Nội dung

Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 CHUYÊN ĐỀ . VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 64 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 I. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1. Định nghĩa và các phép toán + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB  BC  AC + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB  AD  AC + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.ABCD, ta có: AB  AD  AA '  AC ' + Hê thức trung điểm đoạn thẳng: I là trung điểm của đoạn thẳng AB, O tuỳ ý. IA  IB  0 , OA  OB  2OI . + Hệ thức trọng tâm tam giác: Cho G là trọng tâm của tam giác ABC, O tuỳ ý. Ta có: GA  GB  GC  0; OA  OB  OC  3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G là trọng tâm của tứ diện ABCD, O tuỳ ý. Ta có: GA  GB  GC  GD  0; OA  OB  OC  OD  4OG + Điều kiện hai vectơ cùng phương: a vaø b cuøng phöông (a  0) ! k  R : b  ka 2. Sự đồng phẳng của ba vectơ  Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.  Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , trong đó a vaø b không cùng phương. Khi đó: a, b , c đồng phẳng  ! m, n  R: c  ma  nb  Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý. ! m, n, p  R: x  ma  nb  pc 3. Tích vô hướng của hai vectơ  Góc giữa hai vectơ trong không gian: AB  u, AC  v  (u, v )  BAC (00  BAC  1800 )  Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: + Cho u, v  0 . Khi đó: u.v  u . v .cos(u, v ) + Với u  0 hoaëc v  0 . Qui ước: u.v  0 + u  v  u.v  0 A. PHÂN DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 65 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD, I là trung điểm của EF. a) Chứng minh: IA  IB  IC  ID  0 . b) Chứng minh: MA  MB  MC  MD  4MI , với M tuỳ ý. c) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng cố định (P) sao cho: MA  MB  MC  MD nhỏ nhất. 2. Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kì, các đoạn thẳng nối trung điểm của các cạnh đối đồng qui tại trung điểm của chúng. (Điểm đồng qui đó được gọi là trọng tâm của tứ diện) 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm chia các cạnh AB, BC, CD, DA theo tỉ số k (k  Chứng minh rằng hai tứ diện ABCD và ABCD có cùng trọng tâm. DẠNG 2: CHỨNG MINH CÁC VECTƠ ĐỒNG PHẲNG 1. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho 1 MS  2 MA và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho NB   NC . Chứng minh rằng ba vectơ AB, MN , SC 2 đồng phẳng. ĐS: Chứng minh MN  2. 2 1 AB  SC . 3 3 Cho hình hộp ABCD.EFGH. Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD, DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH. a) Chứng minh ba vectơ MN , FH , PQ đồng phẳng. b) Chứng minh ba vectơ IL, JK , AH đồng phẳng. ĐS: a) MN , FH , PQ có giá cùng song song với (ABCD). b) IL, JK , AH có giá cùng song song với (BDG). 3. Cho hình lăng trụ ABC.DEF. Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE. a) Chứng minh ba vectơ AJ , GI , HK đồng phẳng. b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên AF và CE sao cho FM CN 1   . Các đường thẳng vẽ từ M và N FA CE 3 song song với CF lần lượt cắt DF và EF tại P và Q. Chứng minh ba vectơ MN , PQ, CF đồng phẳng. 4. Cho hình hộp ABCD.ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và DD; G và G lần lượt là trọng tâm của các tứ diện ADMN và BCCD. Chứng minh rằng đường thẳng GG và mặt phẳng (ABBA) song Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 66 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 song với nhau. ĐS: Chứng minh GG '  5. 1 5 AB  AA '   AB, AA ', GG ' đồng phẳng. 8 Cho tứ diện OABC. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. a) Phân tích vectơ OG theo các ba OA, OB, OC . b) Gọi D là trọng tâm của tứ diện OABC. Phân tích vectơ OD theo ba vectơ OA, OB, OC . ĐS: a) OG  6. 