Nội dung

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2013 - 2014 KHẢO SÁT HÀM SỐ BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 8/2013 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com CHUYÊN ĐỀ: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ VẤN ĐỀ 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Đinh nghĩa: Hàm số f đồng biến trên K ⇔ (∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) < f (x 2 )) Hàm số f nghịch biến trên K ⇔ (∀x1, x 2 ∈ K , x1 < x 2 ⇒ f (x1 ) > f (x 2 )) 2. Điều kiện cần: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I 3.Điều kiện đủ: Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I. a) Nếu f '(x ) ≥ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I. b) Nếu f '(x ) ≤ 0, ∀x ∈ I ( f '(x ) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I. c) Nếu f '(x ) = 0, ∀x ∈ I , ∀x ∈ I thì f không đổi trên I. Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó. Dạng toán 1: Xét tính đơn điệu của hàm số Phương pháp: Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: – Tìm tập xác định của hàm số. – Tính y′. Tìm các điểm mà tại đó y′ = 0 hoặc y′ không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y′ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Bài tập cơ bản HT 1. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: 1) y = x 3 − 2x 2 + x − 2 2) y = (4 − x )(x − 1)2 3) y = x 3 − 3x 2 + 4x − 1 6) y = 4) y = 1 4 x − 2x 2 − 1 4 5) y = −x 4 − 2x 2 + 3 7) y = 2x − 1 x +5 8) y = 10) y = x + 3 + 2 2 − x x −1 2 −x 11) y = 2x − 1 − 3 − x 1 4 1 x + x2 − 2 10 10 9) y = 1 − 1 1−x 12) y = x 2 − x 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 1 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Dạng toán2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định) Cho hàm số y = f (x, m ) , m là tham số, có tập xác định D. • Hàm số f đồng biến trên D ⇔ y′≥ 0, ∀x ∈ D. • Hàm số f nghịch biến trên D ⇔ y′≤ 0, ∀x ∈ D. Từ đó suy ra điều kiện của m. Chú ý: 1) y′ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 2) Nếu y ' = ax 2 + bx + c thì: a = b = 0   c ≥ 0 • y ' ≥ 0, ∀x ∈ R ⇔  a > 0  ∆ ≤ 0  a = b = 0   c ≤ 0 • y ' ≤ 0, ∀x ∈ R ⇔  a < 0  ∆ ≤ 0  3) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g (x ) = ax 2 + bx + c : • Nếu ∆< 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a. • Nếu ∆ = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = − b ) 2a • Nếu ∆> 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a. 4) So sánh các nghiệm x1, x 2 của tam thức bậc hai g (x ) = ax 2 + bx + c với số 0: ∆ > 0  • x1 < x 2 < 0 ⇔ P > 0  S < 0  ∆ > 0  • 0 < x1 < x 2 ⇔ P > 0 • x1 < 0 < x 2 ⇔ P < 0  S > 0  5) Để hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x 2 ) bằng d thì ta thực hiện các bước sau: • Tính y′. • Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: a ≠ 0  (1)  ∆ > 0 • Biến đổi x1 − x 2 = d thành (x1 + x 2 )2 − 4x1x 2 = d 2 (2) • Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m. • Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. Bài tập cơ bản HT 2. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác định) của nó: 1) y = x 3 − 3mx 2 + (m + 2)x − m 3) y = HT 3. x +m x −m 2) y = x 3 mx 2 − − 2x + 1 3 2 4) y = mx + 4 x +m Tìm m để hàm số: 1) y = x 3 + 3x 2 + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1. 2) y = 1 3 1 x − mx 2 + 2mx − 3m + 1 nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3. 3 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 2 GV.Lưu Huy Thưởng www.VNMATH.com 0968.393.899 1 3) y = − x 3 + (m − 1)x 2 + (m + 3)x − 4 đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4. 3 HT 4. Tìm m để hàm số: 1) y = x3 + (m + 1)x 2 − (m + 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞). 3 2) y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (2; +∞). 3) y = mx + 4 (m ≠ ±2) đồng biến trên khoảng (1; +∞). x +m 4) y = x +m đồng biến trong khoảng (–1; +∞). x −m BÀI TẬP TỔNG HỢP – NÂNG CAO HT 5. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 − mx − 4 (1).Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (−∞; 0) . Đ/s: m HT 6. Cho hàm số y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 có đồ thị (Cm).Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Đ/s: m HT 7. Cho hàm số y Đ/s: m ≤ HT 8. ≤ −3 ≤1 = x 3 + (1 − 2m )x 2 + (2 − m )x + m + 2 . Tìm m để hàm đồng biến trên (0;+∞) . 5 4 Cho hàm số y = x 4 − 2mx 2 − 3m + 1 (1), (m là tham số).Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; 2). Đ/s: m ∈ [ − ∞;1) HT 9. Cho hàm số y = x 3 − 3(2m + 1)x 2 + (12m + 5)x + 2 đồng biến trên khoảng (−∞; −1) và (2; +∞) Đ/s: − 7 5 ≤m ≤ 12 12 HT 10. Cho hàm số y = x 3 − mx 2 − (2m 2 − 7m + 7)x + 2(m − 1)(2m − 3) . Tìm mđể hàm số đồng biến trên [2; +∞). Đ/s: −1 ≤ m ≤ 5 2 --------------------------------------------------------- BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 3 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 2: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ I.Khái niệm cực trị của hàm số Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D ⊂ ℝ) và x 0 ∈ D 1) x 0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f (x ) < f (x 0 ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x 0} . Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của f . 2) x 0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) ⊂ D và x 0 ∈ (a; b) sao cho f (x ) > f (x 0 ) , ∀x ∈ (a; b) \ {x 0} . Khi đó f (x 0 ) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f . 3) Nếu x 0 là điểm cực trị của f thì điểm (x 0 ; f (x 0 )) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f . II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị Nếu hàm số f có đạo hàm tại x 0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f '(x 0 ) = 0 . Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị 1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên (a; b) \ {xo } 1) Nếu f '(x ) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . 2) Nếu f '(x ) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0 2. Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 , f '(x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0 . 1) Nếu f "(x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0 . 2) Nếu f "(x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0 . II. CÁC DẠNG TOÁN Dạng toán 1: Tìm cực trị của hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1. • Tìm f '(x ) . • Tìm các điểm x i (i = 1, 2,...) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm. • Xét dấu f '(x ) . Nếu f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x i thì hàm số đạt cực trị tại x i . Qui tắc 2: Dùng định lí 2. • Tính f '(x ) • Giải phương trình f '(x ) = 0 tìm các nghiệm x i (i = 1, 2,...) • Tính f "(x ) và f "(xi ) (i = 1, 2,...) . Nếu f "(x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i . Nếu f "(x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 4 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com Bài tập cơ bản HT 11. Tìm cực trị của các hàm số sau: 1) y = 3x 2 − 2x 3 2) y = x 3 − 2x 2 + 2x − 1 1 3) y = − x 3 + 4x 2 − 15x 3 6) y = − 4) y = x4 − x2 + 3 2 5) y = x 4 − 4x 2 + 5 7) y = −x 2 + 3x + 6 x +2 8) y = 3x 2 + 4x + 5 x +1 4x 2 + 2x − 1 10) y = (x − 2)3 (x + 1)4 11) y = 13) y = x x 2 − 4 14) y = x 2 − 2x + 5 2x 2 + x − 3 9) y = x4 3 + x2 + 2 2 x 2 − 2x − 15 x −3 12) y = 3x 2 + 4x + 4 x2 + x + 1 15) y = x + 2x − x 2 Dạng toán 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị 1. Nếu hàm số y = f (x ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x 0 ) = 0 hoặc tại x 0 không có đạo hàm. 2. Để hàm số y = f (x ) ) đạt cực trị tại điểm x 0 thì f '(x ) đổi dấu khi x đi qua x 0 . Chú ý: • Hàm số bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d có cực trị ⇔ Phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt. Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: + y(x 0 ) = ax 03 + bx 02 + cx 0 + d + y(x 0 ) = Ax 0 + B , trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y′. Bài tập cơ bản HT 12. Tìm m để hàm số: 1) y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx − 5 có cực đại, cực tiểu. 2) y = x 3 − 3(m − 1)x 2 + (2m 2 − 3m + 2)x − m(m − 1) có cực đại, cực tiểu. 3) y = x 3 − 3mx 2 + 3(m 2 − 1)x − m 3 4) y = 2x 3 − 3(2m + 1)x 2 + 6m(m + 1)x + 1 x = 2 5) y = x 3 − 3mx 2 + (m 2 − 1)x + 2 đạt cực đại tại 6) y = −mx 4 + 2(m − 2)x 2 + m − 5 có một cực đại x = 1 . 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 5 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 HT 13. Tìm a, b, c, d để hàm số: 1) y = ax 3 + bx 2 + cx + d đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 1 4 tại x = 3 27 2) y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3. HT 14. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị: 1) y = x 3 − 3x 2 + 3mx + 3m + 4 2) y = mx 3 + 3mx 2 − (m − 1)x − 1 HT 15. Tìm m để hàm số : 1) y = x 3 + 2(m − 1)x 2 + (m 2 − 4m + 1)x − 2(m 2 + 1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 sao cho: 1 1 1 + = (x1 + x 2 ) . x1 x 2 2 2) y = 1 3 x − mx 2 + mx − 1 đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 2 sao cho: x1 − x 2 ≥ 8 . 