Nội dung

Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh CHUYÊN ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x), x Î D a) Số M đgl giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) £ M , "x Î D và tồn tại x0 Î D sao cho f(x 0 ) = M . Kí hiệu: M = max f(x) D b) Số m đgl giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D nếu f(x) ³ m , "x Î D và tồn tại x0 Î D sao cho f(x 0 ) = m . Kí hiệu: M = min f(x) D II. PHÂN DẠNG BÀI TẬP  Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số bằng phương pháp đạo hàm.  Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 4 + x2  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  + Ta có y ' = 4 - x2 (4 + x ) 2 2  y ' = 0  x = 2 + Ta có bảng biến thiên: x -2 -¥ - y' 0 +¥ 2 + 0 - 1 4 0 y - 1 4 + Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f(x) = 0 1 1 khi x = 2 ; min f(x) = - khi x = -2 4 4 27 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Bài tập 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  ( )( ) + Ta có y = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = x 2 - 5x + 4 x 2 - 5x + 6 2 æ 9 5ö 9 9 + Đặt t = x 2 - 5x + 4 = çç x - ÷÷÷ - ³ - . Hàm số có dạng f(t) = t2 + 2t với t ³ çè 4 2 ø÷ 4 4 Ta có f '(t) = 2t + 2  f '(t) = 0  t = -1 . Bảng biến thiên: t - -¥ 9 4 f '(t) -1 - 0 +¥ + 9 16 f(t) +¥ -1 + Dựa vào bảng biến thiên ta có: min f(x) = -1 khi x = -1 và hàm số không có cực đại.  Bài tập 3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x + 1 - 2x  Hướng dẫn: æ 1ù + Tập xác định D = çç-¥; ú çè 2 úû + Ta có f '(x) = 1 - 1 1 - 2x = -2x 1 - 2x ( ) 1 - 2x + 1  f '(x) = 0  x = 0 + Dựa vào bảng biến thiên ta có æmaxù f(x) = f(0) = 1 çç-¥; 1 ú ççè 2 úû  Bài tập 4. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x3 + 1 + x 2 - 3x trên đoạn éêë0;2ùúû . 3  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  éx = 1 + Ta có y ' = x 2 + 2x - 3  y ' = 0  êê x = -2 Ï ëêé0;2úûù ëê 28 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh ìï ïïf(0) = 1 ïï ìï 3 ïïmin f(x) = f(1) = - 5 ïï 5 2 + Ta có íf(1) = -  ïí éëê0;2ùûú ïï ïïmax f(x) = f(2) = 1 2 ïïf(2) = 1 ïîï éëê0;2ùûú ïï ïïî é p pù  Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = sin 2x - x trên đoạn ê- ; ú . ê 2 2ú ë û  Hướng dẫn: é ê x = - p + kp 1 1 6 + Ta có y ' = 2 cos 2x - 1  y ' = 0  cos 2x =  êê 2 ê x = p + kp ê 2 6 ë + Xét x1 = - é p pù p p p 1 2 p + kp vì x Î ê- ; ú  - £ - + kp £  - £ k £ . ê 2 2ú 2 6 2 3 3 6 ë û p p Do k Î   k = 0  x1 = - . Tương tự ta có x 2 = 6 6 ïìï æç p ÷ö p y - ÷= ïïï çèç 2 ÷ø÷ 2 ïï æpö ïìï p æ ö ïéminù y = y ççç ÷÷÷ = ïïïy çç- p ÷÷ = - 3 + p ï ÷ø p p 2 2 è ê- ; ú ï ïï èç 6 ø÷÷ ê ú 2 6 + Ta có í  ïíë 2 2 û æ ö ï æpö 3 p ïïïmax y = y çç- p ÷÷ = p ïïïy çç ÷÷÷ = + ÷ ïï êé- p ; p úù ÷ ç èç 2 ø÷ 2 6 2 6 ïï è ø îïï êë 2 2 úû ïï æ ö p÷ p ïïy çç ÷÷ = 2 ïîï çè 2 ÷ø  Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 3 - 3x + 2 trên đoạn éëê-3;0ùûú .  