Nội dung

“TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Toå Hôïp & Xaùc suaát Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Sau đây, Nguyễn Minh Đức xin được giới thiệu chuyên đề nhỏ tổng hợp một số bài toán về mảng kiến thức “ Tổ Hợp-Xác Suất”. Như một điều hiển nhiên, “Tổ Hợp-Xác Suất” là một phần không mấy vắng mặt trong các đề thi ĐH trước năm 2015. Năm học 2015 này, các sĩ tử đứng trước một kì thi với hình thức mới gọi là kì thì THPT Quốc gia chung. Với hình thức thi mới kèm theo đó là cấu trúc mới nhưng “Tổ Hợp-Xác Suất” vẫn không thể thiếu trong tờ đề thi của bộ, thậm chí được xếp vào những câu chốt và có chút làm khó thi sinh dự thi. Vậy nên, để đáp ứng nhu cầu ôn luyện của bản thân cũng như là món quà nhỏ gửi đến các sĩ tử đang trong quá trình ôn luyện thi THPT Quốc gia chung năm học 2015, tôi xin viết lên tài liệu này. Trong quá trình viết không thể không gặp nhiều sai sót. Mong bạn đọc có thể đóng góp để tài liệu được hoàn thiện hơn! Thân! My Facebook: www.facebook.com/minhduck2pipu PHẦN I: MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN: Bài Toán 1: (ViettelStudy-2014) Một lớp học có 30 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia hoạt động 12 của Đoàn trường. Xác suất chọn được 2 nam và 1 nữ là . Tính số học sinh nữ 29 của lớp. Hướng Dẫn Giải:  , n  28  Gọi số học sinh của lớp là n n   Số cách chọn ra ba học sinh bất kì là: C303 cách  Số cách chọn ra ba học sinh trong đó có 2 nam và 1 nữ là: C302 nCn1 cách.  Theo bài ra ta có: * (1).  n  14 C302 nCn1 12 2    n  14  n  45  240  0   2 3  n  45  1065   C30 29  2  Từ (1) và (2) suy ra: n  14. Vậy số học sinh nữ của lớp là 14 học sinh. Bài Toán 2: (ViettelStudy-2014) Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số phân biệt chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Xác định số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có chữ số 5. Hướng Dẫn Giải:    Gọi a1a2 a3a4 a5 (với ai 0,1, 2,3, 4,5 , a1  0 ) là số thuộc tập S.  Xác định số phần tử của S: - a1 có 5 cách chọn. - Lập a2 a3a4 a5 có A54 cách chọn. Vậy số phần tử của S là: 5.A54 Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC  Gọi A là biến cố số được chọn có chữ số 5. Suy ra A là biến cố số được chọn không có số 5.   Vậy n A là số các số có 5 chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 0,1, 2,3, 4 . Suy ra:   n A  4. A44  96 (số).  Từ đó ta có: n  A  600  96  504 (số).  Vậy suy ra: P  A  504 21  . 600 25 Bài Toán 3: Từ các chữ số 1, 2,3, 4,5,6 lập các số có 4 chữ số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên một số trong các số được lập, tính xác suất để trong số được lấy có 2 chữ số chẵn, 2 số lẻ. Hướng Dẫn Giải:  Đặt: S  1, 2,3, 4,5,6  Số các số có 4 chữ số được lập từ tập S là: A64 số.  Số cách chọn ra 2 chữ số chẵn trong tập S là: C32 cách. Số cách chọn ra 2 chữ số lẻ trong tập S là: C32 cách. Từ 4 chữ số được chọn ta lập số có 4 chữ số khác nhau, mỗi số được lập ứng với hoán vị của 4 phần tử. Suy ra số các số có 4 chữ số lập từ S mà trong mỗi số có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ là: 4!.C32 .C32 số.  