Đáp Án Toán Khối A Năm 2006.pdf (Đề thi)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN, khối A (Đáp án - Thang điểm gồm 05 trang) Câu I Ý 1 Nội dung Điểm 2,00 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) y = 2x 3 − 9x 2 + 12x − 4. • TXĐ: \. • Sự biến thiên: y ' = 6 ( x 2 − 3x + 2 ) , y ' = 0 ⇔ x = 1, x = 2. 0,25 Bảng biến thiên: x -∞ y' + 1 0 2 0 _ +∞ + +∞ 1 y 0 -∞ yCĐ = y (1) = 1, y CT = y ( 2 ) = 0. 0,50 • Đồ thị: y 1 O x 1 2 0,25 −4 2 Tìm m để phương trình có 6 nghiệm phân biệt (1,00 điểm) 3 2 Phương trình đã cho tương đương với: 2 x − 9 x + 12 x − 4 = m − 4 . Số nghiệm của phương trình đã cho bằng số giao điểm của đồ thị hàm số 3 2 y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 với đường thẳng y = m − 4. 3 0,25 2 Hàm số y = 2 x − 9 x + 12 x − 4 là hàm chẵn, nên đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng. 1/5 0,25 Từ đồ thị của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số: 3 y = 2 x − 9x 2 + 12 x − 4 y 1 −2 −1 O y=m−4 1 2 x 0,25 −4 Từ đồ thị suy ra phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi: 0 < m − 4 < 1 ⇔ 4 < m < 5. II 1 2 0,25 2,00 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) 2 Điều kiện: sin x ≠ (1) . 2 Phương trình đã cho tương đương với: ⎛ 3 ⎞ 1 2 ( sin 6 x + cos 6 x ) − sin x cos x = 0 ⇔ 2 ⎜1 − sin 2 2x ⎟ − sin 2x = 0 ⎝ 4 ⎠ 2 2 ⇔ 3sin 2x + sin 2x − 4 = 0 ⇔ sin 2x = 1 π ⇔ x = + kπ (k ∈ ]). 4 5π + 2mπ Do điều kiện (1) nên: x = (m ∈ ]). 4 Giải hệ phương trình (1,00 điểm) Điều kiện: x ≥ −1, y ≥ −1, xy ≥ 0. Đặt t = xy ( t ≥ 0 ) . Từ phương trình thứ nhất của hệ suy ra: x + y = 3 + t. Bình phương hai vế của phương trình thứ hai ta được: x + y + 2 + 2 xy + x + y + 1 = 16 ( 2) . Thay xy = t 2 , x + y = 3 + t vào (2) ta được: 2 0,50 0,25 0,25 0,25 0,25 2 3 + t + 2 + 2 t + 3 + t + 1 = 16 ⇔ 2 t + t + 4 = 11 − t ⎧⎪0 ≤ t ≤ 11 ⎧0 ≤ t ≤ 11 ⇔⎨ 2 ⇔ t =3 2 ⇔ ⎨ 2 ⎩3t + 26t − 105 = 0 ⎪⎩4 ( t + t + 4 ) = (11 − t ) Với t = 3 ta có x + y = 6, xy = 9. Suy ra, nghiệm của hệ là (x; y) = (3;3). 2/5 0,25 0,25 III 2,00 1 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A 'C và MN (1,00 điểm) Gọi ( P ) là mặt phẳng chứa A 'C và song song với MN . Khi đó: d ( A 'C, MN ) = d ( M, ( P ) ) . 0,25 ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ Ta có: C (1;1;0 ) , M ⎜ ;0;0 ⎟ , N ⎜ ;1;0 ⎟ ⎝2 ⎠ ⎝2 ⎠ JJJJG JJJJG A 'C = (1;1; − 1) , MN = ( 0; 1; 0 ) JJJJG JJJJG ⎛ 1 −1 −1 1 1 1 ⎞ ⎡ A 'C, MN ⎤ = ⎜ ; ; ⎟ = (1;0;1) . ⎣ ⎦ 1 0 0 0 0 1 ⎝ ⎠ G Mặt phẳng ( P ) đi qua điểm A ' ( 0;0;1) , có vectơ pháp tuyến n = (1;0;1) , có phương trình là: 1. ( x − 0 ) + 0. ( y − 0 ) + 1. ( z − 1) = 0 ⇔ x + z − 1 = 0. Vậy d ( A 'C, MN ) = d ( M, ( P ) ) = 2 1 + 0 −1 2 = 1 . 12 + 02 + 12 2 2 Viết phương trình mặt phẳng (1,00 điểm) Gọi mặt phẳng cần tìm là ( Q ) : ax + by + cz + d = 0 ( a 2 + b 2 + c 2 > 0 ) . ⎧c + d = 0 Vì ( Q ) đi qua A ' ( 0;0;1) và C (1;1;0 ) nên: ⎨ ⇔ c = −d = a + b. ⎩a + b + d = 0 Do đó, phương trình của ( Q ) có dạng: ax + by + ( a + b ) z − ( a + b ) = 0. . G Mặt phẳng ( Q ) có vectơ pháp tuyến n = ( a; b;a + b ) , mặt phẳng Oxy có G vectơ pháp tuyến k = ( 0;0;1) . G G 1 1 Vì góc giữa ( Q ) và Oxy là α mà cos α = nên cos n, k = 6 