Hướng dẫn: Xét hàm số g(x) = x 3 - 3x + 2 trên đoạn éêë-3;0ùúû . Ta có g(x) = 0  x = -2 g '(x) = 3x 2 - 3  g '(x) = 0  x = 1 + Ta có bảng biến thiên của g(x) : x g '(x) g(x) -¥ -3 -2 1 + + 0 -1 0 - +¥ 0 4 29 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh -16 2 3 + Từ đó ta có bảng biến thiên của hàm số y = g(x) = x - 3x + 2 x -3 -¥ -2 1 + - g '(x) 16 g(x) -1 0 - +¥ 0 4 0 2 + Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f(x) = 16 khi x = -3 ; min f(x) = 0 khi x = -2  Bài tập áp dụng  Bài tập 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x 3 + 3x 2 + 2 trên đoạn éëê-1;1ùûú .  Bài tập 2 (TN_2012). Tìm m để giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x - m2 + m trên đoạn éêë0;1ùúû x +1 bằng - 2 . 4  Bài tập 3 (TN 03‐04). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2 sin x - sin 3 x trên đoạn 3 é0; p ù . êë úû  Bài tập 4 (TN 08‐2). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = 2x - 1 trên đoạn éëê0;2ùûú . x-3  Bài tập 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = 2 2 + x4 c) y = x + 1 + b) y = 1 , x Î (0; +¥) x x 2 - 3x + 3 , x Î (2; +¥ ) x-2 1 d) y = x + 1 - , x Î (2; +¥) x  Bài tập 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: x +1 , x Î éëê2; 3ùûú x -1 a) y = x 3 - 3x2 + 1, x Î éëê-2; 3ùûú b) y = c) y = 1 + 9 - x 2 , x Î éëê-3; 3ùûú d) y = 3 + x2 - 2x + 5 é 3p ù e) y = 2 sin x + sin 2x, x Î ê0; ú ê 2ú ë û é p pù g) y = 5 cos x - cos 5x, x Î ê- ; ú ê 4 4ú ë û  Bài tập 7. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: a) y = x 2 + 2x + 3 x 2 - 2x + 3 b) y = 2x 2 - x + 1 2x2 + x + 1 c) y = x 2 - 8x + 7 x2 + 1  Bài tập 8. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau: 30 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 a) y = Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh sin x + cos x sin x - cos x + 2 b) y = 2 sin x - cos x sin x - 2 c) y = sin x + cos x cos x - 2  Bài tập 9 (TN_2012). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = x2 + 3 - x ln x trên đoạn é1;2ù êë úû CHUYÊN ĐỀ 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Định nghĩa 1. Đường thẳng y = y0 đgl tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim f(x) = y0 hoặc lim f(x) = y0 x+¥ x-¥ Định nghĩa 2. Đường thẳng x = x 0 đgl tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn: lim f(x) = +¥; lim f(x) = +¥ x  x0 x x+ 0 x  x0 x x+ 0 lim f(x) = +¥; lim f(x) = +¥  Ví dụ 1. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = 2x - 1 x+2  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {-2} 31 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh + Ta có lim y = 2 và lim y = 2 nên y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số x+¥ x-¥ + Ta có lim- y = +¥ và lim+ y = -¥ nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x -2 x -2  Ví dụ 2. Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = x2 + 1 x  Hướng dẫn: + Tập xác định D =  \ {0} 1 1 -x 1 + 2 x 2 = 1 và lim y = lim x = -1 nên đồ thị hàm số có 2 x-¥ x -¥ x x x 1+ + Ta có lim y = lim x +¥ x +¥ tiệm cận ngang là y = 1 x2 + 1 x2 + 1 = +¥ và lim- y = lim= -¥ nên đồ thị hàm số có tiệm x 0 x 0 x x + Ta có lim+ y = lim+ x0 x 0 cận đứng là x = 0 . 2. Đường tiệm cận xiên Định nghĩa 3. Đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) đgl tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu: lim éêf(x) - (ax + b)ùú = 0 hoặc lim éê f(x) - (ax + b)ùú = 0 ë û û x -¥ ë x +¥  Chú ý: Để xác định các hệ số a, b trong phương trình tiệm cận xiên ta có thể áp dụng các công thức sau: é êa = lim f(x) ; b = lim éê f(x) - ax ùú û ê x +¥ x x +¥ ë ê êa = lim f(x) ; b = lim éf(x) - ax ù ê ûú x -¥ x x -¥ ëê ë  Nếu a = 0 ta có tiệm cận ngang.  Ví dụ 3. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x3 x -1 2  Hướng dẫn: + Ta có f(x) x3 = lim =1 x +¥ x x +¥ x x2 - 1 a = lim ( ) 32 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh æ x3 ö x - x÷÷÷ = lim 2 =0 b = lim êëé f(x) - x úûù = lim ççç 2 x +¥ x +¥ ç x - 1 x +¥ x - 1 ÷ è ø + Ta cũng có a = lim x -¥ f(x) = 1; b = lim éêëf(x) - x ùúû = 0 x -¥ x Do đó đồ thị hàm số có 1 tiệm cận xiên là y = x  Ghi nhớ:  Đồ thị y = d a ax + b có tiệm cận đứng x = - , tiệm cận ngang y = c c cx + d q ax 2 + bc + c r = mx + n + có tiệm cận đứng x = - và có tiệm cận xiên p px + q px + q y = mx + n  Đồ thị y =  Đồ thị y = mx + n + ax2 + bx + c (a > 0) có các đường tiệm cận là: y = mx + n - a x + b 2a  Không thể tồn tại cùng một lúc cả tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.  Bài tập 1. Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) y = 2x - 3 x +1 b) y = x2 - 2x + 3 x +2  Hướng dẫn: a) Ta có lim y = lim x ¥ x ¥ Ta có lim- y = limx - 1 x - 1 2x - 3 = 2 nên đồ thị có tiệm cận ngang y = 2 x +1 2x - 3 2x - 3 = +¥ và lim+ y = lim+ = -¥ nên đồ thị có tiệm cận x -1 x -1 x +1 x +1 đứng là x = -1 b) y = x2 - 2x + 3 11 = x-4+ x +2 x +2 11 + Ta có lim éê y - (x + 4 )ùú = lim = 0 nên đồ thị có tiệm cận xiên là y = x + 4 û x ¥ x + 2 x ¥ ë + Ta có lim+ y = -¥ và lim- y = +¥ nên đồ thị có tiệm cận đứng là x = -2 x -2 x -2  Bài tập 2. Tìm các đường tiệm cận của mỗi đồ thị hàm số sau: a) y = x - 7 + 9x2 + 1 b) y = 1 x + x2 + 1 33 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh  Hướng dẫn: a) Tập xác định D =   đồ thị không có tiệm cận đứng Ta có: f(x) x - 7 + 9x 2 + 1 = lim = 4 và lim éêë f(x) - 4x ùúû = -7 nên y = 4x - 7 là một x+¥ x +¥ x x +¥ x tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. + lim f(x) x - 7 + 9x 2 + 1 = lim = -2 và lim éêë f(x) + 2x ùúû = -7 nên y = -2x + 7 là x -¥ x -¥ x x -¥ x một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị có 2 tiệm cận xiên + lim 1 = x - x 2 + 1 : đồ thị không có tiệm cận đứng x + x2 + 1 Tương tự trên ta có: đồ thị có tiệm cận