Gọi A là biến cố số có 4 chữ số lập từ tập S mà trong mỗi số có 2 chữ số chẵn, 2 chữ số lẻ. Suy ra: P  A  4!.C32 .C32 3  . A64 5 Bài Toán 4: Trong giờ Thể dục, tổ 1 của lớp 11A có 12 học sinh gồm 7 học sinh nam và 5 học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc. Tính xác suất để người đứng đầu hàng và cuối hàng đều là học sinh nam. Hướng Dẫn Giải:   Số cách tập trung ngẫu nhiên thành một hàng dọc của tổ 1 là: 12! cách. Gọi A là biến cố tập trung tổ 1 theo một hàng dọc mà luôn có học sinh nam đứng đầu và cuối hàng.Khi đó ta có: n  A  A72 .10! (cách).  Vậy suy ra: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC P  A  A72 .10! 7  . 12! 22 Bài Toán 5: Một hộp chứa 5 bi xanh, 7 bi đỏ và 8 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 8 viên bi từ hộp. Tính xác suất để 8 viên bi được lấy ra có đủ ba màu. Hướng Dẫn Giải:  8 Số cách lấy ra 8 viên bi bất kì từ hộp là: C20 cách.  Ta đi tìm số cách lấy 8 viên bi từ hộp không có đủ ba màu: - Trường hợp 1: Lấy ra 8 viên bi chỉ có một màu. Trường hợp này chỉ chọn được màu vàng, suy ra có: C88 = 1 cách. - Trường hợp 2: Lấy ra 8 viên bi có 2 màu. a) Nếu 2 màu xanh và đỏ có: C128 cách. b) Nếu 2 màu đỏ và vàng có: C158  C88 cách. c) Nếu 2 màu vàng và xanh có: C138  C88 cách.   Vậy trường hợp này có: C128  C158  C88  C138  C88  8215 cách. Suy ra số cách lấy 8 viên bi từ hộp không có đủ ba màu là: 8216 cách. Gọi A là biến cố lấy ra 8 viên bi có đủ 3 màu. Khi đó suy ra: 8216 4529 P  A  1  8  . C20 4845 Bài Toán 6: Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh trong một lớp học có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn. Tính xác suất sao cho 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam. Hướng Dẫn Giải:  5 Số cách chọn ra 5 học sinh trong lớp học 25 học sinh là: C25 cách.  Gọi A là biến cố 5 học sinh được chọn có cả nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít hơn số học sinh nam. Trường hợp 1: Có 1 học sinh nữ, 4 học sinh nam. 1  Trường hợp này có: C10 .C154 cách. Trường hợp 2: Có 2 học sinh nữ, 3 học sinh nam.  Trường hợp này có: C102 .C153 cách.  1 .C154  C102 .C153 (cách). Từ đó suy ra: n  A  C10  Vậy ta có: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC P  A  1 C10 .C154  C102 .C153 325  . 5 C25 506 Bài Toán 7: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014) Một chiếc hộp đựng 6 cái bút màu xanh, 6 cái bút màu đen, 5 cái bút màu tím và 3 cái bút màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên ra 4 cái bút. Tính xác suất để lấy được ít nhất 2 bút cùng màu. Hướng Dẫn Giải:     Số cách lấy 4 chiếc bút bất kì từ 20 chiếc bút đã cho là: C204 cách. Gọi A là biến cố lấy được ít nhất hai bút cùng màu. Ta đi tìm số cách lấy ra 4 bút trong đó không có 2 cái nào cùng màu với nhau:  Trường hợp này có: C61C61.C51.C31 cách. Vậy suy ra: C1C1.C1.C1 287 P  A  1  6 6 4 5 3  . C20 323 Bài Toán 8: (Chuyên Vĩnh Phúc-2014) Có 30 tấm thẻ đánh số từ 1 đến 30 . Chọn ngẫu nhiên ra 10 tấm thẻ. Tìm xác suất để có 5 tấm thẻ mang số lẻ, 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ mang số chia hết cho 10 . Hướng Dẫn Giải:    10 Số cách chọn ra 10 tấm thẻ từ 30 tấm thẻ là: C30 cách. Gọi A là biến cố “5 tấm thẻ mang số lẻ,5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng 1 tấm thẻ chia hết cho 10”. Số cách chọn 5 tấm thẻ trong 15 tấm mang số lẻ là: C155 cách. Số cách chọn 4 tấm thẻ trong 12 tấm mang sỗ chẳn mà không chia hêt cho 10 là: C124 cách. Số cách chọn 1 tấm thẻ trong 3 tấm thẻ còn lại (ba tấm này đều mang số chia hết cho 10 là 10,20,30) là: C31 . Từ đó ta suy ra: n  A  C155 C124 C31 (cách).  