1  log D. Đáp án khác  x  y   1 2 log 2x  y 2 4  Câu 13: Tổng hai nghiệm của hệ phương trình    y 10 x A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3 Câu 14: Tập xác định của hàm số f  x  log x  1  ln 3  x   log8  x  1 là: A.  1  x  3 B. 1  x  3 C. x  3 D. x  1 x Câu 15: Nghiệm của phương trình log 2 9  4  x log 2 3  log 2 3 là: A.1 B.2 C.3 D. log 3 4 2 Câu 16: Nghiệm của bất phương trình log x  3 x  1 0 là: 2 A.Vô nghiệm  3 B.   5 3 5  ;  2 2  là: 2  C.  0; 3  5     3; 2  D.  3 5   3 5    ;3   0; 2   2   Câu 17: Tìm GTLN của hàm số f  x  ln x  x  e trên  0; e A.1 B.2 C. 1  ln 1  2  Câu 18: Đạo hàm của hàm số f  x  3 x  1 là: 2 A. 3 x ln 3 B. 3 x ln 3  1 2 C. 3 x D. D. ln 1  2   1 3x ln 3   2 Câu 19: Phương trình 2 log 5  3 x  1  1 log 3 5  2 x  1 và log 2 x  2 x  8 1  log 1  x  2  có 2 nghiệm lần lượt là x1 , x2 . Tổng x1  x2 ? A. 4 B. 6 C. 8 D.10 2 1  log 2  x  1 là: log 2  x  1 B. x  1 C. x 1 Câu 20: Điều kiện của phương trình A. x  1 D. x  1, x 2 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG I. Quy tắc đạo hàm: * (u  v  t ) ' u 'v' t ' * (u.v )'  u '.v + u.v ' (u.v.t )' u '.v.t  u.v '.t  u.v.t ' '  u  u '.v  u.v ' *   v2 v * ( k .u ) ' k.u ' * y x'  y u' .u x' II.Đạo hàm hàm số sơ cấp. 1. ( C )' O với C là hằng số 2. (mx)' m vối m là hằng số I.Caùc hoï nguyeân haøm cô baûn 1. dx  x  C ; kdx kx  C  1 1 (ax  b) x  1  C ; (ax  b) dx  . C  1 a  1 1 a a dx  ln bx  c  C 3.  dx ln x  C ;  x bx  c b 1 mx n x x mx  n dx  e  C; 4. e dx e  C ; e m 1 a mx n ax 5. a x dx   C ; a mx n dx  . C . ln a m ln a 2.  x dx    6. sin x.dx  cos x  C , 11 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 3. ( x )'  1 2 x 1 ; ( u )'  1 .u ' 2 u , (u )'  .u   1 .u ' 4. ( x ) '  .x 5. (e x )' e x , (e u )' e u .u ' 6. ( a x )' a x ln a, (a u )' a u .u ' ln a   1 1  (ln u )'  .u ' x u 1 8. (log a x )'  , x ln a 7. (ln x )'  1 sin(ax  b).dx  a cos(ax  b)  C 1 7. cosx.dx sinx  C , cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C a 1 8.  2 dx tgx  C , cos x 1 1 cos2 (ax  b) dx  a tg (ax  b)  C 1 dx  cot gx  C ; sin 2 x 1 (log a u )'  .u ' u.ln a 9. (sin x)' cos x, (sin u )' u '.cos u 10. (cos x )'  sin x ;( 9.  cos u )'  u '.sin u 10.  1 1 ; (tan u ) '  2 .u ' 2 cos x cos u 1 1 12. (tan x) '  2 ; (cot u)'  2 .u ' sin u cos x 11. (tan x) '  1 1 dx  cot g (ax  b)  C  2 sin (ax  b) a dx 1 x a dx  ln C ( x  a )( x  b) a b x b dx 1 x a  ln C 11.  2 2 2a xa x  a dx 1 1  . C 12.  2 a ax  b ( ax  b) Dạng 1 : Tìm họ nguyên hàm- Nguyên hàm có điều kiện Bài 1: Tìm nguyên hàm F ( x) của các hàm số sau: 1  4e x biết rằng F (1) 2 x 2 b. f ( x ) sin 2 x.cos3 x  3tan x biết rằng F ( ) 0 2 a. f ( x ) 3 x  1 x 3  3 x 2  3x  1 biết F (1)  2 2 x  2x 1 Bài 2. Tính các nguyên hàm sau(Hệ số bất định, đổi biến và từng phần) c.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: f ( x)  12 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 a. 1  2 x  3 dx 2 b. sin x.cos x.dx  c.  1  x  .cos x.dx d  1  2 x  x  .e dx 2 3x dx x 2  4 x 1 dx f.  2 x  2x  2 x3 g.  dx . x2 h. (e 2x 3 2x   5) e dx k. x sin 2 x dx .. 1 dx l.  3x  1 e. Dạng 2 : Tính tích phân  Phương pháp giải : b 1. Nếu f(x) lấy được nguyên hàm là F(x) thì dùng định nghĩa : f ( x )dx = F(x) a b  F(b)  F(a) a 2 Nếu f(x) là hàm hữu tỷ - Bậc tử lớn hơn hay bằng bậc mẫu : Chia đa thức để phân tích - Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu và mẫu số là một đa tức có nghiệm thì dùng PP hệ số bất định R( x) R ( x ) thì đặt t= 3. Nếu f(x) có chứa 4. Nếu trong f(x)dx = (x).’(x)dx. Đặt u = (x).  du = ’(x)dx 5. Luợng giác theo dạng 4, biến đổi tích thành tổng, hạ bậc... 6. Chứa dấu trị tuyệt đối : xét dấu BT trong  chia đoạn tính 7. Nếu f(x) = P(x).Q(x) (Không biến đổi được thành tổng ) thì dùng pp TPTP +. Trong đó P(x) là đa thức, Q(x) là : sinax, cosax, eax thì đặt : u = P(x) ; v’= Q(x) +. Trong đó P(x) là đa thức , Q(x) là ln(ax+b) thì đặt : u = Q(x) ; v’= P(x) b Cụ thể dùng công thức : u.v' dx  (u.v) a b u. dv  (u.v) a b b  a u'.v.dx hoặc a b b  a v.du a . Bài 3 : Tính các tích phân 1.  2   sin   x  dx  4  0 6. 2 7. 2 x  x  1 dx 0 2 2. 3. 0  2 0 1 8. e  0 x2 2 x.dx 13. 15. e x 2 ln x.dx e3 x  1 4.  x dx e 0 10. 11. 1  xdx 12.  1 e e 1 17. x  2dx  1 1 2 2x 1 2 x  x 1 13 x 2 xdx sin x dx cosx   x sinxdx 0 0 2 dx x2  3x  2 1 x x sin  16. 1 3 dx 0 1 x sin x.dx 2 x 1 2 0  x 2 .dx  1 xe 0  14. 0 9. 0 ln 2 5. sin x cos3x dx 1 1  x dx 0 1  dx 2x  3 0 4 18. dx 2 3 19. 2x  3  x  1 dx x2  4x  1  x  2 dx 1 1 20. 21. 2  x  3x  5 dx 2 x 1   4 cos 22. 2 sin 4 t.dt Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2016 – 2017 1 2x 1 dx. 24.  3x  1 0 0 2 2 25.  2 xdx 23. 0  x x  3dx. 1 1 cos 3 x. cos 5 xdx   26. 2 x 3 . x 2  1.dx 0 Dạng 3 : : ỨNG DỤNG TÍNH TÍCH PHÂN D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (OX) : y = 0: b SD f (x) dx a b D giới hạn bởi x = a, x = b , (C) : y = f(x) (C') : y = g(x) : SD f (x)  g(x) dx a  Cách phá dấu : Giải PT f(x) =0 hoặc f(x) – g(x) =0 x1, x2,…(a; b), Khi đó x1 S D   f ( x)  g ( x)  dx  a x2 b  f ( x)  g ( x)  dx  x1 Bài 4: Tính diện tích giới hạn hai đường 14  f ( x)  x2 g ( x)  dx a. y  x 2  x  2 và y 2 x  4 b. y 2x 2 và y 3 x c. y 2  2 y  x 0 và y 2  4 y  x 0 ĐS:9 1 4 d. y  x 2 và y  e. f. 1 2 x 3 2 ĐS:8 16 3 1 y  x 3  3 x 2  1 và y = 1-2x ĐS: 2 y 4 x 2 ; y 4 ĐS: g. y= 4 – x2 và y = x2 -2x ĐS : S=9 h. i. j. k. l. m. y=x2 -2x + 2 và y = x2 + 4x + 5 : S=9/4 y = x2 , y= 4x2 va y= 4ĐS : S=16/3ø y= 2x2 và x= y2 ĐS : S=1/6 y = x3 và y= -x2 ĐS : S=1/132 y = x3 -2x2 +5 và y = x2 + x + 2 ĐS : S=8 y = x3 -4x2+ x + 6 và trục hoành : S=23/2 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN CÂU 1 . Giá trị của I - 2J là? A. B.0 CÂU 2 Tính C. D.- ta được kết quả nào sau đây? A. B. C. CÂU 3 Tính ∫sin4xdx ta được kết quả là: A. sin5x + C B. CÂU 4 Kết quả của ∫x A.x +C . D.Một kết quả khác (3x - 2sin2x + sin4x) + C C.4sin3x + C D.Một kết quả khác dx là: B. C. +C D.x + +C CÂU 5  Cho parabol (P) : y = x2 và điểm A trên (P) có xA = 2. Hình phẳng giới hạn bởi cung OA của (P), trục Oy và đường thẳng y = 4 quay quanh trục Oy tạo thành một khối tròn xoay có thể tích là: A.4π (đvtt) B.6π (đvtt) C.8π (đvtt) D.10π (đvtt) CÂU 6 Cho f(x) = 3x2 + 2x - 3 có một nguyên hàm triệt tiêu khi x = 1, nguyên hàm đó là kết quả nào sau đây? A.F(x) = x3 + x2 - 3x B.F(x) = x3 + x2 - 3x + 1 C.F(x) = x3 + x2 - 3x + 2 CÂU 7 D.F(x) = x3 + x2 - 3x - 1 với n ∈ N∗, ta thiết lập được công thức Bằng phép tính tích phân từng phần cho liên hệ giữa In và In-2 là kết quả nào sau đây? A.In = nIn-2 (n > 2) B.In = (n - 1)In-2 (n > 2) C. D. CÂU 8 Tính ta được kết quả: A.ln|1 - 2x| + C B. CÂU 9 C.-2ln|1 - 2x| + C D. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol (P) : f(x) = -x2 + 4x - 3 và hai tiếp tuyến của nó tại các điểm có x = 0, x = 3 là: A. CÂU 10 B. C. D. A.13 CÂU 11 B.-3 C.3 D.Không tính được. có giá trị là: A.1 CÂU 12 B. C. D. Để tính A.t = cosx + sinx = CÂU 13 A.0 CÂU 14 theo phương pháp đổi biến số, ta nên đặt: B.t = sinx – cosx C.t = D.t với x ∈ N. Giá trị của I0 + I1 là? C.2 D.3 B.1 Tính ta được kết quả nào sau đây? A. B. C. CÂU 15 D.Một kết quả khác. Tính ∫sin( - 2x)dx ta được kết quả là: A.-cos( - 2x) + C CÂU 16 B.2cos( - 2x) + C C. cos( - 2x) + C D.- cos( - 2x) + C Các khẳng định nào sau đây là sai? A.∫f(x)dx = F(x) + C ⇒ ∫f(t)dt = F(t) + C C.