1 OA  OB  OC  3 b) OD  1 OA  OB  OC  . 4 Cho hình hộp OABC.DEFG. Gọi I là tâm của hình hộp. a) Phân tích hai vectơ OI vaø AG theo ba vectơ OA, OC, OD . b) Phân tích vectơ BI theo ba vectơ FE, FG, FI . ĐS: a) OI  7. 1 OA  OC  OD  , AG  OA  OC  OD . 2 b) BI  FE  FG  FI . Cho hình lập phương ABCD.EFGH. a) Phân tích vectơ AE theo ba vectơ AC, AF, AH . b) Phân tích vectơ AG theo ba vectơ AC, AF, AH . ĐS: a) AE  1 AF  AH  AC  2 b) AG  1 AF  AH  AC  . 2 DẠNG 3: TÍCH VÔ HƯỚNG HAI VECTƠ 1. Cho hình lập phương ABCD.ABCD. a) Xác định góc giữa các cặp vectơ: AB vaø A ' C ' , AB vaø A ' D ' , AC ' vaø BD . b) Tính các tích vô hướng của các cặp vectơ: AB vaø A ' C ' , AB vaø A ' D ' , AC ' vaø BD . 2. Cho hình tứ diện ABCD, trong đó AB  BD. Gọi P và Q là các điểm lần lượt thuộc các đường thẳng AB và CD sao cho PA  kPB, QC  kQD (k  1). Chứng minh AB  PQ . DẠNG 4: MỘT SỐ DẠNG TOÁN KHÁC 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là bốn điểm lấy trên AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng MN, PQ, AC đôi một song song thì bốn điểm P, Q, M, N đồng phẳng. Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 67 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I, J lần lượt là trung điểm BB’, A’C’. K là điểm trên B’C’ sao 2. cho KC  2.KB. Chứng minh bốn điểm A, I, J, K thẳng hàng. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có BA  a, BB '  b, BC  c. M, N lần lượt là hai điểm nằm trên AC, DC’ 3. sao cho MC  n. AC, C ' N  mC ' D. a) Hãy phân tích BD ' theo các véctơ a, b, c. b) Chứng minh rằng: MN   m  n  a  1  m  b  nc. c) Tìm m, n để MN//BD’. Cho hai hình vuông ABCD và ADD’A’ cạnh a nằm trong hai mặt phẳng vuông góc. M, N là hai điểm nằm 4. trên hai đường chéo BD và AD’ sao cho DM = AN = x (0 < x < a a ). Chứng minh rằng: MN//(BCD’A’). Cho tứ diện ABCD, hai điểm M, N thoả mãn: MA  t.MC  0, NB  t.ND  0. Chứng minh khi t thay đổi thì 5. trung điểm I của MN di chuyển trên một đường thẳng cố định. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng; M là một điểm di động 6. a) Chứng minh rằng vectơ v  2MA  MB  3MC là một vectơ không phụ thuộc vào M. b) D là điểm thoả mãn AD  v và giả sử đường thẳng AD cắt BC tại N. Chứng minh: NB  3NC. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp các điểm M, M thoả mãn 7. NA  2 NB  NC  NB  BA . B. [1] CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Điều kiện nào dưới đây là đủ để kết luận ba vectơ a , b , c không đồng phẳng:  a  k1.b A.   c  k2 .b  k1.k2  0  . C. a  k1b  k2c , [2]  k1.k2  0  .  a.b  0  D. b .c  0 .  a.c  0  Điều kiện nào dưới đây là đủ để kết luận ba vectơ a , b , c đồng phẳng: A. a  k1b  k2c , C. a  k1b  k2c , [3]  k1k2  0 .  a  k1.b B.   c  k2 .b  k1k2  0 . B. a  k1b  k2c .  k1k2  0 .  a.b  0  D. b .c  0 .  a.c  0  Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào là đúng? Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 68 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 A. Nếu AB  1 AC thì B là trung điểm của AC. 2 B. Nếu AB  AC  2AD thì A,B,C,D đồng phẳng. C. Nếu AB  1 AC thì A là trung điểm của BC. 2 D. Nếu AB  AC  2AD thì A,B,C,D đồng phẳng. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng? [4] A. BD  D'D  B'D'  B'B. B. BA  BC  D'D  B'D'  BB'. C. BA  BC  D'D  B'D'  B'B. D. BD  DD'  B'D'  BB'. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng? [5] A. AB  B'C'  DD'  AC'. B. AB  B'C'  DD'  0. C. AB  B'C'  DD'  A 'C. D. AB  B'C'  DD'  A 'C'. 