Vậy suy ra: P  A  C155 C124 C31 99  . 10 C30 667 Bài Toán 9: Lấy ngẫu nhiên lần lượt 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số {0;1; 2;3; 4} và xếp thành hàng ngang từ trái sang phải . Tính xác suất để nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số. Hướng Dẫn Giải: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC    Đặt: S={0,1,2,3,4}. Số cách lấy 3 chữ số khác nhau trong tập S và xếp chúng thành hàng ngang từ trái sang phải là: A53 cách. Gọi A là biến cố nhận được một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau. Giả sử số tự nhiên có 3 chữ số được tạo thành là abc  a  0; a, b, c  S  . Khi đó: a có 4 cách chọn. b có 4 cách chọn. c có 3 cách chọn. Từ đó ta suy ra: n  A  4.4.3 (số).  Vậy ta có: P  A  4.4.3 4  . A53 5 Bài Toán 10: (Vĩnh Phúc-2014) Một hộp chứa 4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng. Hướng Dẫn Giải:    Số cách lấy ra 4 quả cầu bất kì trong hộp là: C164 cách. Gọi A là biến cố lấy ra 4 quả cầu trong đó có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả màu vàng. Ta xét 3 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có 1 quả đỏ, 3 quả xanh.  Trường hợp này có: C41 .C53 cách. - Trường hợp 2: Có 1 quả đỏ, 2 quả xanh và 1 quả vàng.  Trường hợp này có: C41 .C52 .C71 cách. - Trường hợp 3: Có 1 quả đỏ, 1 quả xanh và 2 quả vàng.  Trường hợp này có: C41 .C51.C72 cách. Từ đó ta suy ra: n  A  C41 .C53  C41 .C52 .C71  C41 .C51.C72 (cách).  Vậy ta có: C41 .C53  C41 .C52 .C71  C41 .C51.C72 37 P  A   . C164 91 Bài Toán 11: Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập M, tính xác suất để số được chọn là số có tổng các chữ số là một số lẻ. Hướng Dẫn Giải:    Đặt: S={0,1,2,3,4,5,6}. Gọi số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ S là: a1a2 a3 . Tính số các số có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ S: - a1 có 6 cách. Lập a2 a3 có A62 cách. Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Từ đó suy ra: n  M   6. A62 (số).   Gọi A là biến cố số chọn ra có tổng các chữ số là một số lẻ. Tính số các số có ba chữ số đôi một khác nhau trong M và có tổng các chữ số là số lẻ: - Trường hợp 1: Có 1 chữ số lẻ, 2 chữ số chẵn:  Trường hợp này có: C31.C42 .3! C31.C41 .2!  84 số. - Trường hợp 2: Có 3 chữ số lẻ:  Trường hợp này có: 3!  6 số. Từ đó suy ra được: n  A  90 (số).  Vậy suy ra: P  A  90 1  . 2 6. A6 2 Bài Toán 12: Một hộp chứa 11 bi được đánh số từ 1 đến 11. Chọn 6 bi một cách ngẫu nhiên rồi cộng các số trên 6 bi được rút ra với nhau. Tính xác suất để kết quả thu được là số lẻ. Hướng Dẫn Giải:    Số cách rút 6 viên bi bất kì từ 11 viên bi là: C116 cách. Gọi A là biến cố thu được là số lẻ. Tính số cách rút 6 viên bi sao cho tổng các số trên 6 viên bi đó là số lẻ : Ta có 3 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có 1 bi mang số chẵn, 5 bi mang số lẻ.  