3 3) y = 1 1 mx 3 − (m − 1)x 2 + 3(m − 2)x + đạt cực trị tại hai điểm x1, x 2 sao cho: x1 + 2x 2 = 1 . 3 3 HT 16. Tìm m để đồ thị hàm số : 1) y = −x 3 + mx 2 − 4 có hai điểm cực trị là A, B và AB 2 = 900m 2 . 729 2) y = x 4 − mx 2 + 4x + m có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm. BÀI TẬP TỔNG HỢP VÀ NÂNG CAO HT 17. Tìm m để đồ thị hàm số : 1) y = 2x 3 + mx 2 − 12x − 13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung. Đ/s: m = 0 2) y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân giác thứ nhất. Đ/s: m = ± 1 2 3) y = x 3 − 3mx 2 + 4m 3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường thẳng d : 3x − 2y + 8 = 0 .  4  Đ/s: m ∈ − ;1 \ {0}  3  HT 18. Tìm m để đồ thị hàm số: 1) y = x 3 + 3x 2 + m có 2 điểm cực trị tại A, B sao cho AOB = 1200 Đ/s: m = 0, m = −12 + 132 3  3 9 2) y = x 4 − 2mx 2 + 2 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có đường tròn ngoại tiếp đi qua D  ;  Đ/s: m = 1  5 5  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 6 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com 3) y = x 4 + 2mx 2 + m 2 + m có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có một góc bằng 1200. Đ/s: m = − 1 3 3 4) y = x 4 − 2mx 2 + 2m + m 4 có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích bằng 4. Đ/s: m = 3 2 HT 19. Tìm m để hàm số: 1) y = x 3 − 3mx + 2 có hai điểm cực trị và đường tròn qua 2 điểm cực trị cắt đường tròn tâm I (1;1) bán kính bằng 1 tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB lớn nhất. Đ/s: m = 2± 3 2 9 2) y = 4x 3 + mx 2 − 3x có hai điểm cực trị x1, x 2 thỏa mãn: x1 +4x2 = 0 Đ/s: m = ± 2 HT 20. Tìm m để hàm số: 1) y = 2x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6(m − 2)x − 1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song với đường thẳng y = −4x − 1 . Đ/s: m = 5 2) y = 2x 3 + 3(m − 1)x 2 + 6m(1 − 2m )x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên đường thẳng y = −4x . Đ/s: m = 1 3) y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y = 3x − 7 . Đ/s: m = ± 3 10 2 4) y = x 3 − 3x 2 + m 2x + m có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng (∆): y = 1 5 x− . 2 2 Đ/s: m = 0 ------------------------------------------------------- BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 7 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 VẤN ĐỀ 3: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số • Tìm tập xác định của hàm số. • Xét sự biến thiên của hàm số: + Tìm các giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có). + Tính y ' . + Tìm các điểm tại đó đạo hàm y ' = 0 hoặc không xác định. + Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số. • Vẽ đồ thị của hàm số: + Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương). + Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị. + Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể vẽ chính xác hơn. 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠ 0) • Tập xác định D = ℝ . • Đồ thị luôn có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng. • Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt y y ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac > 0 I 0 x 0 I x y ' = 0 có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac = 0 y ' = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ ' = b 2 − 3ac < 0 y y I 0 I x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN 0 x Page 8 GV.Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 www.VNMATH.com 3. Hàm số trùng phương y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0) • Tập xác định D = ℝ • Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng. • Các dạng đồ thị: a>0 a<0 y y có 3 nghiệm phân biệt ⇔ 0 0 x y chỉ có 1 nghiệm 4. Hàm số nhất biến y = x x y ⇔ 0 0 x ax + b (c ≠ 0; ad − bc ≠ 0) cx + d  d  • Tập xác định D = ℝ \  −   c  • Đồ thị có một tiệm cận đứng là x=− d a và một tiệm cận ngang là y = . Giao điểm của hai tiệm cận là tâm đối c c xứng của đồ thị hàm số. • Các dạng đồ thị: y y 0 x 0 x ad – bc > ad – bc < Bài tập cơ bản HT 21. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau: x3 − x2 + x −1 3 1. y = −x 3 + 3x 2 − 1 2. y = 4. y = x 4 − 2x 2 + 2 5. y = −x 4 − x 2 + 1 7. y = 2x − 1 x −1 8. y = 3. y = − 6. y = x3 + x 2 − 2x + 1 3 x −1 x +1 x −1 −2x + 1 ---------------------------------------------------- BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ TỚI BẾN Page 9