Nội dung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008 Môn thi: TOÁN, khối A (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang) Câu I Nội dung 1 Điểm 2,00 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) x2 + x − 2 4 . Khi m = 1 hàm số trở thành: y = = x−2+ x+3 x +3 • TXĐ: D = \ \ {−3} . • Sự biến thiên: y ' = 1 − 0,25 ⎡ x = −1 4 x 2 + 6x + 5 , y' = 0 ⇔ ⎢ = 2 2 (x + 3) (x + 3) ⎣ x = −5 • yCĐ = y ( −5 ) = −9 , yCT = y ( −1) = −1. 0,25 • TCĐ: x = −3 , TCX: y = x − 2. • Bảng biến thiên: x −∞ y’ + −5 0 −9 −1 0 −3 − − +∞ + +∞ 0,25 +∞ y • Đồ thị: −∞ −∞ −1 y -5 -3 -1 O -1 2 x -2 0,25 -9 2 Tìm các giá trị của tham số m ... (1,00 điểm) mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 6m − 2 = mx − 2 + y= . x + 3m x + 3m 1 • Khi m = đồ thị hàm số không tồn tại hai tiệm cận. 3 1 • Khi m ≠ đồ thị hàm số có hai tiệm cận : 3 d1: x = −3m ⇔ x + 3m = 0, d2: y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0. 0,25 0,25 JJG JJG Vectơ pháp tuyến của d1, d2 lần lượt là n1 = (1;0) , n 2 = (m; − 1). Góc giữa d1 và d2 bằng 45o khi và chỉ khi JJG JJG n m m 1.n 2 2 cos450 = JJG JJG = ⇔ = ⇔ m = ± 1. 2 n1 . n 2 m2 + 1 m2 + 1 Trang 1/5 0,50 II 2,00 1 2 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 3π Điều kiện sin x ≠ 0 và sin(x − ) ≠ 0. 2 1 1 + = −2 2(s inx + cosx) Phương trình đã cho tương đương với: s inx cosx 1 ⎛ ⎞ ⇔ (s inx + cosx) ⎜ + 2 2 ⎟ = 0. ⎝ s inxcosx ⎠ π • s inx + cosx = 0 ⇔ x = − + kπ. 4 π 1 2 5π • ⇔ x = − + kπ hoặc x = + kπ. + 2 2 = 0 ⇔ sin 2x = − s inxcosx 2 8 8 Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là : π π 5π + kπ (k ∈ ]). x = − + kπ ; x = − + kπ ; x = 8 8 4 Giải hệ... (1,00 điểm) 5 5 ⎧ 2 ⎧ 2 3 2 2 ⎪⎪ x + y + x y + xy + xy = − 4 ⎪⎪ x + y + xy + xy ( x + y ) = − 4 ⇔⎨ (∗) ⎨ ⎪ x 4 + y 2 + xy(1 + 2x) = − 5 ⎪(x 2 + y) 2 + xy = − 5 ⎪⎩ ⎪⎩ 4 4 5 ⎧ ⎪⎪ u + v + uv = − 4 ⎧u = x 2 + y . Hệ phương trình (∗) trở thành ⎨ Đặt ⎨ v = xy ⎩ ⎪u 2 + v = − 5 ⎪⎩ 4 5 5 ⎧ ⎡ 2 ⎪⎪ v = − 4 − u ⎢ u = 0, v = − 4 ⇔⎨ ⇔ ⎢ ⎢u = − 1 , v = − 3 . ⎪u 3 + u 2 + u = 0 ⎪⎩ ⎣⎢ 4 2 2 2 ⎧x + y = 0 5 5 25 ⎪ • Với u = 0, v = − ta có hệ pt ⎨ . 5 ⇔ x = 3 và y = − 3 4 4 16 ⎪ xy = − ⎩ 4 1 3 • Với u = − , v = − ta có hệ phương trình 2 2 ⎧ 2 3 1 ⎧2x 3 + x − 3 = 0 ⎪⎪ x − 2x + 2 = 0 3 ⎪ ⇔ x = 1 và y = − . ⇔⎨ ⎨ 3 2 ⎪y = − 3 ⎪y = − ⎩ 2x ⎪⎩ 2x ⎛ 5 25 ⎞ 3⎞ ⎛ Hệ phương trình có 2 nghiệm : ⎜⎜ 3 ; − 3 ⎟⎟ và ⎜1; − ⎟ . 16 ⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ 4 III 0,50 0,50 0,50 0,50 2,00 1 Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên d (1,00 điểm) G Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u ( 2;1; 2 ) . Gọi H là hình chiếu vuông góc JJJG của A trên d, suy ra H(1 + 2t ; t ; 2 + 2t) và AH = (2t − 1; t − 5; 2t − 1). JJJG G Vì AH ⊥ d nên AH. u = 0 ⇔ 2(2t – 1 ) + t – 5 + 2(2t – 1) = 0 ⇔ t = 1. Suy ra H ( 3;1; 4 ) . Trang 2/5 0,50 0,50 2 Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d sao cho... (1,00 điểm) Gọi K là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (α). Ta có d(A, (α) ) = AK ≤ AH (tính chất đường vuông góc và đường xiên). Do đó khoảng cách từ A đến (α) lớn nhất khi và chỉ khi AK = AH, hay K ≡ H. JJJG Suy ra (α) qua H và nhận vectơ AH = (1 ; – 4 ; 1) làm vectơ pháp tuyến. 