Trường hợp này có: C61.C55 cách. - Trường hợp 2: Có 3 bi mang số lẻ, 3 bi mang số chẵn.  Trường hợp này có: C63 .C53 cách. - Trường hợp 3: Có 5 bi mang số lẻ, 1 bi mang số chẵn.  Trường hợp này có: C65 .C51 cách. Từ đó suy ra: n  A  C61.C55  C63 .C53  C65 .C51 (cách).  Vậy suy ra: P  A  C61.C55  C63 .C53  C65 .C51 118  . C116 231 Bài Toán 13: Trong kì tuyển sinh năm 2015, trường THPT Lê Quảng Chí có 5 học sinh gồm 3 nam và 2 nữ cùng đậu vào khoa A của một trường đại học. Số sinh viên đậu vào khoa A được chia ngẫu nhiên thành 4 lớp. Tính xác suất để có một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ của trường THPT Lê Quảng Chí. Hướng Dẫn Giải:  Với mỗi học sinh có 4 cách sắp xếp học sinh đó vào 4 lớp. Do đó, số cách xếp 5 học sinh vào 4 lớp là 45 cách. Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC    Gọi X là biến cố chia được một lớp có đúng 2 nam và 1 nữ của trường THPT Lê Quảng Chí. Số cách chọn 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ trong 5 học sinh là: C32 .C21 cách. Ứng với mỗi cách chọn trên , có 4 cách xếp 3 học sinh đó vào một lớp và có 32 cách xếp 2 học sinh còn lại vào 3 lớp còn lại. Vậy số cách sắp xếp có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ của trường THPT Lê Quảng Chí vào một lớp là: 4.32.C32 .C21 cách hay n  X   4.32 C32 .C21 (cách). Từ đó suy ra: P X   4.32 C32 .C21 27  . 45 128 Bài Toán 14: Cho tập E={1,2,3,4,5}. Viết ngẫu nhiên lên bảng hai số tự nhiên, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau thuộc tập E. Tính xác suất để trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. Hướng Dẫn Giải:     Số các số có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ E là: A53 =60 số. Suy ra số cách viết 2 số lên bảng mà mỗi số có 3 chữ số đôi một khác nhau được lập từ E là: C602 cách. Số các số có 3 chữ số mà trong mỗi số không có mặt chữ số 5 được lập từ E là: A43  24 (số).  Số các số có 3 chữ số mà trong mỗi số có mặt chữ số 5 được lập từ E là: 60  24  36 (số). Gọi A là biến cố viết lên bảng hai số mà trong hai số đó có đúng một số có chữ số 5. Ta có, số cách viết hai số lên bảng mà trong đó có đúng một số có chữ số 5 là: 1 1 C24 .C36 1 1 .C36 Từ đó suy ra: n  A  C24 (cách).  Vậy ta có: P  A  1 1 C24 .C36 144  . 2 C60 295 Bài Toán 15: Một hộp có 5 viên bi đỏ ,3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh .Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 viên bi trong đó số bi đỏ lớn hơn số bi vàng. Hướng Dẫn Giải:  Ta có 6 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Cả 4 viên được lấy ra đều là bi đỏ.  Trường hợp này có C54 cách. - Trường hợp 2: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng.  Trường hợp này có C53 .C31 cách. Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC Trường hợp 3: Có 3 viên bi đỏ, 1 viên bi xanh.  Trường hợp này có C53 .C41 cách. - Trường hợp 4: Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi xanh.  Trường hợp này có C52 .C42 cách. - Trường hợp 5: Có 1 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh.  