∫f(x)dx = F(x) + C ⇒ ∫f(u)dx = F(u) + C CÂU 17 Tính A.0 CÂU 18 B.[∫f(x)dx]' = f(x) D.∫kf(x)dx = k ∫f(x)dx (k là hằng số). được kết quả nào sau đây: B. + 1 C. D. Tính I = ∫(x - 5)4dx ta được kết quả nào sau đây? A.4(x - 5)3 + CB. CÂU 19 C. D. f(x) = (x - 1)ex có một nguyên hàm là hàm số nào sau đây? A.F(x) = (x - 2)ex B.F(x) = (x - 1)ex C.F(x) = xex CÂU 20 D.F(x) = (x - 3)ex Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng có phương trình x = 0 và x = 2, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ∈ [0 ; 2] là một phần tư đường tròn bán kính A.32 (đvtt) x2, ta được kết quả nào sau đây? B.64 (đvtt) C. D.8 (đvtt) CHỦ ĐỀ 4: SỐ PHỨC 1/ Tập số phức: C 2/ Số phức : z = a + bi (a, b  R , i là đơn vị ảo, i2 = -1); a là phần thực, b là phần ảo của z  z là số thực  phần ảo bằng 0 (b = 0)  z là thuần ảo  phần thực bằng 0 (a = 0) 3/ Hai số phức bằng nhau: a  a ' a + bi = a’ + b’i  b b' (a, b, a' , b' R) 4/ Biểu diễn hình học : Số phức z = a + bi (a, b  R ) được biểu diễn bởi M(a ; b) hay bởi  y u ( a; b) trong mp(Oxy) (mp phức) M(a+bi) 0 x 5/ Cộng trừ số phức : . (a + bi) + (a’+ b’i) = (a + a’) + (b + b’)i . (a + bi) – (a’ + b’i) = (a – a’) + (b – b’)i (a, b, a’, b’  R )  R )  Số đối của z = a + bi laø –z = -a – bi (a, b        z biểu diễn u , z’ biểu diễn u ' thì z + z’ biể diễn bởi u  u ' vaø z – z’ biểu diễn bởi u  u ' 6/ Nhân hai số phức : (a + bi)(a’ + b’i) = (aa’-bb’) + (ab’ + ba’)i (a, a’, b, b’  R ) .  7/ Số phức liên hợp của số phức z = a + bi laø z a  bi a) z  z ; z  z '  z  z ' ; z.z '  z.z ' b) z là số thực  z  z ; z là số ảo  z  z 8/ Mô đun của số phức : z = a + bi a) z  a  b  z z  OM b) z 0 z  C , z 0  z 0 c) z.z '  z z ' , z  z '  z  z ' z , z ' C 9/ Chia hai số phức : 2 2 1 1 a) Số phức nghịch đảo của z (z 0) : z  z 2 z b) Thương của z’ chia cho z (z 0) : c) Với z 0 , z'  w  z '  wz. z , z' z' z z' z  z' z  1  2  z zz z z'  z'    , z z   z' z'  z z 10/ Căn bậc hai của số phức : z là căn bậc hai của số phức   z 2  z = x + yi là căn bậc hai của w = a + bi (a, b, x, y  R ) a) w = 0 nó có 1 căn bậc hai là z = 0 b) w 0 có hai căn bậc hai đối nhau * Hai căn bậc hai của a > 0 laø  a * Hai căn bậc hai của a < 0 laø   a .i 11/ phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (A, B, C là các số thực cho trước, A 0 ).  2 a   x  x 2  y 2 a      2 xy b y  b  2x  a2  b2 2   B 2  4 AC  B  a)  0 : Phương trình có hai nghiệm phân biệt , (  là căn bậc hai của  ) 2A B b)  0 : phương trình có nghiệm kép là  2A VẤN ĐỀ 1: Thực hiện các phép toán cộng - trừ - nhân - chia  Áp dụng qui tắc cộng trừ nhân chia hai số phức, căn bậc hai số phức Chú ý các tính chất của phép toán. Baøi 1. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: 1  a) (4– i)  (2  3i) – (5 i ) b) 2  i    2i  3     1 1   3 d)  3 i      2i   i 3   2   2 3 i  1 i g) 2 i i h) 3 1  e)   i   4 5  3 1  2i  5 3    i  4 5  i) 2 5  c)  2  3i     i  3 4  f) (2  3i)(3 i ) 1 i 1 i Thực hiện các phép toán sau: a) (1 i )2  (1– i )2 b) (2  i )3  (3 i )3 j) 3i (1  2i )(1  i ) Baøi 2. 3 2 c) (3 4i )2 2 (1  2i )  (1  i ) 1  d)   3i  e) f) (2  i )6 2 2 ( 3  2 i )  ( 2  i ) 2  Baøi 3. Cho số phức z  x  yi . Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau: z i a) z2  2z  4i b) iz  1 VẤN ĐỀ 2: Giải phương trình trên tập số phức. Giả sử z = x + yi. Giải phương trình theo ẩn z là tìm x, y thỏa mõa phương trình. Baøi 1. Giải các phương trình sau (ẩn z): 2 2 z  z  0 a) b) z 2  z 0 c) z  2 z 2  4i d) z 2  z 0 e) z  2 z  1  8i f) (4  5i)z 2  i 4  z i   1  z i 2i  1  3i z 1 i 2i g)  h) i) 2 z  3z 1  12i k) (3 2i )2(z  i ) 3i  1  1  1 l)  (2 i)z  3 i   iz   0 m) z 3 i  3 i 2  2 2i    Baøi 2. Giải các phương trình sau (ẩn x): 2 a) x  3.x  1 0 b) 3 2 .x 2  2 3.x  2 0 c) x2  (3 i )x  4 3i 0 d) 3i.x2  2x  4  i 0 e) 3x 2  x  2 0 g) 3x 3  24 0 i) ( x  2)5  1 0 f) i.x 2  2i.x  4 0 h) 2 x 4  16 0 k) x2  7  0 l) x2  2(1 i )x  4  2i 0 m) x2  2(2  i)x  18 4i 0 o) ix2  4x  4 i 0 p) x2  (2  3i )x 0 Baøi 3. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng lần lượt là: 2  3 i vaø  1 3i a) b) 2i vaø 4  4i Baøi 4. Cho z1, z2 là hai nghiệm của phương trình  1 i 2 z2  (3 2i)z  1 i 0 . Tính giá trị của các biểu thức sau: z z a) A  z12  z22 b) B  z12z2  z1z22 c) C  1  2 z2 z1 VẤN ĐỀ 3: Tập hợp điểm. Giả sử số phức z = x + yi được biểu diễn bởi điểm M(x; y). Tìm tập hợp các điểm M là tìm giá trị x và y.. Xác định các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thõa mõa các điều kiện sau: a) z  z  3 4 b) z  z  1 i 2 c) z  z  2i 2 z  i Baøi 1. d) 2i.z  1 2 z  3 e) 2i  2 z  2 z  1 g) z  i  z  2 3i h) f) z 3 1 z  3i 1 z i i) z  1 i 2 k) 2  z  i  z l) z  1  1 m) 1  z  i  2 Baøi 2. Xác định các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thõa mõa các điều kiện sau: a) z  2i là só thực b) z  2 i l) z.z 9 SỐ PHỨC TRONG CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP, ĐH – CĐ Bài 1. Giải phương trình 2 x 2  5 x  4 0 trên tập số phức. 5 7 5 7 x1   i ; x2   i 4 4 4 4 Đáp số: TN THPT – 2006 Bài 2. Giải phương trình x 2  4 x  7 0 trên tập số phức. TN THPT – 2007 (lần 1) Đáp số: x1 2  3i ; x2 2  3i Bài 3. Giải phương trình x 2  6 x  25 0 trên tập số phức. TN THPT – 2007 (lần 2) Đáp số: x1 3  4i ; x2 3  4i Bài 4. Tìm giá trị của biểu thức: P (1  3i ) 2  (1  3i ) 2 TN THPT – 2008 (lần 1) Đáp số: P  4 Bài 5. Giải phương trình x 2  2 x  2 0 trên tập số phức. TN THPT – 2008 (lần 2) Đáp số: x1 1  i ; x2 1  i Bài 6. Giải phương trình 8 z 2  4 z  1 0 trên tập số phức. TN THPT – 2009 (CB) 1 4 1 4 1 4 Đáp số: x1   i ; x2   1 i 4 Bài 7. Giải phương trình 2 z 2  6 z  5 0 trên tập số phức. 3 1 3 1  i ; x2   i 2 2 2 2 là hai nghiệm phức của phương trình z 2  2 z  10 0 . Tính giá trị của biểu thức TN THPT – 2010 (GDTX) Bài 8. Gọi z1 , z 2 A  z1 2  z2 2 Đáp số: x1  . ĐH Khối A – 2009 (CB) Đáp số: A = 20 Bài 9. Cho hai số phức: z1 1  2i , z 2 2  3i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1  2z 2 . TN THPT – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 3 ; Phần ảo 8 Bài 10. Tìm số phức z thỏa mãn z  ( 2  i )  10 và z.z 25. ĐH Khối B – 2009 (CB) Đáp số: z = 3 + 4i  z = 5 Bài 11. Tìm phần ảo của số phức z, biết: z ( 2  i ) 2 (1  2i ) . ĐH Khối A – 2010 (CB) Đáp số:  2 Bài 12. Cho số phức z thỏa mãn: (1  i ) 2 (2  i ) z 8  i  (1  2i ) z . Xác định phần thực và phần ảo của z. CĐ Khối A, B, D – 2009 (CB) Đáp số: Phần thực – 2, phần ảo 3. Bài 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện z  i  (1  i ) z .ĐH Khối B – 2010 (CB) Đáp số: đường tròn x 2  ( y  1) 2 2 Bài 14. Cho số phức z thỏa mãn: (2  3i ) z  (4  i ) z  (1  3i) 2 . Xác định phần thực và phần ảo của z. CĐ Khối A, B, D – 2010 (CB) Đáp số: Phần thực – 2 ; phần ảo 5. Bài 15. Giải phương trình 2 z 2  iz  1 0 trên tập số phức. Đáp số: x1 i ; x2  TN THPT – 2009 (NC) 1 i 2 Bài 16.Cho hai số phức: z1 2  5i , z 2 3  4i . Xác định phần thực và phần ảo của số phức z1 .2 z 2 . TN THPT – 2010 (NC) Đáp số: Phần thực 26 ; Phần ảo 7 Bài 17.Giải phương trình 4 z  3  7i CĐ Khối A, B, D – 2009 (NC) z  i z  2i trên tập số phức. Đáp số: x1 1  2i ; x2 3  i Bài 18.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức thỏa mãn điều kiện z  (3  4i ) 2 ĐH Khối D – 2009Đáp số: đường tròn tâm I(3 ; – 4), bán kính R = 2. Bài 19.cho số z thỏa mãn: z  ĐH Khối A – 2010 (NC) (1  3i ) 3 . Tìm mô đun của z  iz . 