6 a+b 1 2 ⇔ = ⇔ 6 ( a + b ) = 2 ( a 2 + b 2 + ab ) 2 6 a 2 + b2 + ( a + b ) ( ) ⇔ a = −2b hoặc b = −2a. Với a = −2b , chọn b = −1, được mặt phẳng ( Q1 ) : 2x − y + z − 1 = 0. Với b = −2a , chọn a = 1, được mặt phẳng ( Q 2 ) : x − 2y − z + 1 = 0. IV 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2,00 1 Tính tích phân (1,00 điểm) π 2 sin 2x Ta có: I = ∫ π 2 dx = ∫ sin 2x 2 cos 2 x + 4sin 2 x 0 1 + 3sin x Đặt t = 1 + 3sin 2 x ⇒ dt = 3sin 2xdx. π Với x = 0 thì t = 1 , với x = thì t = 4. 2 4 1 dt Suy ra: I = ∫ 31 t 0 dx. 0,25 0,25 0,25 4 2 2 = t = . 3 1 3 0,25 3/5 2 Tìm giá trị lớn nhất của A (1,00 điểm) 1 1 1 1 1 + = 2+ 2− . Từ giả thiết suy ra: x y x y xy 1 1 Đặt = a, = b ta có: a + b = a 2 + b 2 − ab x y ( (1) ) 2 A = a 3 + b3 = ( a + b ) a 2 + b 2 − ab = ( a + b ) . 0,25 2 Từ (1) suy ra: a + b = ( a + b ) − 3ab. 2 3 2 2 ⎛a+b⎞ Vì ab ≤ ⎜ ⎟ nên a + b ≥ ( a + b ) − ( a + b ) 4 ⎝ 2 ⎠ 0,50 2 ⇒ (a + b) − 4 (a + b) ≤ 0 ⇒ 0 ≤ a + b ≤ 4 2 Suy ra: A = ( a + b ) ≤ 16. Với x = y = V.a 1 1 thì A = 16. Vậy giá trị lớn nhất của A là 16. 2 0,25 2,00 Tìm điểm M ∈ d 3 sao cho d ( M, d1 ) = 2d ( M, d 2 ) (1,00 điểm) Vì M ∈ d 3 nên M ( 2y; y ) . 0,25 Ta có: d ( M, d1 ) = 2y + y + 3 12 + 12 = 3y + 3 d ( M, d1 ) = 2d ( M, d 2 ) ⇔ 2 , d ( M, d 2 ) = 3y + 3 2 Với y = −11 được điểm M1 ( −22; − 11) . =2 y−4 2 2y − y − 4 12 + ( −1) = 2 y−4 2 ⇔ y = −11, y = 1. Với y = 1 được điểm M 2 ( 2; 1) . 2 Vì = 0,25 0,25 0,25 Tìm hệ số của x 26 trong khai triển nhị thức Niutơn (1,00 điểm) • Từ giả thiết suy ra: C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + Cn2n +1 = 220 Ck2n +1 . (1) . +1− k C2n 2n +1 , ∀k, 0 ≤ k ≤ 2n + 1 nên: 1 2n +1 C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + Cn2n +1 = C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + C2n +1 2 ( Từ khai triển nhị thức Niutơn của (1 + 1) 2n +1 +1 C02n +1 + C12n +1 + ⋅⋅⋅ + C2n 2n +1 = (1 + 1) ) ( 2). 0,25 suy ra: 2n +1 = 22n +1 Từ (1), (2) và (3) suy ra: 22n = 220 hay n = 10. ( 3) . 0,25 10 10 10 10 − k k ⎛ 1 ⎞ k k 11k − 40 • Ta có: ⎜ 4 + x 7 ⎟ = ∑ C10 x −4 ) ( x 7 ) = ∑ C10 x . ( ⎝x ⎠ k =0 k =0 k với k thỏa mãn: 11k − 40 = 26 ⇔ k = 6. Hệ số của x 26 là C10 6 Vậy hệ số của x 26 là: C10 = 210. 4/5 0,25 0,25 V.b 2,00 1 Giải phương trình mũ (1,00 điểm) ⎛2⎞ Phương trình đã cho tương đương với: 3 ⎜ ⎟ ⎝3⎠ ⎛2⎞ Đặt t = ⎜ ⎟ ⎝3⎠ x 3x ⎛2⎞ + 4⎜ ⎟ ⎝3⎠ 2x x ⎛2⎞ −⎜ ⎟ −2 = 0 ⎝3⎠ (1) . ( t > 0 ) , phương trình (1) trở thành: 3t 3 + 4t 2 − t − 2 = 0 2 ⇔ ( t + 1) ( 3t − 2 ) = 0 ⇔ t = 2 (vì t > 0 ). 3 0,25 0,25 0,25 x Với t = 2 2 2 ⎛2⎞ thì ⎜ ⎟ = hay x = 1. 3 3 ⎝3⎠ 0,25 Tính thể tích của khối tứ diện (1,00 điểm) Kẻ đường sinh AA '. Gọi D là điểm đối xứng với A ' qua O ' và H là hình chiếu của B trên đường thẳng A ' D. O' A' H D B A O Do BH ⊥ A 'D và BH ⊥ AA ' nên BH ⊥ ( AOO ' A ' ) . 0,25 1 Suy ra: VOO 'AB = .BH.SAOO ' . 3 0,25 Ta có: A 'B = AB2 − A 'A 2 = 3a ⇒ BD = A 'D 2 − A 'B2 = a ⇒ ΔBO ' D đều ⇒ BH = a 3 . 2 0,25 1 Vì AOO ' là tam giác vuông cân cạnh bên bằng a nên: SAOO ' = a 2 . 2 2 3 1 3a a 3a . = . Vậy thể tích khối tứ diện OO ' AB là: V = . 3 2 2 12 0,25 NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh. ----------------Hết---------------- 5/5