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LƯỢNG GIÁC CHÖÔNG III: PHÖÔNG TRÌNH BAÄ C HAI VÔÙ I CAÙ C HAØ M SOÁ LÖÔÏ N G GIAÙ C a sin2 u + b sin u + c = 0 a cos2 u + b cos u + c = 0 atg 2 u + btgu = c = 0 a cot g 2 u + b cot gu + c = 0 ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) ( a ≠ 0) Caù c h giaû i: t = sin u hay t = cos u vôù i t ≤ 1 Ñaët : π + kπ ) 2 t = cot gu (ñieà u kieä n u ≠ kπ ) t = tgu (ñieà u kieä n u ≠ Caù c phöông trình treâ n thaø n h: at 2 + bt + c = 0 Giaû i phöông trình tìm ñöôïc t, so vôù i ñieà u kieä n ñeå nhaä n nghieä m t. Töø ñoù giaû i phöông trình löôï n g giaù c cô baû n tìm ñöôï c u. Baø i 56: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoá i A, naê m 2002) Tìm caù c nghieä m treâ n ( 0, 2π ) cuû a phöông trình cos 3x + sin 3x ⎞ ⎛ 5 ⎜ sin x + ⎟ = 3 + cos 2x ( * ) 1 + 2 sin 2x ⎠ ⎝ 1 Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ − 2 Ta coù : sin 3x + cos 3x = 3sin x − 4 sin 3 x + 4 cos3 x − 3 cos x ( ( = −3 ( cos x − sin x ) + 4 cos3 x − sin3 x ) ) ( ( ) = ( cos x − sin x ) ⎡ −3 + 4 cos2 x + cos x sin x + sin 2 x ⎤ ⎣ ⎦ = ( cos x − sin x )(1 + 2 sin 2x ) ( Luù c ñoù : (*) ⇔ 5 ⎡⎣sin x + ( cos x − sin x ) ⎤⎦ = 3 + 2 cos2 x − 1 1⎞ ⎛ ⎜ do sin 2x ≠ − ⎟ 2⎠ ⎝ ⇔ 2 cos2 x − 5 cos x + 2 = 0 ) ) 1 ⎡ cos x = 2 ⇔⎢ ⎢ ⎢⎣cos x = 2 ( loaïi ) π 3 1 ⇔ x = ± + k2π (nhaä n do sin 2x = ± ≠− ) 2 2 3 π 5π Do x ∈ ( 0, 2π ) neâ n x = ∨ x = 3 3 Baø i 57: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoái A, naê m 2005) Giaû i phöông trình: cos2 3x.cos 2x − cos2 x = 0 ( *) 1 + cos 6x 1 + cos 2x .cos 2x − =0 2 2 ⇔ cos 6x.cos 2x − 1 = 0 (**) Caù c h 1: (**) ⇔ 4 cos3 2x − 3 cos 2x cos 2x − 1 = 0 Ta coù : (*) ⇔ ( ) ⇔ 4 cos4 2x − 3 cos2 2x − 1 = 0 ⎡cos2 2x = 1 ⇔⎢ 2 ⎢cos 2x = − 1 ( voâ nghieäm ) ⎢⎣ 4 ⇔ sin 2x = 0 ⇔ 2x = kπ ⇔ x = kπ ( k ∈ Z) 2 1 ( cos 8x + cos 4x ) − 1 = 0 2 ⇔ cos 8x + cos 4x − 2 = 0 Caù c h 2: (**) ⇔ ⇔ 2 cos2 4x + cos 4x − 3 = 0 ⎡cos 4x = 1 ⇔⎢ ⎢cos 4x = − 3 ( loaïi ) 2 ⎣ kπ ⇔ 4x = k2π ⇔ x = ( k ∈ Z) 2 Caù c h 3: phöông trình löôï n g giaù c khoâ n g maã u möï c : ⎡cos 6x = cos 2x = 1 (**) ⇔ ⎢ ⎣cos 6x = cos 2x = −1 Caù c h 4: cos 8x + cos 4x − 2 = 0 ⇔ cos 8x + cos 4x = 2 ⇔ cos 8x = cos 4x = 1 ⇔ cos 4x = 1 Baø i 58: (Ñeà thi tuyeån sinh Ñaï i hoï c khoái D, naê m 2005) π⎞ π⎞ 