1 i Đáp số: 8 2 . Bài 20. Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện z  2 và z2 là số thuần ảo. ĐH Khối D – 2010 Đáp số: z1 = 1 + i; z2 = 1 – I; z3 = – 1 – i; z4 = – 1 + i Bài 21. Giải phương trình z 2  (1  i ) z  6  3i 0 trên tập số phức. CĐ Khối A, B, D – 2010 (NC) Đáp số: x1 = 1 – 2i ; x2 = 3i CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM SỐ PHỨC Câu 1: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Số phức z = a + bi được biểu diễn bằng điểm M(a; b) trong mặt phẳng phức Oxy B. Số phức z = a + bi có môđun là a2  b2 a 0 C. Số phức z = a + bi = 0    b 0 D. Số phức z = a + bi có số phức đối z’ = a - bi Câu 2: Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số phức: A. z’ = -a + bi B. z’ = b - ai C. z’ = -a - bi D. z’ = a - bi 2 Câu 3: Cho số phức z = a + bi. Số phức z có phần thực là : A. a2 + b2 B. a2 - b2 C. a + b D. a - b z Câu 4: Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i. Số phức có phần ảo là: z' aa' bb' aa' bb' aa' bb' 2bb' A. 2 B. 2 C. 2 D. 2 2 2 2 a b a'  b' a b a'  b'2 Câu 5: Số phức z = 2 - 3i có điểm biểu diễn là: A. (2; 3) B. (-2; -3) C. (2; -3) D. (-2; 3) Câu 6: Cho số phức z = 5 – 4i. Số phức đối của z có điểm biểu diễn là: A. (5; 4) B. (-5; -4) C. (5; -4) D. (-5; 4) Câu 7: Cho số phức z = 6 + 7i. Số phức liên hợp của z có điểm biểu diễn là: A. (6; 7) B. (6; -7) C. (-6; 7) D. (-6; -7) Câu 8: Cho số phức z = a + bi . Số z + z’ luôn là: A. Số thực B. Số ảo C. 0 D. 2 Câu 9: A là điểm biểu diễn của số phức z = 3 + 2i và B là điểm biểu diễn của số phức z’ = 2 + 3i Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau: A. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục hoành B. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua trục tung C. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua gốc toạ độ O D. Hai điểm A và B đối xứng với nhau qua đường thẳng y = x Câu 10: Điểm biểu diễn của các số phức z = 3 + bi với b  R, nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. x = 3 B. y = 3 C. y = x D. y = x + 3 Câu11: Cho số phức z = a - ai với a  R, điểm biểu diễn của số phức đối của z nằm trên đường thẳng có phương trình là: A. y = 2x B. y = -2x C. y = x D. y = -x Câu12: Cho số phức z = a + a2i với a  R. Khi đó điểm biểu diễn của số phức liên hợp của z nằm trên: A. Đường thẳng y = 2x B. Đường thẳng y = -x + 1 C. Parabol y = x2 D. Parabol y = -x2 Câu13: Thu gọn z =  2  3i  2 ta được: A. z =  7  6 2i B. z = 11 - 6i Câu14: Thu gọn z = (2 + 3i)(2 - 3i) ta được: A. z = 4 B. z = 13 C. z = -9i Câu15: Thu gọn z = i(2 - i)(3 + i) ta được: A. z = 2 + 5i B. z = 1 + 7i Câu16: Số phức nghịch đảo của số phức z = 1 - C. z = 4 + 3i D. z =4 - 9i C. z = 6 3i là: 1 3 1 3 B. z 1 =  C. z 1 = 1 + 3i  i i 2 2 4 4 3  4i Câu17: Số phức z = bằng: 4 i 16 13 16 11 9 4  i  i A. B. C.  i 17 17 15 15 5 5 Câu18: Trong C, phương trình iz + 2 - i = 0 có nghiệm là: A. z = 1 - 2i B. z = 2 + i C. z = 1 + 2i D. z = 4 - 3i Câu19: Trong C, phương trình (2 + 3i)z = z - 1 có nghiệm là: 7 9 1 3 2 3  i  i A. z = B. z =  C. z =  i 10 10 10 10 5 5 Câu20: Trong C, phương trình (2 - i) z - 4 = 0 có nghiệm là: 8 4 4 8 2 3 A. z =  i B. z =  i C. z =  i 5 5 5 5 5 5 A. z 1 = D. z = -1 - i D. z = 5i D. z 1 = -1 + D. 9 23  i 25 25 D. z = 6 2  i 5 5 D. z = 7 3  i 5 5 3i CHỦ ĐỀ 5: KHỐI ĐA DIỆN – KHỐI TRÒN XOAY I. KHỐI CHÓP:  Thể tích của khối chóp : V =  Tỉ số thể tích 1 3V B. h  h  3 B V' SA' SB ' SC '  . . V SA SB SC a 3 a2 3 và diện tích S = 2 4 2 2. Hình vuông cạnh a có : Đường chéo a 2 và diện tích S = a 1 1 1 1 3. Công thức tính diện tích S  a.ha  ab.sinC  ac.sinB  bc.sinA 2 2 2 2 4. Cho ABC vuông tại A :b = a. sinB = a. cosC ; b = c . tgB = c.cotgC 5.Định lí cosin : Trong tam giác ABC ta có : a 2 b 2  c 2  2bc. cos A  Quy trình tính V Vẽ hình(Xác định đúng chân đường cao) Xác định góc(giữa đường tẳng và mặt phẳng, góc giữa 2 mặt) Tính diện tích đáy(Có thể cắt riêng đáy ra hình phẳng để tính) Tính chiều cao(Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông) Tính V  Quy trình tính h=d(a,(SBC)) Tính thể tích VS.ABC Tính diện tích Tam giác SBC 3VS . ABC Tính d ( A, ( SBC ))  dt ( SBC ) Ví dụ 1 : Cho hình chóp S.ABC cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Mặt (SBC) tạo với mp  đáy một góc 600. Tam giác ABC cân tại A , AB=a và BAC 1200 , a.Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC) Giải : a. Vẽ hình Đường cao SA Kẻ AHBCSH BC(Đl 3 đường vuông góc)   (ABC ), ( SBC ) SHA 600  Cần nhớ : 1. Tam giác đều cạnh a có : Đường cao h = 1 1 a2 3 Diện tích đáy S= B  AB. AC.sin A  a.a.sin1200  2 2 4 2 2 2 2  Tính h: BC = AB + AC – 2AB.AC. cosBAC = 3a  BC a 3 Ta có AH.BC=2S 2S a a 3  AH    h  AH .tan H  BC 2 2 3 1 a Tính V: V  Sh  3 8 3 a b. -Ta có VSABC  , 8 dt ( ABC ) a 2 3  - Tính dt(SBC) : dt  SBC    A) 2 cos( SH - - d ( A, ( SBC ))  3VS . ABC a 3  dt ( SBC ) 4 Bài tập Bài 1. Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a . Tính thể tích của khối chóp biết : a. Cạnh bên 2a b. Góc SAC bằng 450 c. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 Bài 2. a.Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác ABC .A’B’C’ có A’A, AB, BC vuông góc nhau từng đôi một và A’A= 2a, AB = a, BC= a 3 b. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’có đáy là tam giác đều cạnh a . điểm A’ cách đều ba điểm A ,B ,C ,cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60 0 . Tính thể tích của khối lăng trụ. c. Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’có tất cả các cạnh đều bằng a . Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 3. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , SA  (ABC) , SA= a 5 . Tính thể tích của khối chóp đó SM 1 SN  và 2 . Bài 4. Cho hình chóp S.ABC. M là điểm trên SA, N là điểm trên SB sao cho MA 2 NB Mặt phẳng (P) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành hai phần. Tìm tỉ số thể tích của hai phần đó. Bài 5. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh bên bằng a . Cho M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA và SC và mặt phẳng (BMN) vuông góc với mặt phẳng (SAC). a/. Tính thể tích hình chóp tam giác đều S.ABC. b) Tính thể tích hình chóp SBMN. Bài 6. Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại B, BC = a, SA = a 2 , AS  mp(ABC). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lầ lượt tại B’, C’, D’. Tính thể tích của khối chóp S.AB’C’D’. Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SBC) vuông góc với đáy, hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng lập với đáy một góc 450; đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có AB = a. a/. Chứng minh rằng hình chiếu của S trên mặt (ABC) là trung điểm của BC. b/. Tính thể tích của hình chóp S.ABC theo a ? B. Các bước xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp + Xác định trục  của đường tròn ngoại tiếp đáy ( đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy) nh) + Dựng mặt phẳng trung trực của một cạnh bên, mặt phẳng này cắt  tại I  R d(I,ñæ (Hoặc chứng minh khoảng cách từ I đến các đỉnh bằng nhau) A Ví dụ 1 : (Tứ diện đều) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh a. a) Chứng minh rằng nếu H là hình chiếu của A xuống mặt phẳng (BCD) thì H là trực tâm của tam giác BCD. b) Tính thể tích tứ diện theo a. c) Gọi I J lần lượt là trung điểm của AB và CD chứng tỏ rằng IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD. d) Xác định tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp-nội tiếp tứ diện ABCD. Giải: I G B D H C J a) Do IJ là đường trung tuyến và cũng là đường trung trực của tam giác AJB nên GA=GB với G là trung điểm của IJ. Tương tự GC=GD do IJ là đường trung trực của tam giác ICD. Mặt khác AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nên GB=GC=GD. Vậy GA=GB=GC=GD, hay G là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Ta có bán kính mặt cầu ngoại tiếp Thể tich khối cầu ngoại tiếp : Bốn tứ diện GABC; GACD; GABD; GBCD bằng nhau. Bốn đường cao kẻ từ G của bốn tứ diện bằng nhau Vậy G là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện. Bán kinh mặt cầu nội tiếp Chú ý:    Trọng tâm G của tứ diện là giao điểm của đoạn nối trung điểm của các cặp cạnh đối diện và là trung điểm của các đoạn nối đó. Trọng tâm của tứ diện cũng là giao điểm của các đoạn nối đỉnh và trong tâm của mặt đối diện chia đoạn đó theo tỉ số 1/3. Tứ diện đều có tâm đường tròn nội tiếp ngoại tiếp và giao điểm các đường cao là trọng tâm của tứ diện. A Ví dụ 2: (Tứ diện có ba cạnh đôi một vuông góc) Cho tứ diện OABC có OA;OB;OC vuông góc nhau từng đôi một và OA=a;OB=b;OC=c.Gọi H là hình chiếu của O lên mp(ABC). a) CMR H là trực tâm của tam giác ABC. H b) CMR B . O c) CMR . d) Tính diện tích toàn phần và thể tích tứ diện. e) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. M C Giải: a) Ta chứng minh AHBC thật vậy: BCOA (do OA(OBC)) BCOH (do H là hình chiếu của O) BC(AOH) hay BCAH. Tương tự ta chứng minh được BHAC hay H là trực tâm của tam giác ABC. b) Do OA,OB,OC vuông góc nhau từng đôi một nên các tam giác OAB;OBC;OAC là các tam giác vuông. Theo trên BC(AOH) nên BCOM Tam giác OBC vuông tại O có OM là đường cao nên Tam giác AOM vuông tại O có OH là đường cao nên Vậy c) Vậy . d) A N I ) B O M C e) Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng Mx vuông góc với mp(OBC) qua M. Mặt khác I nằm trên mp trung trực của đoạn OA nên I nằm trên Mx và cách mp(OBC) một khoảng a/2. Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp là Các bài tập Bài 1. Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a . a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều . b). Tính thể tích của khối chóp SABCD . c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD . Bài 2. Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tâm O.Các cạnh bên SA=SB=SC và cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45o. a).Tính thể tích của khối chóp SABC b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a. b). Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Bài 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 , hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA = a 2 . a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC b). Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC Bài 5. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng. Bài 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy cạnh SB = a 3 . a). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. Bài 7. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết AB=a, BC = a 3 , SA=3a. a). Tính thể tích khối chóp S.ABC. b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC. Bài 8. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA vuông góc với đáy. Biết SA=AB=BC=a. a). Tính thể tích khối chóp S.ABC. b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC II. HÌNH LĂNG TRỤ II. Các bài tập Bài 1: (Lăng trụ xiên) Cho lăng trụ xiên ABC.A’B’C’, đáy là tam giác đều cạnh a và A’A=A’B=A’C=b a) Xác định đường cao của lăng trụ kẽ từ A’. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ là hình chữ nhật. b) Tìm b để mặt bên ABB’A’ hợp với đáy một góc 60o c) Tính thể tích và diện tích toàn phần lăng trụ theo a với giá trị b vừa tìm được. Giải: a) Do A’A=A’B=A’C=b nên A’ nằm trên trục đường tròn ngoại B' tiếp tam giác ABC, vì tam giác ABC đều nên A’O là đường cao A' của lăng trụ với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. + Ta có BCAO (đường cao tam giác đều) A’OBC ( A’O là đường cao lăng trụ) C'  BC(A’AO)  BCAA’ Do AA’//BB’ nên BCBB’ B Vậy BB’C’C là hình chữ nhật. A o b) Gọi M là trung điểm AB ta có AM AB (tam giác A’AB cân) CMAB( tam giác ABC đều)  góc A’MC là góc hợp bởi mặt C bên ABB’A’ với đáy B' A' Để góc hợp bởi bằng 60O ta được c) Với b=a ta có đường cao lăng trụ C' B A o C Bài 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông tại A, BC = 6 và . Biết độ dài cạnh bên của lăng trụ bằng 4, hãy tính thể tích của lăng trụ. Bài 3. Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a. AC’=2a. Tính thể tích của lăng trụ . Bài4. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’D’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 6. H là trung điểm của B’C’, góc hợp bởi AH và (A’B’C’) bằng 60 . Tính thể tích của khối lăng trụ. Bài 5. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3. Gọi O’ là tâm của tam giác A’B’C’. Biết rằng O’ là hình chiếu của B lên (A’B’C’) và cạnh bên của lăng trụ bằng 15 . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài 6. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy bằng 60 . Biết rằng ABC  vuông tại B , AB 3 , BC  4 . BH  là đường cao của ABC  và H  là hình chiếu của điểm B lên  ABC  . Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a,cạnh bên có độ dài a. hình chiếu của A’ lên mp(ABC) trùng với trung điểm M của cạnh BC. a) Tính thể tích hình chóp. b) Chứng tỏ rằng BCB’C’ là hình vuông. c) Tính góc hợp bởi cạnh bên và mặt đáy . d) Tính diện tich xung quanh của lăng trụ. Bài 8: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng cạnh bên bằng 1 a) Tính thể tích lăng trụ. b) Tính diện tích xung quanh lăng trụ. c) Một mặt cầu (S) ngoại tiếp lăng trụ tính bán kính mặt cầu. Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A khoảng cách từ AA’ tới mặt bên BCB’C’ là a, mp(ABC’) cách C một khoảng bằng b và hợp với đáy một góc α. a) Dựng AHBC (HBC); CKAC’ (KAC’).chứng minh AH=a; Góc CAC’=α và CK=b b) Tính thể tích khối lăng trụ. c) Cho a=b không đối còn α thay đổi. Định α dể thể tích lăng trụ nhỏ nhất.(*) ĐS : Bài 10. Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A/A=A/B=A/C , AB = a, AC = a 3 , cạnh A/A tạo với mặt đáy góc 300 . Tính thể tích khối lăng trụ. III. MẶT TRÒN XOAY HÌNH TRỤ HÌNH NÓN B R A  h O S 2 h2  R2   h R A' * Diện tích xung quanh Sxq 2 Rl * Diện tích toàn phần Stp 2 Rl  2 R2 * Thể Tích Khối trụ V(T )  R2h O' A B' * Diện tích xung quanh Sxq  Rl * Diện tích toàn phần Stp  Rl   R2 * Thể Tích Khối trụ V( N )   R2h 3 O B Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 Ví dụ 2.1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng 6a2. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ. Giải * Mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một hình chữ nhật 6a2  S = .2R 6a2   3a 2R 2 * Diện tích xung quanh : Sxq 2 Rl 2 .a.3a 6 a 2 2 3 * Thể tích khối trụ : V(T )  R h  .a .3a 3 a Ví dụ 2.2: Cho hình nón,mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra thiết diện là tam giác đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón. Giải * Mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra tam giác đều cạnh 2a   2R 2a  h  2  R2  (2a)2  a2 a 3 2 * Diện tích xung quanh : Sxq  Rl  .a.2a 2 a  R2h  .a2.a 3  a3 3 * Thể tích khối trụ : V(T )    3 3 3  Ví dụ 2.3: Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, gọi O là tâm của đáy, SAO 600 . 