ngang y = 0 và tiệm cận xiên y = -2x b) y =  Nhận xét: Xét đồ thị hàm số y = mx + n + ax 2 + bx + c (a > 0) :  Nếu m = a thì đồ thị có một tiệm cận ngang và một tiệm cận xiên  Nếu m ¹ a thì đồ thị có 2 tiệm cận xiên  Nếu a < 0 thì đồ thị không có tiệm cận  Bài tập 3 (ĐH Y Hà Nội 2001). Cho hàm số y = x 2 + mx - 1 có đồ thị (C m ) . Tìm m sao cho x -1 đường tiệm cận xiên của đồ thị (C m ) cắt các trục tọa độ tại hai điểm A, B sao cho SDOAB = 18 .  Hướng dẫn: x 2 + mx - 1 m  Để có tiệm cận xiên thì m ¹ 0 . Khi đó phương = x +m +1+ x -1 x -1 trình tiệm cận xiên là d : y = x + m + 1 . Để tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ thì + Ta có y = m + 1 ¹ 0  m ¹ -1 ìïd Ç Ox = A (-m - 1; 0) 2 1 1  S DOAB = OAOB = (m + 1) . + Ta có ïí ïïd Ç Oy = B (0; m + 1) 2 2 ïî Theo giả thiết S DOAB = 18  ém = 5 2 1 m + 1) = 18  êê ( 2 êëm = -7  Bài tập 1. Tìm các đường tiệm cận của đồ thị mỗi hàm số sau: a) y = x -2 3x + 2 b) y = x + 2 - 1 x -3 c) y = x 2 - 3x + 4 2x + 1 d) y = x +2 x2 -1 34 Chuyên đề Giải Tích lớp 12 e) y = x x +1 i) y = x2 + x + 1 -5x 2 - 2x + 3 3 Lê Ngọc Sơn_THPT Phan Chu Trinh f) y = 2x - 1 +x -3 x2 g) y = k) y = x 2 - 1 x3 + 2 x 2 - 2x l) y = 2x + x 2 - 1 h) y = x3 + x +1 x2 -1 m) y = x + x 2 + 1 4 . Chứng minh tích x -1 các khoảng cách từ M đến các đường tiệm cận của (C ) là một số không đổi.  Bài tập 2. Cho M là một điểm thay đổi trên đồ thị (C ) : y = 2x + 3 +  Bài tập 3. Tìm m sao cho tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y= 2x 2 + mx - 2 có diện tích bằng 4 . x -1  Bài tập 4. Cho hàm số y = ( ) mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3 x +1 . Tìm m để khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên nhỏ nhất  Bài tập 5. Cho hàm số y = x 2 + (m + 2) x + m2 - 4m + 3 mx + 1 . Tìm m để khoảng cách từ O đến tiệm cận xiên nhỏ nhất  Bài tập 6. Cho hàm số y = ( ) mx 2 + 3m 2 - 2 x - 2 x + 3m có đồ thị (C m ) a) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận bằng 450 b) Tìm m để đồ thị (Cm ) có tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho SDOAB = 4  Bài tập 7. Cho hàm số y = (m - 1) x 2 + (m + 1) x - 2m + 3 x - 2m có đồ thị (Cm ) c) Tìm m để góc giữa hai tiệm cận bằng 450 d) Tìm m để đồ thị (Cm ) có tiệm cận xiên cắt 2 trục tọa độ tại A, B sao cho SDOAB = 4  Bài tập 8. Cho hàm số y = x2 + x + 1 có đồ thị (C) x -1 a) Tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên (C) đến hai tiệm cận không đổi b) Không có tiếp tuyến nào đi qua giao điểm của hai tiệm cận  Bài tập 9. Tìm a để y = -x2 + x + a có tiệm cận xiên đi qua A (2; 0) x+a x 2 + mx + 1 . Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên tạo với hai x -1 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8  Bài tập 10. Cho hàm số y =  Bài tập 11. Lấy bất kì điểm M Î (C) : y = x 2 + 3x - 1 . CMR: Tích các khoảng cách từ M đến 2 x-2 tiệm cận của (C) luôn không đổi 35