Trường hợp này có C51.C43 cách. - Trường hợp 6: Có 2 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 1 viên bi xanh.  Trường hợp này có C52 .C31.C41 cách. Từ các trường hợp trên ta suy ra, số cách lấy ra 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán là: C54  C53 .C31  C53 .C41  C52 .C42  C51.C43  C52 .C31.C41  275 cách. -  Bài Toán 16: Trong một lớp học gồm có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Giáo viên gọi ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả học sinh nam và học sinh nữ. Hướng Dẫn Giải:  Số cách chọn 4 học sinh bất kì trong lớp lên bảng là: C354 cách.   Gọi A là biến cố 4 học sinh lên bảng có cả học sinh nam và học sinh nữ. Ta đi tính số cách gọi 4 học sinh lên bảng có cả học sinh nam và học sinh nữ: Ta có 3 trường hợp sau: - Trường hợp 1: Có 1 học sinh nam, 3 học sinh nữ. 1  Trường hợp này có: C20 .C153 cách. - Trường hợp 2: Có 2 học sinh nam, 2 học sinh nữ. 2  Trường hợp này có: C20 .C152 cách. - Trường hợp 3: Có 3 học sinh nam, 1 học sinh nữ. 3 1  Trường hợp này có: C20 .C15 cách. 1 2 3 1 .C153  C20 .C152  C20 .C15 Từ đó suy ra: n  A  C20 (cách).  Vậy ta có: P  A  1 2 3 1 C20 .C153  C20 .C152  C20 .C15 4615  . 4 C35 5236 Bài Toán 17: Cho hai đường thẳng song song d1 và d 2 . Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d 2 có n điểm phân biệt  n  3, n  * .Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho.Tìm n. Hướng Dẫn Giải: Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com “TỔ HỢP-XÁC SUẤT” LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CHUNG-NGUYỄN MINH ĐỨC  Ta có số tam giác có thể tạo từ các điểm thuộc d1 và d 2 là: Cn310  C103  Cn3  Theo đề bài ta suy ra: Cn310  C103  Cn3  2800   n  10  n  9  n  8   10.9.8  n  n  1 n  2   2800.6  n 2  8n  560  0  n  20  Do n  3, n  *  Vậy n  20 điểm. Bài Toán 18: Một hộp có 5 viên bi xanh,6 viên bi đỏ và 7 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp.Tính xác suất của biến cố 5 viên được chọn có đủ màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. Hướng Dẫn Giải:    Số cách lấy ngẫu nhiên 5 viên bất kì từ hộp là: C185 cách. Gọi A là biến cố 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số bi đỏ bằng số bi vàng. Tính n  A : - Trường hợp 1: Có 1 viên bi đỏ, 1 viên bi vàng và 3 viên bi xanh:  Trường hợp này có: C61.C71 .C53 cách. - Trường hợp 2: Có 2 viên bi đỏ, 2 viên bi vàng và 1 viên bi xanh.  Trường hợp này có: C62 .C72 .C51 cách. -  Từ đó suy ra: n  A  C61.C71 .C53  C62 .C72 .C51 (cách). Vậy ta có: P  A  C61.C71 .C53  C62 .C72 .C51 95  . C185 408 Bài Toán 19: Biển số xe là một dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ cái được lấy từ 26 chữ cái từ A,B,C,…….,Z. Các chữ số được chọn từ 10 chữ số là 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Hỏi có bao nhiêu biển số xe có hai chữ số khác nhau, đồng thời có hai chữ số lẻ và hai chữ số lẻ đó giống nhau. ( Có phân biệt vị trí sắp xếp các chữ cái và chữ số giữa các biển số với nhau: VD: AK 1698 và KA 1698 ) Hướng Dẫn Giải:  Chọn hai chữ số khác nhau, ta có số cách chọn là: A262 cách.  Chọn hai số lẻ giống nhau ta có 5 cách. Tài Liệu Luyện Thi THPT Quốc Gia Chung Gmail: Minhduck2pi@gmail.com