1 Cho hình chóp S.ABC, gọi M, N là hai điểm thỏa MS  2AM, NB   NC. Đẳng thức nào dưới đây là 2 [6] đúng: A. MN  2 1 AB  SC. 3 2 2 1 C. MN   AB  SC. 3 2 [7] B. MN  2 1 AB  SC. 3 2 2 1 D. MN   AB  SC. 3 2 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Đẳng thức nào sau đây là đúng? A. AC  BA  DB  C'D  0. B. AC  BA  DB  D'C'  0. C. AC  BA  DB  C'D  CC'. D. AC  BA  DB  C'D  C'C. [8] Cho tứ diện A.BCD có trọng tâm là G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Đẳng thức nào dưới đây là sai?   B. MN    D. GM  GN  0. A. MN  1 AD  BC . 2 C. MN  1 AB  CD . 2 [9]   1 AC  BD . 2 Cho tứ diện A.BCD có G là trọng tâm ABC . Đẳng thức nào dưới đây là đúng? 1 A. DA  DB  DC  DG. 3 C. DA  DB  DC  2 DG. 3 B. DA  DB  DC  3DG. D. DA  DB  DC  0. [10] Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề sau: A. Vì IA  IB  0 nên I là trung điểm của AB. B. Vì I là trung điểm AB nên với điểm O bất kì ta luôn có IO    1 AO  BO . 2 C. Vì AB  2AD  AC  0 nên A,B,C,D đồng phẳng. Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 69 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 D. Vì AB  CB  CD  AD  0 nên A,B,C, D đồng phẳng. [11] Cho tứ diện A.BCD; M, N, G lần lượt là trung điểm AB, CD, MN, I là điểm bất kì trong không gian, đẳng thức nào dưới đây là sai? A. IG    1 IM  IN . 2 B. AM  AN  2AG. C. GA  GB  GC  GD  4GI. D. IA  IB  IC  ID  4.IG. [12] Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành tâm O, I là trung điểm SO.đẳng thức nào dưới đây là sai? A. SB  SC  SA  SD. B. SA  SB  SC  SD  4.SO. C. IA  IB  IC  ID  2SO. D. SB  SD  SA  SC. [13] Trong không gian, ta xét ABC . M là một điểm thuộc mp(ABC), sao cho MA  xMB  yMC, x.y  0. Gọi O là điểm bất kì trong không gian. Đẳng thức nào dưới đây là đúng? A. OM  1 x y OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 B. OM  1 x y OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 C. OM  1 x y OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 D. OM  1 x y OA  OB  OC. x  y 1 x  y 1 x  y 1 [14] Cho hình chóp S.ABC. Trên SA,SB, SC lấy A’, B’, C’ sao cho SA = aSA’, SB=b.SB’, SC= c.SC’. Mối liên hệ a,b,c để mp(A’B’C’) đi qua trọng tâm ABC là: A. a  b  c  1. B. a  b  c  1. C. a  b  c  3. D. a  b  c  3. [15] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA '  a, AB  b, AC  c. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. B'C  a  b  c. B. B'C  a  b  c. C. B'C  a  b  c. D. B'C  a  b  c. [16] Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. Tích vô hướng AC'.A 'B bằng: B.-a2. A.0. C.a2. D.2a2. [17] Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AA '  a, AB  b, AC  c. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. BC'  a  b  c. B. BC'  a  b  c. C. BC'  a  b  c. D. BC'  a  b  c. [18] Trong không gian cho 4 điểm A,B,C,D tùy ý. Đẳng thức nào dưới đây là đúng A. AB.DC  BC.DA  AC.DB  0. B. AB.DC  BC.DA  AC.AB  0. C. AB.DC  BC.DA  CA.DB  0. D. AB.DC  BC.DA  AD.AB  0. Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 70 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 [19] Cho tứ diện A.BCD, có AC vuông góc BD, AB vuông góc CD. Kết luận nào dưới đây là sai: A. AD  BC. B. AC.BD  0. C. AB  CD. D. AD.BC  AB.CD  0. [20] Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi P, R lần lượt là trung điểm AB, A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là giao điểm của các đường chéo trong các mặt ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’. Xét các mệnh đề dưới đây. (I) PP '  QQ'  RR '  0. (II) Hai tam giác  PQR,  P’Q’R’ có cùng trọng tâm. (III) PP’, QQ’, RR’ đồng phẳng. Có bao nhiêu mệnh đề sai: A.0. B.1. C.2. D.3. [21] Cho tứ diện A.BCD, gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm tứ diện A.BCD và BCD . Khẳng định nào dưới đây là sai: A. GA  GB  GC  GD  0. B. GA  3GG '  0. C.A,G,G’ thẳng hàng. D.G là trung điểm AG’. [22] Điều kiện nào dưới đây là đủ để khẳng định ba điểm A,B,C thẳng hàng. A. OB   k  1 OA   k  1 OC, k  0 và O là điểm bất kì. B. AB  k.AC, k  . m  n  1 C. OA  mOB  nOC,  và O là điểm bất kì. mn  0 D. AB  k.AC, k  . [23] Cho ba vectơ a, b , c khác 0 và ba số thực m.n.p  0. Đặt x  ma  nb , y  pb  mc , z  nc  pa . Hệ thức liên hệ giữa ba vectơ x, y, z là: A. px  ny  mz  0. B.  p  m  x   n  p  y   m  p  z  0. C. px  ny  mz  0. D.  p  m  x   n  p  y   m  p  z  0. [24] Cho tứ diện O.ABC, G là trọng tâm tứ diện O.ABC, G’ là trọng tâm ABC . Đẳng thức nào dưới đây là sai: A. OG '  1 OA  OB  OC  . 