3 ⎛ ⎛ Giaû i phöông trình: cos4 x + sin 4 x + cos ⎜ x − ⎟ sin ⎜ 3x − ⎟ − = 0 4⎠ 4⎠ 2 ⎝ ⎝ Ta coù : (*) ⎤ 3 1⎡ π⎞ ⎛ sin ⎜ 4x − ⎟ + sin 2x ⎥ − = 0 ⎢ 2⎣ 2⎠ ⎝ ⎦ 2 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + [ − cos 4x + sin 2x ] − = 0 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ − sin2 2x − 1 − 2 sin2 2x + sin 2x − = 0 2 2 2 2 2 ⇔ sin 2x + sin 2x − 2 = 0 ⎡sin 2x = 1 ⇔⎢ ⎣sin 2x = −2 ( loaïi ) π ⇔ 2x = + k2π, k ∈ 2 π ⇔ x = + kπ, k ∈ 4 ( ⇔ sin2 x + cos2 x ) 2 − 2 sin2 x cos2 x + ( ) Baø i 59: (Ñeà th i tuyeån sinh Ñaï i ho ï c khoá i B, naê m 2004) Giaû i phöông trình: 5 sin x − 2 = 3 (1 − sinx ) tg 2 x Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 ⇔ sin x ≠ ±1 Khi ñoù: (*) ⇔ 5 sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) ⇔ 5sin x − 2 = 3 (1 − sin x ) sin2 x 1 − sin2 x sin2 x cos2 x 3sin2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 1 + sin x 2 ⇔ 2 sin x + 3sin x − 2 = 0 1 ⎡ sin x = ( nhaän do sin x ≠ ±1) ⎢ 2 ⇔ ⎢ ⎢⎣sin x = −2 ( voâ nghieäm ) ⇔x= π 5π + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z) 6 6 Baø i 60: Giaûi phöông trình: 2 sin 3x − 1 1 = 2 cos 3x + ( *) sin x cos x Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ 0 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 ( sin 3x − cos 3x ) = 1 1 + sin x cos x ( *) 1 1 ⇔ 2 ⎡3 ( sin x + cos x ) − 4 sin3 x + cos3 x ⎤ = + ⎣ ⎦ sin x cos x sin x + cos x ⇔ 2 ( sin x + cos x ) ⎡3 − 4 sin2 x − sin x cos x + cos2 x ⎤ = ⎣ ⎦ sin x cos x 1 ⎡ ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢ −2 + 8 sin x cos x − =0 sin x cos x ⎥⎦ ⎣ 2 ⎡ ⎤ ⇔ ( sin x + cos x ) ⎢4 sin 2x − − 2⎥ = 0 sin 2x ⎣ ⎦ ⎡ tgx = −1 ⎡sin x + cos x = 0 ⇔⎢ ⇔⎢ ( nhaän so vôùi ñieàu kieän ) 2 ⎢sin 2x = 1 ∨ sin 2x = −1 ⎣4 sin 2x − 2sin 2x − 2 = 0 2 ⎣ ( ( ) ) π π π 7π + kπ ∨ 2x = + k2π ∨ 2x = − + k2π ∨ 2x = + k2π, k ∈ 4 2 6 6 π π 7π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = − + kπ ∨ x = + kπ, k ∈ 4 12 12 ⇔x=− Baø i 61: Giaûi phöông trình: ( ) cos x 2 sin x + 3 2 − 2 cos2 x − 1 =1 1 + sin 2x π Ñieà u kieä n : sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − + mπ 4 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x cos x + 3 2 cos x − 2 cos2 x − 1 = 1 + sin 2x ⇔ 2 cos2 x − 3 2 cos x + 2 = 0 2 ⇔ cos x = hay cos x = 2 ( voâ nghieäm ) 2 π ⎡ ⎢ x = 