0,50 0,50 Phương trình của (α) là 1(x − 3) − 4(y − 1) + 1(z − 4) = 0 ⇔ x − 4y + z − 3 = 0. IV 2,00 1 Tính tích phân... (1,00 điểm) π 6 I= π 6 4 tg x tg 4 x dx = ∫0 cos 2x ∫0 (1 − tg 2 x ) cos2 x dx. 0,25 dx 1 π . Với x = 0 thì t = 0 ; với x = thì t = . Đặt t = tgx ⇒ dt = 2 cos x 6 3 Suy ra 1 3 I= ∫ 0 1 3 4 t 1 dt = − ∫ t 2 + 1 dt + ∫ 2 1− t 20 0 = 2 1 3 ( ) ( 1 ⎛ t3 1 t +1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 − ⎟ 3 ⎜ ⎟ dt = ⎜ − − t + ln 2 t −1 ⎠ ⎝ t +1 t −1 ⎠ ⎝ 3 0 ) 1 10 ln 2 + 3 − . 2 9 3 0,50 0,25 Tìm các giá trị của m... (1,00 điểm) Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 6 . Đặt vế trái của phương trình là f (x) , x ∈ [ 0; 6] . Ta có f '(x) = 1 2 4 (2x)3 + 1 1 1 − − 2x 2 4 (6 − x)3 6−x 1⎛ 1 1 = ⎜ − 3 4 2 ⎜⎝ 4 (2x) (6 − x)3 ⎛ 1 1 Đặt u(x) = ⎜ − ⎜ 4 (2x)3 4 (6 − x)3 ⎝ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ ⎟+⎜ − ⎟, ⎟ ⎝ 2x 6−x ⎠ ⎠ x ∈ (0;6). 0,50 ⎞ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ , v(x) = ⎜ − ⎟. ⎟ 2x 6 x − ⎝ ⎠ ⎠ Ta thấy u ( 2 ) = v ( 2 ) = 0 ⇒ f '(2) = 0. Hơn nữa u(x), v(x) cùng dương trên khoảng ( 0; 2 ) và cùng âm trên khoảng ( 2;6 ) . Ta có bảng biến thiên: x 0 f’(x) + f(x) 2 6 + 2 4 6 2 0 − 3 2 +6 Suy ra các giá trị cần tìm của m là: 2 6 + 2 4 6 ≤ m < 3 2 + 6. Trang 3/5 6 0,50 4 12 + 2 3 V.a 2,00 1 Viết phương trình chính tắc của elíp... (1,00 điểm) x 2 y2 Gọi phương trình chính tắc của elíp (E) là: 2 + 2 = 1 , a > b > 0. a b ⎧c 5 ⎪ = 3 ⎪⎪ a Từ giả thiết ta có hệ phương trình: ⎨2 ( 2a + 2b ) = 20 ⎪ 2 2 2 ⎪c = a − b . ⎪⎩ 0,50 Giải hệ phương trình trên tìm được a = 3 và b = 2. Phương trình chính tắc của (E) là 2 0,50 x 2 y2 + = 1. 9 4 Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a1 ,..., a n ... (1,00 điểm) Đặt f ( x ) = (1 + 2x ) = a 0 + a1x + ... + a n x n ⇒ a 0 + n a1 a ⎛1⎞ + ... + nn = f ⎜ ⎟ = 2n. 2 2 ⎝2⎠ 0,50 Từ giả thiết suy ra 2n = 4096 = 212 ⇔ n = 12. k k +1 Với mọi k ∈ {0,1, 2,...,11} ta có a k = 2k C12 , a k +1 = 2k +1 C12 k ak 2k C12 23 k +1 < 1 ⇔ k +1 k +1 < 1 ⇔ <1 ⇔ k < . a k +1 2 C12 2 (12 − k ) 3 Mà k ∈ ] ⇒ k ≤ 7. Do đó a 0 < a1 < ... < a 8 . Tương tự, 0,50 ak > 1 ⇔ k > 7. Do đó a 8 > a 9 > ... > a12 . a k +1 8 Số lớn nhất trong các số a 0 , a1 ,..., a12 là a 8 = 28 C12 = 126720. V.b 2,00 1 Giải phương trình logarit... (1,00 điểm)) Điều kiện: x > 1 và x ≠ 1. 2 Phương trình đã cho tương đương với log 2x −1 (2x − 1)(x + 1) + log x +1 (2x − 1) 2 = 4 0,50 ⇔ 1 + log 2x −1 (x + 1) + 2 log x +1 (2x − 1) = 4. Đặt t = log 2x −1 (x + 1), ta có t + ⎡t = 1 2 = 3 ⇔ t 2 − 3t + 2 = 0 ⇔ ⎢ t ⎣ t = 2. • Với t = 1 ⇔ log 2x −1 (x + 1) = 1 ⇔ 2x − 1 = x + 1 ⇔ x = 2. ⎡ x = 0 (lo¹i) • Với t = 2 ⇔ log2x −1 (x + 1) = 2 ⇔ (2x − 1)2 = x + 1 ⇔ ⎢ ⎢ x = 5 (tháa m·n) 4 ⎣ 5 Nghiệm của phương trình là: x = 2 và x = . 4 Trang 4/5 0,50 2 Tính thể tích và tính góc... (1,00 điểm) A' C' B' A C H B Gọi H là trung điểm của BC. 1 1 2 Suy ra A ' H ⊥ (ABC) và AH = BC = a + 3a 2 = a. 2 2 0,50 Do đó A 'H 2 = A 'A 2 − AH 2 = 3a 2 ⇒ A 'H = a 3. 1 a3 (đvtt). Vậy VA '.ABC = A'H.SΔABC = 3 2 Trong tam giác vuông A 'B' H có: HB' = A 'B'2 + A 'H 2 = 2a nên tam giác B' BH cân tại B'. n ' BH Đặt ϕ là góc giữa hai đường thẳng AA ' và B'C ' thì ϕ = B Vậy cosϕ = 0,50 a 1 = . 2.2a 4 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. -------------Hết------------- Trang 5/5