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. 2.Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Giải SO  ( ABCD ) 1). Vì S.ABCD đều nên 2 Ta có : S ABCD a ; a 2 a 2 a 6  SOA vuông tại O có : SO  AO tan SAO  tan 600  3 2 2 2  VS.ABCD 1 1 2 a 6 a3 6  SABCD .SO  a  3 3 2 6 (đvtt) S A D O B C 29 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 2.Gọi l,r lần lượt là đường sinh,bán kính đáy của hình nón . a 2 Ta có : r OA  ; 2 2 2 a 6 a 2 3a 2 a 2 l SA  SO  AO    a 2      2 2  2   2  2 2 a 2 a 2 a 2 (đvdt) 2 Ví dụ 2.4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o. a) Tính thể tích khối chóp . b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải  Sxq rl  a) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD  SO  (ABCD). 1 2 V  B.h, B a2; h SO OA.tan450 a . 33 2  V a 2 (đvtt) 6 b) Ta có R =OA, l =SA= a. a 2 a2 2 Vậy Sxq  . a  2 2 Ví dụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a. a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’. b) Tính diện tích của mặt trụ tròn xoay ngoại tiếp hình trụ a) Ta có V  B.h , trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ . a2 3 Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên B SABC  . 4 a3 3 h = AA’ = a  V  (đvtt) 4 . b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo công thức Sxq 2 .Rl R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC 2 a 3 a 3  R . , l =AA’ =a  3 2 3 Vậy diện tích cần tìm là Sxq 2 . a 3 a2 3 (đvdt) .a 2 3 3 Ví dụ 2.6: Một hình nón có đường sinh bằng 2a và thiết diện qua trục là tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình nón S b) Tính thể tích của khối nón Giải   a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450 =2a   SO = OA = h=R= a 2 2 30 A 45o O B Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016  Sxq = R .a 2 .2a 2 2a2  Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 a2  2 a2 (2 2  2) a2 1 3 1 3 b) V = R 2 h  .2a2 .a 2  2 2a3 3 Ví dụ 2.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi I là trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp I.ABCD b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD ( khối nón có đỉnh I và đáy là hình tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD) S a). Ta có IO (ABCD) và IO  SA a  2 2 1 a3 Thể tích VI . ABCD  S ABCD .IO  3 6 I A D B b). Ta có khối nón có h = IO = a 2 AC a 2  2 2 2 3 1 1 a a a Vậy V( N )   R2h  . . .  3 3 2 2 12 Bán kính hình tròn đáy R = OA  O C Bài Tập Về Mặt Tròn Xoay Bài 1. Một hình trụ có khoảng cách hai đáy bằng 7a .Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn d = 3a theo một thiết diện có diện tích S=56a2 .Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ. Bài 2. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đă cho. Bài 3. Cho hình nón tròn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân tại A,có BC=20 2 (cm). Hình nón tṛòn xoay khi quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB. Tính Diện tích xung quanh của hình nón và Thể tích của khối nón. Bài 5. Cho hình lập phương ABCD. A' B 'C ' D ' có cạnh a .Gọi O là tâm hình vuông ABCD a). Tính thể tích của hình chóp O. A' B 'C ' b). Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tṛòn nội tiếp hình vuông A' B 'C ' D ' Bài 6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a có SA vuông góc với đáy và SA = AC. a). Tính thể tích khối chóp S.ABCD. b). Khi quay tam giác SAB quanh trục SA tạo ra hình nón. Tính diện tích xung quanh và thể tích của khối nón. 31 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 Bài 7. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là trung điểm của BC. a). Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a. b). Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh của hình chóp và đáy là hình tròn ngoại tiếp đa giác đáy của hình chóp. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích khối nón. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN- KHỐI TRÒN XOAY Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Các mặt phẳng (SAB),(SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, còn cạnh bên sc tạo với mặt phảng đáy một góc 30°. Thể tích của hình chóp đã cho bằng a3 6 A. 9 a3 6 B. 3 a3 6 C. 4 a3 3 D. 9 Câu 2: Một hình chóp tam giác có đường cao 100cm, Cạnh đáy bằng 20cm, 21cm, 29 cm, Thể tích hình chóp bằng a. 6000cm3 B. 6213cm3 C. 7000cm3 D.7000 2 cm3 o Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a,BˆAC = 60 , SA vuông góc với đáy, SA = a√ 3. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa SB và CM là: A. 2a 87 9 A. a 87 9 A. 3a 87 102 A. 2a 87 29 o Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc 60 . Khoảng cách từ A đến (SBC) là: A. a 3 2 B. a 2 2 C. a 3 3 D. a 4 Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B, AB = a. AC = 2a và SA vuông o góc với đáy. Góc giữa (SBC) và (ABC) bằng 60 . Thể tích S.ABC là: a3 a3 3 a3 3 C. 2a 3 B. A. C. 2 3 2 Câu 6. Một lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a. Đường chéo AC’ tạo với mặt bên (BCB’C’) một góc 300 . Thể tích khối lăng trụ là a3 2 D. a 3 6 C. A. 2a 3 B. a 3 2 2 Câu 7. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có thể tỉch là V. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai cạnh AA' và BB'. Khi đó thể tích của khối đa diện ABCIJC’ bằng: 4 3 2 3 A. V C. V D. V B. V 4 3 5 5 Câu 8. Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B’C'D' có cạnh AB=3cm, BC=4cm. Đường chéo A’C =7cm. Thể tích của hình hộp là 32 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 A.84cm2 6 cm2 B.24 C. 35cm2 D. 24 6 2 cm 3 Câu 9. Hình chóp S,ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc phẳng đáy và có độ dài bằng a. Thể tích khối tứ diện SBCD bằng: a3 A. 3 a3 B. 4 a3 C. 6 a3 D. 8 Câu 10. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Mặt phẳng (α)tạo với (ABC) o một góc 30 và cắt tất cả các cạnh bên tại M, N, P. Khi đó, SMNP bằng: a2 A. 2 B.a 2a 2 C. 3 2 D.3a 2 Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a,AD = a.Hình chiếu o của S lên (ABCD) là trung điểm H của AB, SC tạo với đáy một góc 45 .Thể tích khối chóp S.ABCD là: 2 2 3 A. a 3 B. 1 3 a 3 C. 2a 3 3 D. a3 3 2 Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy. Góc giữa o SB và đáy bằng 60 . Tính khoảng cách giữa AC và SB theo a. A. 2a B. a 2 2 C. a 15 5 D. a 7 7 Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = a√ 3, SA ⊥ BC. Tính góc giữa SDvà BC? o o o o A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 Câu 14. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB=AC=a, o BˆAC = 120 , BB’=a. I là trung điểm của CC’. Tính cosin góc giữa (ABC) và (AB’I)? A. 2 2 B. 3 2 C. 3 10 D. 5 5 Câu 15. Cho hình tứ diện đều có cạnh bằng a. Thể tích khối tứ diện là : A. a3 3 B. a3 2 6 C. a3 3 4 D. a3 3 2 sCâu 16. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, độ dài cạnh bên gấp đôi chiều cao của hình chóp. Thể tích khối chóp là: 33 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 a3 a3 2 a3 3 D.a 3 B. C. 12 36 2 Câu 17. Cho hình tứ diện ABCD. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm AB và AC. Khi đó tỉ số thể tích của khối tứ diện AB’C’D và khối tứ diện ABCD là A. A. 1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 8 1 SA 3 Mặt phẳng qua A' và song song với đáy của hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B', C' D Khi đó thể tích hình chóp SA'B'C'D’ bằng Câu 18. Cho hình chóp tứ giác SABCD có thể tích bằng V. Lấy điểm A' trên cạnh SA sao cho SA' = A. V 3 B. V 9 C. V 27 D. 1 81 Câu 19. Cho hình lập phương có cạnh bằng a và một hình trụ nội tiếp có hai đáy là 2 hình tròn nội tiếp 2 mặt đối diện của hình lập phương. Gọi S1 là diện tích 6 mặt hình lập phương, S2 là dịện tích xung quanh S1 hình trụ. Tỉ số bằng: S2 1   A. B. C. D. 2 2 6 Câu 20. Một hình tứ diện đều cánh a có một đỉnh trùng với đỉnh của hình nón tròn xoay còn ba đỉnh còn lại của tứ diện nằm trên đường tròn đáy của hình nón. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay là một trong các kết quả sau : 3 2 2 2 3 2 A. a B. a D. a C. 2 a 2 3 3 2 Câu 21. Trong một chiếc hộp hình trụ, người ta bỏ vào đấy ba quả banh tennis, biết rằng đáy của hình trụ bằng hình tròn lớn trên quả banh và chiều cao của hình trụ bằng ba lần đường kính quả banh. Gọi S 1 là S1 tổng diện tích của ba quả banh, S2 là diện tích xung quanh của hình trụ. Tỉ số diện tích là : S2 A. 1 B. 2 C.5 D. Khác Câu 22. Một hình nón có thiết diện qua trục là tam giác đều. Tỉ số thể tích của khối cầu ngoại tiếp và khối cầu nội tiếp khối nón là A. 8: B. 4 C.2 34 D. 6. Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 CHỦ ĐỀ ĐỀ 6: 6: CHỦ PHƯƠNG PHÁP PHÁPTOẠ TOẠ ĐỘ ĐỘ TRONG TRONG KHÔNG KHÔNG GIAN GIAN PHƯƠNG HỆ TOẠ TOẠ ĐỘ ĐỘ TRONG TRONG KHÔNG KHÔNG GIAN GIAN I.I. HỆ 1. Hệ tọa độ Đêcac vuông góc trong không gian:     2 2 2 Chú ý: và i. j i.k  k. j 0 . i  j k 1 2. Tọa độ của vectơ:     a) Định nghĩa: u   x; y; z  u  xi  yj  zk   b) Tính chất: Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k  R    a b  (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 )   ka  (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 b1  a2 b2 a b 3  3     0 (0; 0; 0), i (1; 0; 0), j (0;1; 0), k (0; 0;1)       a1 a2 a3   , (b1, b2 , b3 0) a cùng phương b(b 0)  a kb (k  R)  b1 b2 b3    a.b a1.b1  a2 .b2  a3 .b3  a  b  a1b1  a2 b2  a3b3 0    a  a12  a22  a22 a2 a12  a22  a32  a1b1  a2 b2  a3b3 a.b      cos(a, b)     (với a , b 0 ) a.b a12  a22  a32 . b12  b22  b32    a b       3. Tọa độ của điểm:  a) Định nghĩa: M (x; y; z)  OM  (x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý:  M  (Oxy)  z = 0; M  (Oyz)  x = 0; M  (Oxz)  y = 0  M  Ox  y = z = 0; M  Oy  x = z = 0; M  Oz  x = y = 0 b) Tính chất: Cho A(xA; yA; zA ), B(xB; yB ; zB )   AB (xB  xA; yB  yA; zB  zA )  AB  (xB  xA )2  (yB  yA )2  (zB  zA )2  x  kxB yA  kyB zA  kzB   Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M  A ; ;  1 k 1 k   1 k  x x y y z z   Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB: M  A B ; A B ; A B   2 2 2   x x x y y y z z z   Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC: G  A B C ; A B C ; A B C  3 3 3   4. Tích có hướng của hai vectơ:   a) Định nghĩa: Cho a (a1 , a2 , a3 ) , b (b1 , b2 , b3 ) . 35 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016   a a a a a a  a  b  2 3 ; 3 1 ; 1 2   a2b3  a3b2 ; a3b1  a1b3; a1b2  a2b1  b b b b b b  3 1 1 2   2 3 Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số. b) Tính chất:              k,i   j   i , j  k;  [a, b]  a; [a, b]  b  j , k  i ;           [a, b]  a . b .sin a, b  a, b cùng phương  [a, b]  0   a, b 5. Phương trình mặt cầu:  Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 R2  Phương trình x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 với a2  b2  c2  d  0 là phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2  b2  c2  d . VẤN ĐỀ 1: Các phép toán về toạ độ của vectơ và của điểm – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian.     Bài 1: Cho: a  2;  5;3 , b  0; 2;  1 , c  1; 7; 2  . Tìm toạ độ của các vectơ u với:  2   1       a) u 4a  b  3c b) u c) u  4b  c a  4b  2c 2 3  1 4    3 2     d) u e) u  a  b  2c f) u a  b  c 3a  b  5c 2 3 4 3    Bài 2: Cho ba vectơ a  1;  1;1 , b  4; 0;  1 , c  3; 2;  1 . Tìm:   2  2  2  2    a)  a.b c b) a c) a b b c  c a b.c   2       2 2 d) 3a  2  a.b b  c b e) 4a .c  b  5c   Bài 3:Tính góc giữa hai vectơ a và b :     a) a  4;3;1 , b   1; 2;3  b) a  2;5; 4  , b  6; 0;  3      c) a d) a (2;1;  2), b (0;  2; 2 ) (3; 2; 2 3 ), b ( 3; 2 3;  1)     e) a f) a (3;  2;1), b (2;1;  1) ( 4; 2; 4), b (2 2 ;  2 2 ; 0)    Bài 4:Xét sự đồng phẳng của ba vectơ a, b, c trong mỗi trường hợp sau đây:       a) a  1;  1;1 , b  0;1; 2  , c  4; 2;3 b) a  4;3; 4  , b  2;  1; 2  , c  1; 2;1       c) a   3;1;  2  , b  1;1;1 , c   2; 2;1 d) a  4; 2;5  , b  3;1;3 , c  2; 0;1       e) a (2;3;1), b (1;  2; 0),c (3;  2; 4) f) a (5; 4;  8), b ( 2;3; 0), c (1; 7;  7)       g) a (2;  4;3), b (1; 2;  2),c (3;  2;1) h) a (2;  4;3), b ( 1;3;  2), c (3;  2;1)   Bài 5:Chứng tỏ bốn vectơ a, b,c, d đồng phẳng:     a) a   2;  6;1 , b  4;  3;  2  , c   4;  2; 2  , d ( 2;  11;1)     b) a  2; 6;  1 , b  2;1;  1 , c   4;3; 2  , d (2;11;  1) VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm trong không gian. Chứng minh tính chất hình học. Diện tích – Thể tích. – Sử dụng các công thức về toạ độ của vectơ và của điểm trong không gian. – Sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian. – Công thức xác định toạ độ của các điểm đặc biệt. – Tính chất hình học của các điểm đặc biệt: 36 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016        A, B, C thẳng hàng  AB, AC cùng phương  AB k AC   AB, AC  0    ABCD là hình bình hành  AB DC  Cho ABC có các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC     AB AB EB  .EC , FB  .FC AC    AC    A, B, C, D không đồng phẳng  AB, AC, AD không đồng phẳng   AB, AC  .AD 0 Baøi 1. Cho ba điểm A, B, C.  Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành một tam giác.  Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC.  Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.  Xác định toạ độ các chân E, F của các đường phân giác trong và ngoài của góc A của ABC trên BC. Tính độ dài các đoạn phân giác đó.  Tính số đo các góc trong ABC.  Tính diện tích ABC. Từ đó suy ra độ dài đường cao AH của ABC. a) A(1; 2;  3), B(0;3; 7),C(12;5; 0) b) A(0;13; 21), B(11;  23;17),C(1; 0;19) c) A(3;  4; 7), B( 5;3;  2),C(1; 2;  3) d) A(4; 2;3), B( 2;1;  1),C(3;8; 7) Baøi 2. Cho bốn điểm A, B, C, D.  Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.  Tìm tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD.  Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD.  Tính thể tích của khối tứ diện ABCD.  Tính diện tích tam giác BCD, từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A. a) A(2;5;  3), B(1; 0; 0), C(3;0;  2), D( 3;  1; 2) b) A 1; 0; 0  , B  0;1; 0  , C  0; 0;1 , D   2;1;  1 trên BC. Ta có: c) A 1;1; 0  , B  0; 2;1 , C  1; 0; 2  , D  1;1;1 d) A 2; 0;0  , B  0; 4; 0  , C  0; 0; 6  , D  2; 4; 6  Baøi 3. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'.  Tìm toạ độ các đỉnh còn lại.  Tính thể tích khối hộp. a) A 1; 0;1 , B  2;1; 2  , D  1;  1;1 ,C ' 4;5;  5  b) A(2;5;  3), B(1; 0; 0),C(3; 0;  2), A'( 3;  1; 2) c) A(0; 2;1), B(1;  1;1), D(0; 0; 0;), A'( 1;1; 0) d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2),C( 1;1;1),C '(1;  2;  1) Baøi 4. Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0). a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB). b) Chứng minh S.ABC là một hình chóp đều. c) Xác định toạ độ chân đường cao H của hình chóp. Suy ra độ dài đường cao SH. Baøi 5. Cho bốn điểm S(1; 2; 3), A(2; 2; 3), B(1; 3; 3), C(1; 2; 4). a) Chứng minh SA  (SBC), SB  (SAC), SC  (SAB). b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh SMNP là tứ diện đều. c) Vẽ SH  (ABC). Gọi S là điểm đối xứng của H qua S. Chứng minh SABC là tứ diện đều. VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu. Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R: (S): (x  a)2  (y  b)2  (z  c)2 R2 Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A: Khi đó bán kính R = IA. Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: x x y y z z – Tâm I là trung điểm của đoạn thẳng AB: xI  A B ; yI  A B ; zI  A B . 2 2 2 37 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 AB . 2 Dạng 4: (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 (*). – Thay lần lượt toạ độ của các điểm A, B, C, D vào (*), ta được 4 phương trình. – Giải hệ phương trình đó, ta tìm được a, b, c, d  Phương trình mặt cầu (S). Dạng 5: (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm I nằm trên mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự như dạng 4. Chú ý: Với phương trình mặt cầu (S): với a2  b2  c2  d  0 x2  y2  z2  2ax  2by  2cz  d 0 – Bán kính R = IA = thì (S) có tâm I(–a; –b; –c) và bán kính R = a2  b2  c2  d . Baøi 1. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau: 2 2 a) x  y  z2  8 x  2 y  1 0 b) x2  y2  z2  4 x  8y  2z  4 0 c) x2  y2  z2  2 x  4y  4z 0 d) x2  y2  z2  6 x  4 y  2z  86 0 Baøi 2. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính R: a) I (1;  3;5), R  3 b) I (5;  3; 7), R 2 c) I (1;  3; 2), R 5 d) I (2; 4;  3), R 3 Baøi 3. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A: I ( 2 ; 4 ;  1 ), A(5; 2;3) a) b) I (0;3;  2), A(0; 0; 0) c) I (3;  2;1), A(2;1;  3) d) I (4;  4;  2), A(0; 0; 0) e) I (4;  1; 2), A(1;  2;  4) Baøi 4. Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4;  1), B(5; 2;3) b) A(0;3;  2), B(2; 4;  1) c) A(3;  2;1), B(2;1;  3) d) A(4;  3;  3), B(2;1;5) e) A(2;  3;5), B(4;1;  3) f) A(6; 2;  5), B( 4; 0; 7) Baøi 5. Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) A 1;1; 0  , B  0; 2;1 , C  1; 0; 2  , D  1;1;1 b) A 2; 0; 0  , B  0; 4; 0  , C  0; 0; 6  , D  2; 4; 6  c) A(2;3;1), B(4;1;  2),C(6;3; 7), D( 5;  4;8) d) A(5; 7;  2), B(3;1;  1),C(9; 4;  4), D(1;5; 0) e) A(6;  2;3), B(0;1; 6),C(2; 0;  1), D(4;1; 0) f) A(0;1;0), B(2;3;1),C( 2; 2; 2), D(1;  1; 2) II. PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH MẶT MẶT PHẲNG PHẲNG II. 1. Phương trình mặt phẳng  * PTTQ : Ax + By +Cz + D= 0 với n ( A, B, C ) là PVT * Cách xác định mặt phẳng :  + Qua M(x0,y0,z0) điểm và có pháp véc tơ n ( A, B, C )  a (a , a , a ) A(x- x0) + (y – y0) + C(z – z0) = 0ø   b (b , b , b ) + Qua M(x0,y0,z0) có cặp véc tơ chỉ phương là   *n [a, b] ( a2b3  a3b2 , a3b1  a1b3 , a1b 2  a2b1 ) *(a2b3  a3b2 )( x  x0 )  (a3b1  a1b 3 )(  y  y0 )  (a1b 2  a2b1 )( z  z0 ) 0 + Qua 3 điểm A, B, C Có pháp véc tơ n [ AB, AC ] 1 1 + PT Đoạn chắn A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) : 2. Vị trí tương đối của 2 mặt phẳng 38 x y z   1 a b c 2 2 3 3 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 Cho 2 MP   1  : A1 x  B1 y  C1 z  D1 0 (1)  2  : A2 x  B2 y  C 2 z  D2 0 (2)  1  caét  2   A1 : B1 : C1  A2 : B2 : C 2  n1  k n2  n1 k n2  D1 kD2  n k n2 A B C D  1  1  1  1   1  //  2    1 A2 B2 C 2 D2  D1 kD2 n1 .n 2 A1 . A2  B1 .B2  C1C 2   : - Góc giữa 2mp cos   2 2 2 2 2 2 n1 . n 2 A1  B1  C1 . A2  B2  C 2   1   2   - 2mp vuông góc khi : A1 . A2  B1 .B2  C1C 2 0 3. Khoảng cách từ một điểm đến MP Khoảng cách từ một điểm M 0  x 0 ; y 0 ; z 0  đến mặt phẳng () :Ax - By - Cz - D = 0 d  M 0 ;     Ax 0  By 0  Cz 0  D A2  B 2  C 2 Bài 1: Viết PTTQ của mp   a. Đi qua điểm M 1; 2;3 và song song với mặt phẳng    : 2 x  3 y  z  5 0 b. Mặt phẳng trung trực của : A 2;3; 4 , B  4; 1;0  . c. Qua 3 điểm : A  1;2;3, B  2; 4;3, C  4;5;6  . d. Qua các điểm là hình chiếu của điểm M  2; 3;4  trên các trục tọa độ. Bài 2: Xét vị trí tương đối của 2 mặt phẳng: 1  : x  2 y  z  5 0  2  : 2 x  3 y  7 z  4 0 Bài 3: Xác định các giá trị m, l để hai mặt phẳng song song với nhau a) 2 x  ly  2 z  3 0; mx  2 y  4 z  7 0 b) 2 x  y  mz  2 0; x  ly  2 z  8 0 Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm A(3; - 4; 5 đến mặt phẳng x + 5y - z + 7 = . III. PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÌNH ĐƯỜNG ĐƯỜNG THẲNG THẲNG III. 1. Phương trình tham số của đường thẳng   Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M0 (x0 ; y0 ; z0 ) và có VTCP a (a1; a2 ; a3 ) :  x  xo  a1t  (d): y yo  a2t  z z  a t o 3   Nếu a1a2 a3 0 thì (d): 2. ( t  R) x  x0 a1  y  y0 a2  z  z0 a3 đgl phương trình chính tắc của d. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d, d có phương trình tham số lần lượt là:  x  x0  ta1  x  x0  ta1   d :  y y0  ta2 d :  y y0  ta2 và  z z  ta  z z  ta 0 3 0 3       a, a 0   d // d       0  a , M M 0 0   39 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 3.       d  d   a, a  a, M0 M0  0    a , a 0  d, d cắt nhau       a, a .M0 M0 0       d, d chéo nhau  a, a .M0 M0 0     d  d  a  a  a.a 0 Vị trí tương đối giữa một đường thẳng và một mặt phẳng  x  x0  ta1  Cho mặt phẳng (): Ax  By  Cz  D 0 và đường thẳng d:  y y0  ta2  z z  ta 0 3  Xét phương trình: A(x0  ta1 )  B(y0  ta2 )  C (z0  ta3 )  D 0 (ẩn t)(*)  d // ()  (*) vô nghiệm  d cắt ()  (*) có đúng một nghiệm  d  ()  (*) có vô số nghiệm  Bài 1: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP a cho trước:    a) M (1;2;  3), a ( 1;3;5) b) M (0;  2;5), a (0;1;4) c) M (1;3;  1), a (1;2;  1) Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm A, B cho trước: a) A 2;3;  1 , B  1; 2; 4  b) A 1;  1; 0  , B  0;1; 2  c) A 3;1;  5  , B  2;1;  1 Bài 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng  cho trước: a) A 3; 2;  4  ,  Ox b) A 2;  5;3 ,  ñi qua M (5; 3; 2), N(2;1;  2)  x 2  3t  x  2 y 5 z 2 c) A(2;  5;3),  :  y 3  4t d) A(4;  2; 2),  :   4 2 3  z 5  2t Bài 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước: a) A  2; 4;3 , (P) : 2 x  3y  6z  19 0 b) A 1;  1; 0  , (P ): caù c mp toaïñoä c) A 3; 2;1 , (P ): 2 x  5y  4 0 d) A(2;  3; 6), (P ): 2 x  3y  6 z  19 0 Bài 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước: (P ): 6 x  2 y  2 z  3 0 (P ): 2 x  3y  3z  4 0 (P ): 3 x  3y  4 z  7 0 a)  b)  c)  ( Q ): 3 x  5 y  2 z  1  0 ( Q ): x  2 y  z  3  0   (Q): x  6 y  2 z  6 0 Bài 6: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vuông góc với hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x 1  2t  x 1  t  x 1  t  x 1  3t     a) A(1; 0;5), d1 :  y 3  2t, d2 :  y 2  t b) A(2;  1;1), d1 :  y  2  t, d2 :  y  2  t  z 1  t  z 1  3t  z 3  z 3  t Bài 7: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A, vuông góc và cắt đường thẳng  cho trước:  x t  x  3  2t   a) A(1; 2;  2),  :  y 1  t b) A( 4;  2; 4), d :  y 1  t  z 2t  z  1  4t Bài 8: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước: 40 