4 + k2π ⇔⎢ ⎢ x = − π + k '2π ( loaïi do ñieàu kieän ) ⎢⎣ 4 π ⇔ x = + k2π 4 ( *) Baø i 62: Giaûi phöông trình: x 3x x 3x 1 cos x.cos .cos − sin x sin sin = ( *) 2 2 2 2 2 1 1 1 cos x ( cos 2x + cos x ) + sin x ( cos 2x − cos x ) = 2 2 2 2 ⇔ cos x.cos 2x + cos x + sin x cos 2x − sin x cos x = 1 ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = 1 − cos2 x + sin x cos x Ta coù : (*) ⇔ ⇔ cos 2x ( cos x + sin x ) = sin x ( sin x + cos x ) ⇔ ( cos x + sin x )( cos 2x − sin x ) = 0 ( * * ) ( ) ⇔ ( cos x + sin x ) 1 − 2 sin 2 x − sin x = 0 ⎡ cos x = − sin x ⇔⎢ 2 ⎣ 2 sin x + sin x − 1 = 0 π ⎡ ⎡ ⎢ x = − 4 + kπ ⎢ tgx = −1 ⎢ ⎢ π ⇔ ⎢sin x = −1 ⇔ ⎢ x = − + k2π ( k ∈ Z) ⎢ 2 ⎢ 1 ⎢ ⎢sin x = ⎢ x = π + k2π ∨ x = 5π + k2π 2 ⎣ ⎢⎣ 6 6 ⎛π ⎞ Caù c h khaù c: (**) ⇔ tgx = −1 ∨ cos 2x = sin x = cos ⎜ − x ⎟ ⎝2 ⎠ Baø i 63: Giaûi phöông trình: 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x ( *) Ta coù : (*) ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x − 8 cos x = 0 ⇔ cos x 2 cos2 x + 3 2 sin x − 4 = 0 ( ( ) ) ⇔ cos x ⎡ 2 1 − sin 2 x + 3 2 sin x − 4 ⎤ = 0 ⎣ ⎦ 2 ⇔ cos x = 0 ∨ 2 sin x − 3 2 sin x + 2 = 0 ⎡cos x = 0 ⎢ 2 ⇔ ⎢sin x = ⎢ 2 ⎢ ⎢⎣sin x = 2 ( voâ nghieäm ) π 2 π + kπ ∨ sin x = = sin 4 2 2 π π 3π ⇔ x = + kπ ∨ x = + k2π ∨ x = + k2π ( k ∈ Z ) 2 4 4 ⇔x= Baø i 64 : Giaûi phöông trình: π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ cos ⎜ 2x + ⎟ + cos ⎜ 2x − ⎟ + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) ( *) 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π + 4 sin x = 2 + 2 (1 − sin x ) 4 2 1 − 2 sin2 x + 4 + 2 sin x − 2 − 2 = 0 (*) ⇔ 2 cos 2x.cos ⇔ ( ( ) ( ) ) ⇔ 2 2 sin2 x − 4 + 2 sin x + 2 = 0 ⎡sin x = 2 ( loaïi ) ⇔ 2 sin x − 2 2 + 1 sin x + 2 = 0 ⇔ ⎢⎢ 1 ⎢⎣sin x = 2 π 5π ⇔ x = + k2π hay x = + k2π, k ∈ 6 6 ( 2 ) ( ) Baø i 65 : Giaû i phöông trình : 3 cot g 2 x + 2 2 sin 2 x = 2 + 3 2 cos x ( * ) Ñieà u kieä n : sin x ≠ 0 ⇔ cos x ≠ ±1 Chia hai veá (*) cho sin 2 x ta ñöôï c : cos2 x cos x +2 2 = 2+3 2 vaø sin x ≠ 0 (*) ⇔ 3 4 sin x sin2 x cos x Ñaët t = ta ñöôï c phöông trình: sin 2 x 3t 2 − 2 + 3 2 t + 2 2 = 0 ( ( ) ) ⇔t= 2∨t= 2 3 2 cos x 2 ta coù : = 2 3 sin x 3 ⇔ 3 cos x = 2 1 − cos2 x * Vôù i t = ( ) ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0 ⎡cos x = −2 ( loaïi ) ⇔⎢ ⎢cos x = 1 ( nhaän do cos x ≠ ±1) ⎢⎣ 2 π ⇔ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 cos x * Vôù i t = 2 ta coù : = 2 sin2 x ⇔ cos x = 2 1 − cos2 x ( ⇔ ) 2 cos2 x + cos x − 2 = 0 ⎡cos x = − 2 ( loaïi ) ⎢ ⇔⎢ 2 ( nhaän do cos x ≠ ±1) ⎢cos x = 2 ⎣ π ⇔ x = ± + k2π, k ∈ 4 Baø i 66 : Giaûi phöông trình: 4 sin2 2x + 6 sin 2 x − 9 − 3 cos 2x = 0 ( *) cos x Ñieà u kieä n : cos x ≠ 0 Luù c ñoù : (*) ⇔ 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x = 0 ( ) ⇔ 4 1 − cos2 2x + 3 (1 − cos 2x ) − 9 − 3 cos 2x = 0 ⇔ 4 cos2 2x + 6 cos 2x + 2 = 0 ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = − 1 2 ⇔ 2 cos2 x − 1 = −1 ∨ 2 cos2 x − 1 = − 1 2 ⎡cos x = 0 ( loaïi do ñieàu kieän ) ⇔ ⎢⎢ 1 cos x = ± ( nhaän do cos x ≠ 0) ⎢⎣ 2 2π π ⇔ x = ± + k2π ∨ x = ± + k2π ( k ∈ Z ) 3 3 1 2 sin 3x + sin 5x 3 5 Giaû i phöông trình: f ' ( x ) = 0 Baø i 67: Cho f ( x ) = sin x + Ta coù : f '(x) = 0 ⇔ cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0 ⇔ ( cos x + cos 5x ) + ( cos 3x + cos 5x ) = 0 ⇔ 2 cos 3x cos 2x + 2 cos 4x cos x = 0 ( ) ( ) ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x cos 2x + 2 cos2 2x − 1 cos x = 0 ( ) ⇔ ⎡ 4 cos2 x − 3 cos 2x + 2 cos2 2x − 1⎤ cos x = 0 ⎣ ⎦ ⎡ ⎡ 2 (1 + cos 2x ) − 3⎤ cos 2x + 2 cos2 2x − 1 = 0 ⎦ ⇔ ⎢⎣ ⎢⎣cos x = 0 ⎡4 cos2 2x − cos 2x − 1 = 0 ⇔⎢ ⎣cos x = 0 1 ± 17 ∨ cos x = 0 8 1 + 17 1 − 17 ⇔ cos 2x = = cos α ∨ cos 2x = = cos β ∨ cos x = 0 8 8 α β π ⇔ x = ± + kπ ∨ x = ± + kπ ∨ x = + kπ ( k ∈ Z ) 2 2 2 ⇔ cos 2x = Baø i 68: Giaûi phöông trình: sin8 x + cos8 x = Ta coù : ( sin 8 x + cos8 x = sin4 x + cos4 x ) ( 2 = ⎡⎢ sin 2 x + cos2 x ⎣ ) 17 cos2 2x ( *) 16 − 2 sin 4 x cos4 x 2 2 1 − 2 sin 2 x cos2 x ⎤⎥ − sin4 2x 8 ⎦ 2 1 1 ⎛ ⎞ = ⎜ 1 − sin2 2x ⎟ − sin 4 2x 2 8 ⎝ ⎠ 1 = 1 − sin2 2x + sin4 2x 8 Do ñoù : ( *) ⇔ 16 ⎛⎜ 1 − sin2 2x + ⎝ 1 ⎞ sin4 2x ⎟ = 17 1 − sin2 2x 8 ⎠ ( ) ⇔ 2 sin4 2x + sin2 2x − 1 = 0 ⎡sin2 2x = −1 ( loaïi ) 1 1 ⇔ ⎢⎢ ⇔ (1 − cos 4x ) = 1 2 2 2 ⎢⎣sin 2x = 2 π ⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = ( 2k + 1) , ( k ∈ Z ) 8 Baø i 69 : Giaûi phöông trình: sin 5x x = 5 cos3 x.sin ( *) 2 2 x = 0 ⇔ x = π + k2π ⇔ cos x = −1 2 Thay vaø o (*) ta ñöôï c : ⎛ 5π ⎞ ⎛π ⎞ sin ⎜ + 5kπ ⎟ = − 5. sin ⎜ + kπ ⎟ , khoâ n g thoû a ∀k ⎝ 2 ⎠ ⎝2 ⎠ x Do cos khoâ n g laø nghieä m cuû a (*) neâ n : 2 5x x x x x ( *) ⇔ sin . cos = 5 cos2 x. sin cos vaø cos ≠ 0 2 2 2 2 2 1 5 x ⇔ ( sin 3x + sin 2x ) = cos3 x.sin x vaø cos ≠ 0 2 2 2 Nhaän xeù t thaáy : cos ⇔ 3sin x − 4 sin3 x + 2 sin x cos x = 5 cos3 x.sin x vaø cos x ⎧ ⎪cos ≠ 0 2 ⇔⎨ ⎪3 − 4 sin2 x + 2 cos x = 5 cos3 x ∨ sin x = 0 ⎩ x ≠0 2 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x ⎧ cos ≠0 ⎪⎪ 2 ⎨ ⎪5 cos3 x − 4 cos2 x − 2 cos x + 1 = 0 ∨ sin x = 0 ⎪⎩ 2 ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎨ x 2 ⎪⎩( cos x − 1) 5 cos x + cos x − 1 = 0 ∨ sin 2 = 0 ⎧cos x ≠ −1 ⎪ ⎪⎡ ⎪ ⎢cos x = 1 ⎪⎢ −1 + 21 ⎨⎢ = cos α ⎪ ⎢cos x = 10 ⎪⎢ −1 − 21 ⎪⎢ = cos β ⎪ ⎣⎢cos x = 10 ⎩ x = k2π hay x = ±α + k2π hay x = ±β + k2π, ( k ∈ Z ) ( ) Baø i 70: Giaûi phöông trình: sin 2x ( cot gx + tg2x ) = 4 cos2 x ( *) Ñ ieà u kieä n : cos 2x ≠ 0 vaø sin x ≠ 0 ⇔ cos 2x ≠ 0 ∧ cos 2x ≠ 1 cos x sin 2x + Ta coù : cot gx + tg2x = sin x cos 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x = sin x cos 2x cos x = sin x cos 2x cos x ⎛ ⎞ 2 Luù c ñoù : (*) ⇔ 2 sin x.cos x ⎜ ⎟ = 4 cos x ⎝ sin x cos 2x ⎠ 2 cos x ⇔ = 2 cos2 x cos 2x ⇔ ( cos 2x + 1) = 2 cos 2x ( cos 2x + 1) ⇔ ( cos 2x + 1) = 0 hay 1 = 2 cos 2x 1 ( nhaän do cos 2x ≠ 0 vaø cos 2x ≠ 1) 2 π ⇔ 2x = π + k2π ∨ 2x = ± + k2π, k ∈ 3 π π ⇔ x = + kπ ∨ x = ± + kπ, k ∈ 2 6 ⇔ cos 2x = −1 ∨ cos 2x = Baø i 71 : Giaûi phöông trình: 2 cos2 6x 8x + 1 = 3 cos ( *) 5 5 12x ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ 2 4x Ta coù : (*) ⇔ ⎜ 1 + cos − 1⎟ ⎟ + 1 = 3 ⎜ 2 cos 5 ⎠ 5 ⎝ ⎝ ⎠ 4x 4x 4x ⎞ ⎛ ⇔ 2 + 4 cos3 − 3 cos = 3 ⎜ 2 cos2 − 1⎟ 5 5 5 ⎝ ⎠ 4 Ñaë t t = cos x ( ñieàu kieän t ≤ 1) 5 Ta coù phöông trình : 4t 3 − 3t + 2 = 6t 2 − 3 ⇔ 4t 3 − 6t 2 − 3t + 5 = 0 ⇔ ( t − 1) ( 4t 2 − 2t − 5 ) = 0 ⇔ t = 1∨ t = Vaä y 1 − 21 1 + 21 ∨t = ( loïai ) 4 4 4x 4x =1⇔ = 2kπ 5 5 5kπ ⇔x= ( k ∈ Z) 2 4x 1 − 21 • cos = = cos α ( vôùi 0 < α < 2 π ) 5 4 4x ⇔ = ±α + l 2 π 5 5α l 5π ⇔x=± + ,(l ∈ Z) 4 2 • cos π⎞ ⎛ Baø i 72 : Giaûi phöông trình tg3 ⎜ x − ⎟ = tgx − 1 ( *) 4⎠ ⎝ π π Ñaë t t = x − ⇔ x = + t 4 4 1 + tgt ⎛π ⎞ (*) thaø n h : tg3 t = tg ⎜ + t ⎟ − 1 = − 1 vôùi cos t ≠ 0 ∧ tgt ≠ 1 1 − tgt ⎝4 ⎠ 2tgt ⇔ tg3 t = 1 − tgt ⇔ tg3 t − tg 4 t = 2tgt ⇔ tgt ( tg3 t − tg 2 t + 2 ) = 0 ⇔ tgt ( tgt + 1) ( tg 2 t − 2tgt + 2 ) = 0 ⇔ tgt = 0 ∨ tgt = −1( nhaän so ñieàu kieän ) ⇔ t = kπ ∨ t = − Vaä y (*) π + kπ, k ∈¢ 4