3 B. 2OG '  3OG  0. C. DG  1 DA  DB  DC  DO  . 4 D. OG  1 OA  OB  OC  . 4 [25] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. OI  OA  OB  OC. B. OI  Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , 1 OA  OB  OC  . 3 Trang 71 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 C. OI  1 OA  OB  OC  . 4 D. OI  1 OA  OB  OC  . 2 [26] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. AC '  OA  OC  OO '. B. AC '  OA  OC  OO '. C. AC '  OA  OC  OO '. D. AC '  OA  OC  OO '. [27] Cho hình hộp OABC.O’A’B’C’. Gọi I là tâm của hình hộp. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. BI  B ' A '  B ' C '  B ' I . B. BI  B ' A '  B ' C '  B ' I . C. BI  B ' A '  B ' C '  B ' I . D. BI  B ' A '  B ' C '  B ' I . [28] Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. AE  1 AF  AH  AC  . 3 B. AE  1 AF  AH  AC  . 2 C. AE  1 AF  AH  AC  . 2 D. AE  1 AF  AH  AC  3 [29] Cho hình lập phương ABCD.EFGH. Đẳng thức nào dưới đây là đúng: A. AG  1 AF  AH  AC  . 2 B. AG  1 AF  AH  AC  . 2 C. AG  1 AF  AH  AC  . 2 D. AG  1 AF  AH  AC  . 2 Cho tứ diện ABCD. Ba điểm M, N, P trong không gian thỏa mãn: OM  OA  t.OB  2OC , [30] ON  OA  2OB  OC , OP  (t  2)OA  2OC . Với giá trị nào của t > 0 thì ba vectơ OM , ON , OP đồng phẳng: A. 0. B.1. C.2. D.3. [31] Cho tứ diện ABCD. Ba vectơ a, b, c thỏa mãn a  OA  2OC , b  OA  2OB  OC , c  2OA  2OC . Biểu diễn v  5OA  10OB  15OC theo ba vectơ a, b, c ta được: A. v  20a  5b  10c. B. v  20a  5b  10c. C. v  20a  5b  10c. D. v  20a  5b  10c. [32] Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, I là trung điểm BC, G là trọng tâm ABC . Tập hợp các điểm M, M thoả mãn MA  MB  MC  2MA  MB  MC là: A. Đường tròn tâm G, bán kính IA. B. Đường tròn tâm G, bán kính C. Mặt cầu tâm G, bán kính IA. D. Mặt cầu tâm G, bán kính Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , 1 IA. 3 2 IA. 3 Trang 72 Bài tập Toán 11 – Tổng hợp và biên soạn: Huỳnh Chí Dũng – 01636920986 II. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1. Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a,b là góc giữa hai đường a’, b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song a,b. Chú ý: Nếu a//b hoặc a  b thì  a, b   00 và 00   a, b   900 a a’ 2. Hai đường thẳng vuông góc: b’  a  b   a, b   900 b  Lưu ý: Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. A. 1. PHÂN DẠNG BÀI TẬP Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC và ASB  BSC  CSA . Chứng minh rằng SA  BC, SB  AC, SC  AB. ĐS: Chứng minh SA.BC = 0 2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD. a) Chứng minh AO vuông góc với CD. b) Gọi M là trung điểm của CD. Tính góc giữa AC và BM. ĐS: 3. b) cos( AC, BM )  3 . 6 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó. b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện. ĐS: 4. b) arccos a2  c 2 b2 ; arccos b2  c 2 a2 ; arccos a2  b2 c2 . Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D). Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q. a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông. b) Đặt AM = x. Tính diện tích của MNPQ theo a và x. 5. Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC  BD, AB  CD, AD  CB. Fb: 01636 920 986 : huynhchidung121289@gmail.com , Trang 73