Nội dung

Traàn Só Tuøng Tích phaân Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: sin x =1 a) lim x ®0 x x =1 x ®0 sin x Heä quaû: lim sin u(x) =1 u(x)®0 u(x) u(x) =1 u(x)®0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x® 0 x lim lim lim x æ 1ö b) lim ç 1 + ÷ = e, x Î R x ®¥ è xø 1 Heä quaû: lim (1 + x) x = e. x®0 lim ex - 1 =1 x® 0 x 2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: (c)’ = 0 (c laø haèng soá) (x a )' = ax a-1 (ua )' = aua-1u ' 1 æ1ö ç ÷' = - 2 èxø x ( x )' = 1 2 x x (e )' = ex u' æ1ö ç ÷' = - 2 u èuø ( u ) ' = u' 2 u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x .ln a (a u )' = a u .ln a . u ' 1 u' (ln x )' = (ln u )' = x u 1 u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 1 u' (tgx)' = = 1 + tg 2 x (tgu)' = = (1 + tg 2 u).u' 2 2 cos x cos u -1 - u' (cot gx)' = = -(1 + cot g 2 x) (cot gu)' = = - (1 + cot g 2 u).u' 2 2 sin x sin u 3. Vi phaân: Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x Î (a; b) . Cho soá gia Dx taïi x sao cho x + Dx Î (a; b) . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) Trang 1 Tích phaân Traàn Só Tuøng NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN §Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 1. Ñònh nghóa: Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: F '(a+ ) = f(x) vaø F '(b - ) = f(b) 2. Ñònh lyù: Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng ñoù. b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø ò f(x)dx. Do ñoù vieát: ò f(x)dx = F(x) + C Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: · · · · ( ò f(x)dx ) ' = f(x) ò af(x)dx = aò f(x)dx (a ¹ 0) ò [ f(x) + g(x)] dx = ò f(x)dx + ò g(x)dx ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) 4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: · Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. Trang 2 Traàn Só Tuøng Tích phaân BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp thöôøng gaëp (döôùi ñaây u = u(x)) ò dx = x + C ò du = u + C x a+1 ò x dx = a + 1 + C (a ¹ -1) ua+1 ò u du = a + 1 + C dx = ln x + C x (x ¹ 0) ò a ò ò e dx = e x x ò a dx = x du = ln u + C u ò e du = e u +C ax +C ln a (a ¹ -1) a u ò a du = (0 < a ¹ 1) u (u = u(x) ¹ 0) +C au +C ln a (0 < a ¹ 1) ò cos xdx = sin x + C ò cos udu = sin u + C ò sin xdx = - cos x + C ò sin udu = - cos u + C dx 2 ò cos2 x = ò (1 + tg x)dx = tgx + C du 2 ò cos2 u = ò (1 + tg u)du = tgu + C dx ò sin 2 x = ò (1 + cot g 2 x)dx = - cot gx + C dx = x +C x ò2 du ò sin 2 du = u +C u ò2 (x > 0) 1 ò cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ¹ 0) 1 sin(ax + b)dx = cos(ax + b) + C ò a (a ¹ 0) dx 1 ò ax + b = a ln ax + b + C òe ò ax + b u = ò (1 + cot g 2 u)du = - cot gu + C 1 dx = eax + b + C a (a ¹ 0) dx 2 = ax + b + C ax + b a (a ¹ 0) Trang 3 (u > 0) Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b) Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Böôùc 2: Chöùng toû raèng íF '(a + ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Ví duï 1: CMR haøm soá: F(x) = ln(x + x 2 + a) vôùi a > 0 1 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = x2 + a treân R. Giaûi: Ta coù: F '(x) = [ln(x + x 2 + a)]' = (x + x 2 + a)' x + x2 + a 2x 1+ 2 x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x 2 + a(x + x 2 + a) = Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. ìïex Ví duï 2: CMR haøm soá: F(x) = í 2 ïî x + x + 1 khi x ³ 0 khi x < 0 ìex khi x ³ 0 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í treân R. 2x + 1 khi x < 0 î Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: a/ Vôùi x ¹ 0 , ta coù: ìe x khi x > 0 F '(x) = í î2x + 1 khi x < 0 b/ Vôùi x = 0, ta coù: Trang 4 1 x2 + a = f(x) Traàn Só Tuøng · Tích phaân Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. F '(0 - ) = limx®0 · F(x) - F(0) x 2 + x + 1 - e0 = lim= 1. x ®0 x-0 x Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. F '(0 + ) = lim+ x®0 F(x) - F(0) ex - e0 = lim+ = 1. x®0 x-0 x Nhaän xeùt raèng F '(0 - ) = F '(0 + ) = 1 Þ F '(0) = 1. ìe x khi x ³ 0 Toùm laïi: F '(x) = í = f(x) î2x + 1 khi x < 0 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b). PHÖÔNG PHAÙP CHUNG Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: F '(x) = f(x) vôùi "x Î (a; b) Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá. Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: + Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) Xaùc ñònh F’(a+) Xaùc ñònh F’(b–) + Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: ìF '(x) = f(x), "x Î (a ; b) ï + Þ giaù trò cuûa tham soá. íF '(a ) = f(a) ïF '(b - ) = f(b) î Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân PHÖÔNG PHAÙP CHUNG · Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C · Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm. Trang 5 Tích phaân Traàn Só Tuøng ìx2 khi x £ 1 Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: F(x) = í îax + b khi x > 1 ì2x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = í î2 khi x £ 1 khi x > 1 treân R. Giaûi: Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: ì2x khi x < 1 a/ Vôùi x ¹ 1 , ta coù: F '(x) = í î2 khi x > 1 b/ Vôùi x = 1, ta coù: Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do ñoù : lim- F(x) = lim+ F(x) = f(1) Û a + b = 1 Û b = 1 - a (1) x ®1 x ®1 · Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1. F'(1) = lim x ®1 f(x) - F(1) x2 - 1 = lim= 2. x ®1 x - 1 x -1 · Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0. F '(1+ ) = lim+ x ®1 F(x) - F(1) ax + b - 1 ax + 1 - a - 1 = lim+ = lim+ = a. x ®1 x ®1 x -1 x -1 x -1 Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 Û F '(1- ) = F '(1+ ) Û a = 2. (2) Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1. Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1. Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1) Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c)e -2x laø moät nguyeân haøm cuûa F(x) = - (2x 2 - 8x + 7)e-2 x treân R. Giaûi: Ta coù: F '(x) = (2ax + b)e-2 x - 2(ax 2 + bx + c)e -2x = éë-2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2cùûe-2x Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R Û F '(x) = f(x), "x Î R Û - 2ax 2 + 2(a - b)x + b - 2c = - 2x 2 + 8x - 7, "x Î R ìa = 1 ìa = 1 ï ï Û ía - b = 4 Û í b = -3 ï b - 2c = -7 ïc = 2 î î Vaäy F(x) = (x 2 - 3x + 2)e-2x . Trang 6 Traàn Só Tuøng Tích phaân BAØI TAÄP æ x pö Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) = ln tg ç + ÷ è2 4ø Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = 1 . cos x ì ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá F(x) = í x ï0 ,x = 0 î ì 2 ln(x 2 + 1) ,x¹0 ï 2 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = í x + 1 x2 ï1 ,x=0 î Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá F(x) = (ax 2 + bx + c).e- x laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) = (2x 2 - 5x + 2)e- x treân R. ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. Baøi 4. a/ b/ Tính nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa f(x) = sin 2 ÑS: a/ F(x) = Baøi 5. a/ x 3 + 3x 2 + 3x - 7 vaø F(0) = 8. (x + 1)2 x2 8 +x+ ; 2 x +1 x æ pö p vaø F ç ÷ = . 2 è2ø 4 1 b/ F(x) = (x - sin x + 1) 2 Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: F(x) = (ax 2 + bx + c) 2x - 3 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: f(x) = b/ 20x 2 - 30x + 7 æ3 ö treân khoaûng ç ; + ¥ ÷ è2 ø 2x - 3 Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0. ÑS: a/ a = 4; b = -2; c = 1; b/ G(x) = (4x 2 - 2x + 10) 2x - 3 - 22. Trang 7 Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN 1 ò f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C vôùi a ¹ 0. Ví duï 1: CMR , neáu ò f(x)dx = F(x) + C thì Giaûi: 1 Ta luoân coù: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) vôùi a ¹ 0. a AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: 1 1 ò f(ax + b)dx = a ò (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (ñpcm) . Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: ò f(t)dt = F(t) + C Þ ò f(u)du = F(u) + C, vôùi u = u(x) Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ 3 ò (2x + 3) dx b/ ò cos4 x.sin xdx c/ ò 2e x dx ex + 1 d/ ò (2 ln x + 1)2 dx x Giaûi: 1 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 3 +C= + C. a/ Ta coù: ò (2x + 3) dx = ò (2x + 3) d(2x + 3) = . 2 2 4 8 3 b/ Ta coù: ò cos4 x.sin xdx = - ò cos 4 xd(cos x) = c/ Ta coù: cos5 x +C 5 2ex d(ex + 1) x dx = 2 ò ex + 1 ò ex + 1 = 2 ln(e + 1) + C (2 ln x + 1)2 1 1 d/ Ta coù: ò dx = ò (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C. x 2 2 Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ ò 2sin 2 x dx 2 b/ ò cot g2 xdx c/ ò tgxdx Giaûi: a/ Ta coù: ò 2sin 2 x dx = ò (1 - cos x)dx = x - sin x + C 2 æ 1 ö b/ Ta coù: ò cot g 2 xdx = ò ç 2 - 1 ÷ dx = - cot gx - x + C è sin x ø c/ Ta coù: ò tgxdx = ò sin x d(cos x) dx = - ò = - ln cos x + C cos x cos x Trang 8 d/ ò tgx dx cos3 x Traàn Só Tuøng d/ Ta coù: Tích phaân tgx ò cos 3 x dx = ò sin x d(cos x) 1 1 dx = - ò = - cos -3 x + C = + C. 4 4 cos x cos x 3 3cos3 x Ví duï 4: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: a/ x ò 1 + x dx 2 b/ òx 2 1 dx - 3x + 2 Giaûi: a/ Ta coù: x 1 d(1 + x 2 ) 1 dx = = ln(1 + x 2 ) + C 2 ò 1 + x2 ò 2 1+ x 2 b/ Ta coù: òx 1 1 1 ö æ 1 dx = ò dx = ò ç ÷dx - 3x + 2 (x - 1)(x - 2) è x - 2 x -1 ø 2 = ln x - 2 - ln x - 1 + C = ln x-2 + C. x -1 BAØI TAÄP Baøi 6. Tìm nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá: x a/ f(x) = cos2 ; b/ 2 ÑS: a/ 1 (x + sin x) + C ; 2 f(x) sin 3 x. 1 - cos x + cos3 x + C. 3 b/ Baøi 7. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/ ò e (2 - e d/ e2-5x + 1 ò ex dx; x -x )dx; b/ e/ ÑS: a/ 2e - x + C; x d/ ex ò 2x dx ; c/ 2 2x.3x.5x ò 10x dx . ex ò ex + 2dx ex + C; (1 - ln 2)2 x b/ 1 - e2-6 x - e- x + C; e/ 6 c/ 6x +C ln 6 ln(ex + 2) + C . Baøi 8. Tính caùc tích phaân baát ñònh : a/ ò d/ ò (1 - 2x) x 4 + x -4 + 2 dx ; 2001 dx; e/ x3 1 ÑS: a/ - + C; 3 x d/ ò b/ ò 3 x 5 x dx ; c/ òx x 2 + 1 dx ; 3 - 4 ln x dx x 55 7 x + C; 7 b/ 1 (1 - 2x)2002 - . + C; 2 2002 Trang 9 e/ c/ 1 2 (x + 1) x 2 + 1 + C ; 3 1 (3 + 4 ln x) 3 + 4 ln x + C. 6 Tích phaân Traàn Só Tuøng Vaán ñeà 3: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG PHÖÔNG PHAÙP PHAÂN TÍCH Phöông phaùp phaân tích thöïc chaát laø vieäc söû duïng caùc ñoàng nhaát thöùc ñeå bieán ñoåi bieåu thöùc döôùi daáu tích phaân thaønh toång caùc bieåu thöùc maø nguyeân haøm cuûa moãi bieåu thöùc ñoù coù theå nhaän ñöôïc töø baûng nguyeân haøm hoaëc chæ baèng caùc pheùp bieán ñoåi ñôn giaûn ñaõ bieát. Chuù yù quan troïng: Ñieåm maáu choát laø pheùp phaân tích laø coù theå ruùt ra yù töôûng cho rieâng mình töø moät vaøi minh hoaï sau: · Vôùi f(x) = (x 3 - 2)2 thì vieát laïi f(x) = x 6 - 4x 3 + 4. · Vôùi f(x) = x 2 - 4x + 5 2 thì vieát laïi f(x) = x - 3 + . x -1 x -1 · Vôùi f(x) = 1 1 1 thì vieát laïi f(x) = x - 5x + 6 x -3 x -2 · Vôùi f(x) = · Vôùi f(x) = (2 x - 3x )2 thì vieát laïi f(x) = 4 x - 2.6 x + 9 x. · Vôùi f(x) = 8 cos3 x.sin x thì vieát laïi f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 2 1 1 thì vieát laïi f(x) = ( 3 - 2x - 2x + 1) 2 2x + 1 + 3 - 2x = 2 cos3x.sin x + 6 cos x.sin x = sin 4x - sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + 2 sin 2x. · tg 2 x = (1 + tg 2 x) - 1 · cot g 2 x = (1 + cot g 2 x) - 1 · x n (1 + x 2 ) + 1 1 = xn + . 2 1+ x 1 + x2 Ñoù chæ laø moät vaøi minh hoaï mang tính ñieån hình. Ví duï 1: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(1 - x)2002 dx. Giaûi: Söû duïng ñoàng nhaát thöùc : x = 1 – (1 – x) ta ñöôïc: x(1 - x)2002 = [1 - (1 - x)](1 - x)2002 = (1 - x)2002 - (1 - x)2003 . Khi ñoù: I = ò (1 - x)2002 dx - ò (1 - x)2003 dx = - ò (1 - x)2002 d(1 - x) + ò (1 - x)2003 d(1 - x) =- (1 - x)2003 (1 - x)2004 + + C. 2003 2004 Toång quaùt: Tính tích phaân baát ñònh: I = ò x(ax + b)a dx, vôùi a ¹ 0 1 1 Söû duïng ñoàng nhaát thöùc: x = .ax = [(ax + b) - b] a a Trang 10