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016  x 1  2t  x 1  t   a) A(1; 0;5), d1 :  y 3  2t, d2 :  y 2  t  z 1  t  z 1  3t  x 1  t  x 1  3t   b) A(2;  1;1), d1 :  y  2  t, d2 :  y  2  t  z 3  z 3  t Bài 9: Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước: (P ): y  2 z 0 (P ): 6 x  2 y  2z  3 0    x 1  2t  x 2  t  x 1  t   x 1 y z a)  b)    d1 :  1  1  4 , d2 :  y 4  2t  d1 :  y 3  2t, d2 :  y 2  t  z 1  z 1  3t    z 1  t Bài 10: Viết phương trình tham số của đường thẳng song song với đường thẳng  và cắt cả hai đường thẳng d1, d2 cho trước:  x y 1 z 5  x y  1 z 1  : 3   1  1  : 2   1  2   x 1 y z 1 x  1 y  2 z 2     a)  d1 : b)  d1 : 1 2 1 1 4 3   d : x  2  y  1  z 3 d : x  4  y  7  z  2  2 3 2 1 5 9 1 Bài 11: Viết phương trình tham số của đường thẳng vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d1, d2 cho trước:  x 3  2t  x 2  3t  x 1  2t  x  2  3t     a) d1 :  y 1  4t , d2 :  y 4  t b) d1 :  y  3  t , d2 :  y 1  2t  z  2  4t  z 1  2t  z 2  3t  z  4  4t TRẮC NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN CÂU 1 Hai mặt phẳng (P) : x + y + 4z - 6 = 0 và (Q) : 2x - y + 3z + 1 = 0 cắt nhau theo giao tuyến Δ. Khoảng cách từ điểm A(1 ; 0 ; 0) đến Δ là: 902 902 902 902 A. B. C. D. 83 85 2 13 9 CÂU 2  x 3  3t  Cho đường thẳng d :  y 2t và điểm M(1 ; 3 ; 6). Toạ độ điểm M’ đối xứng với M qua d là:  z 4  t  A.(3 ; 5 ; 8) B.(-1 ; 1 ; 4) C.(4 ; 6 ; 9) D.(-2 ; 0 ; 3) CÂU 3 Tập hợp tâm các mặt cầu tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) : 2x + 2y - 3z + 1 = 0 và (β) : 2x + 2y - 3z + 19 = 0 có phương trình là: A.2x + 2y - 3z + 10 = 0 B.2x + 2y - 3z - 9 = 0 C.2x + 2y - 3z + 9 = 0D.2x + 2y - 3z - 10 = 0 x 1 y  1 z 1 x y  1 z 3   , d2 :   CÂU 4 Biết rằng hai đường thẳng d1 : đi qua điểm M(2 ; 3 ; 1). 3 2 2 1 1 2 Phương trình mặt phẳng chứa d1 và d2 là: A.2x + 3y - 4z - 9 = 0 B.3x - 2y + 2 - 1 = 0 C.2x - 4y + z + 7 = 0 D.4x + 2y - 9z - 5 = 0 CÂU 5 Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 - 2x - 4y + 2z - 3 = 0 và điểm A(3 ; 4 ; 0) ∈ (S). Phương trình tiếp diện với (S) tại A là: A.2x - 2y- z + 2 = 0 B.2x - 2y + z + 2 = 0. C.2x + 2y + z - 14 = 0D.x + y + z - 7 = 0. CÂU 6 Trong không gian Oxyz cho các điểm A, B, C, D' có tọa độ như sau: A(1 ; 1 ; -6), B(0 ; 0 ; -2), C(5 ; 1 ; 2), D'(2 ; 1 ; -1). Nếu ABCD.A'B'C'D' là hình hộp thì thể tích của nó là: A.36 (đvtt) B.38 (đvtt) C.40 (đvtt) D.42 (đvtt) 41 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 CÂU 7 Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A(7 ; -2 ; 5) lên mặt phẳng (P) : 2x - y + z - 3 = 0 là: A.(1 ; 1 ; 2) B.(3 ; 2 ; -1) C.(2 ; 2 ; 1) D.Một điểm khác. CÂU 8  x 1  3t x 1 y  4 z  1    và song song d 2 :  y 3  t có phương trình: Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 : 2 4 1  z 2  t  A.3x - 5y - 14z + 37 = 0. B.x + 3y - 2z - 9 = 0. C.5x - 3y + 10z + 7 = 0. D.5x + 3y - 4z - 3 = 0. CÂU 9 Cho các điểm A(3 ; 2 ; 1), B(-1 ; -2 ; 1) và C(4 ; 0 ; 2). Điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng (ABC)? A.M(2 ; 4 ; 0) B.N(2 ; 2 ; 2) C.P(3 ; -1 ; 3) D.Q(5 ; 10 ; -5). x 1 y  1 z  3 x 1 y 2 z 7   , d2 :   CÂU 10 Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng: d1 : 2 1 4 2 2 8 Tính chất nào sau đây là đúng ? A.d1 và d2 chéo nhau B.d1 // d2 C. D.d1 và d2 đồng phẳng CÂU 11 x 1 y  1 z 1 x  1 y 1 z  2   , d2 :   Cho hai đường thẳng chéo nhau d1 : . Mặt phẳng nào sau đây 2 3 4 2 3 2 song song và cách đều hai đường thẳng đã cho? A.3x + 2y + 2 = 0 B.3x - 2y = 0 C.2x - 3y - 1 = 0 D.2x + 3y - z - 2 = 0  x 3  t  x 4  t   CÂU 12 Khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 :  y 2  2t và d 2 :  y 4  t là:  z 4  t  z 6  3t   A. B. C. D. CÂU 13 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3 ; 0 ; 0), B(0, 4, 0), C(0 ; 0 ; 6). Diện tích tam giác ABC là: A. B. C. D. CÂU 14 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(2 ; 0 ; 1), B(0 ; 2 ; 0) và C(1 ; 0 ; 2). Mệnh đề nào sau đây đúng? A.A, B, C thẳng hàng B.Tam giác ABC cân ở A. C.Tam giác ABC vuông. D.Tam giác ABC cân ở B. CÂU 15 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A = (2 ; 4 ; 0), B = (4 ; 0 ; 0), C = (-1 ; 4 ; -7) và D’ = (6 ; 8 ; 10). Toạ độ điểm B’ là: A.(10 ; 8 ; 6) B.(6; 12; 0) C.(13 ; 0 ; 17)D.(8 ; 4 ; 10) CÂU 16 Phương trình x2 + y2 + z2 - (2m - 2)x + 3my + (6m - 2)z - 7 = 0 luôn luôn là phương trình của một mặt cầu (S) có bán kính R. Giá trị nhỏ nhất của R là: A.7 B. C. D. CÂU 17 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(2 ; 2 ; 2), B(-1 ; -2 ; 3) và vuông góc với mp(Oxy) là: A.-x - 3z + 8 = 0 B. -y - 4z + 10 = 0. C.2x + 3y - 10 = 0 D.4x - 3y - 2 = 0 CÂU 18 42 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 Cho ba điểm A(4 ; 2 ; 0), B(1 ; 1 ; 5) và C(-1 ; -2 ; -1). Giao điểm D của mp(ABC) với trục Ox có hoành độ là: A. B. C. D.3 CÂU 19 Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A(4 ; -2 ; 1), B(3 ; 1 ; 4) và song song trục Ox là: A.3x - 4y + 5z - 25 = 0 B.y - z + 3 = 0. C.y + 3z - 1 = 0 D.2y - z + 6 = 0. CÂU 20 Cho bốn điểm A(-5 ; 1 ; 2), B(0 ; 0 ; 1) và C(4 ; 4 ; -1) và D(2 ; -4 ; 3). Thể tích tứ diện ABCD là: A.18 (đvtt) B.9 (đvtt) C.12 (đvtt) D.6 (đvtt) CÂU 21 Phương trình mặt cầu nào qua ba điểm A(0 ; 8 ; 0), B(4 ; 8 ; 2) và C(0 ; 12 ; 4), biết rằng tâm mặt cầu nằm trên mp(Oyz). A.(x - 2)2 + (y - 5)2 + (z - 4)2 = 26 B.x2 + (y + 3)2 + (z - 5)2 = 26 C.x2 + (y - 7)2 + (z - 5)2 = 26 D.(x - 1)2 + (y - 7)2 + (z - 4)2 = 25 CÂU 22 Phương trình mặt cầu tâm I(3 ; 2 ; 4) và tiếp xúc trục Oy là: A. x2 + y2 + z2 - 6x - 4y - 8z + 6 = 0 B. x2 + y2 + z2 - 6x - 4y - 8z + 4 = 0 2 2 2 C. x + y + z - 6x - 4y - 8z - 6 = 0 D. x2 + y2 + z2 - 6x - 4y - 8z + 3 = 0  x 2  3t  CÂU 23 Trong Oxyz cho đường thẳng d :  y 1  t . Tìm đường thẳng vuông góc và cắt d?  z  2  2t  CÂU 24 Trong không gian Oxyz cho các điểm A(3 ; 0 ; 0), B(0 ; 4 ; 0), C(0 ; 0 ; 2) và D là điểm nằm trên đường tròn tâm O bán kính R = trong mp(Oxy). khi đó hoành độ của D là: A. B. C. D.Các kết quả đã cho đều sai. y z CÂU 25 Cho mp(P) x   1( m 0) . Tìm m để (P) hợp với mp(Oxy) một góc 60°? m m A.m = 1 B.m = C.m = D.m = 2 2 CÂU 26 Cho mặt cầu (S) có phương trình: x + y + z2 + 2x - 2y - 4z + 2 = 0. Mặt phẳng nào sau đây là tiếp diện của (S) ? A.2x - 2y + z + 5 = 0 B.x + y + z = 0 C.x - 2y - 2z + 1 = 0 D.3x + 4y - 9 = 0. CÂU 27 Cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y - z + 5 = 0 và các điểm A(1 ; 1 ; 1), B(-2 ; -1 ; 2). Nếu α là góc giữa đường thẳng AB và (P) thì α thuộc khoảng nào sau đây? A. B. C. D. CÂU 28 Cho bốn đỉnh A, B, C, D của tứ diện ABCD có toạ độ lần lượt là (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0), (0 ; 0 ; 1) và (-1 ; -2 ; -3). Mặt phẳng qua trung điểm các cạnh AC, AD, BC, BD có phương trình là: A.4x + 4y - 3z - 1 = 0 B.6x + 6y - 2z + 1 = 0 C.8x + 8y - 6z - 1 = 0 D.4x - 4y - 2z + 1 = 0 CÂU 29 Cho (P) : 3x + 2y - 4z + 1 = 0, (Q) : x - y - z + 2 = 0 và A(0 ; 0 ; 1). Mặt phẳng (R) đi qua A và giao tuyến của (P) và (Q) có phương trình là: A.6x - y - 7z + 7 = 0. B.4x + y - 5z + 5 = 0. C.2x + 3y - 3z + 3 = 0 CÂU 30 43 D.x + y - 2z + 2 = 0 Đề cương ôn tập toán 12 năm học 2015 – 2016 Điều kiện cần và đủ của tham số m để phương trình: x2 + y2 + z2 - 4mx + 4y - 2mz + 6m + 3 = 0 (1) là phương trình của một mặt cầu là: A. ≤ m ≤ 1 B.m < hay 1 < m C.1 < m 44 D.m tùy ý