Nội dung

CHƯƠNG 4 PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC 4.1 Ổn định của hệ rời rạc 4 2 Tiêu 4.2 Tiê chuẩn h ẩ Routh R th – Hurwitz H it y 4.3 Tiêu chuẩn Jury 4.4 Quỹ đạo nghiệm số 4.5 Chất ấ lượng hệ rời rạc 4.6 Thiết kế hệ rời rạc dùng quỹ đạo nghiệm số 4.7 Thiết kệ bộ điều khiển PID 4.1 ỔN ĐỊNH CỦA HỆ RỜI RẠC + Hệ thống được gọi là ổn định nếu tín hiệu vào bị chặn thì tín hiệu ra bị chặn (Bounded Input Bounded Output). + Hệ thống điều khiển liên tục ổn định nếu tất cả nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức. + Quan hệ giữa z và s: z = eTs nên s nằm bên trái mặt phẳng phức tương đương với z nằm trong vòng tròn đơn vị. + Hệ điều ề khiển ể rời rạc ổn ổ định nếu ế tất ấ cả nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trong vòng tròn đơn vị: |z| < 1 Cần lưu ý ¾ Hệệ thốngg rời rạc ạ cho bởi sơ đồ khối: cóó phương h trình ì h đặ đặc tính: í h 1 + GH ( z ) = 0 (GH ( z ) = Z {G ( s) H ( s)}) ¾ Hệ thống thố rời ời rạc cho h hệ phương h t ì h trạng trình t thái thái: ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩ c ( k ) = Cd x ( k ) có phương trình đặc tính: det ( zI − Ad ) = 0 4.2 TIÊU CHUẨN ROUTH-HURWITZ + Muốn sử dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz để đánh giá tính ổn định hệ rời rạc ta thực hiện phép đổi biến: z = w + 1 ⇔ w = z + 1 w −1 z −1 + Vớ Với ccách c đổ đổi bbiến ế như ư trên, ê , miền iề nằm ằ ttrong o g vòng vò g tròn t ò đơn đơ vị mặt ặt phẳng z tương ứng với nửa trái mặt phẳng w. + Nếu ế không tồn ồ tại w nằm ằ bên phải mặt phẳng ẳ phức thì không tồn ồ tại z nằm ngoài vòng tròn đơn vị nghĩa là hệ rời rạc ổn định. 4.3 TIÊU CHUẨN JURY + Xét ổn định hệ rời rạc có phương trình đặc tính: a0 z n + a1 z n −1 + K + an −1 z + an = 0 + Cách thành lập ập bảngg Juryy • Hàng 1 là các hệ số của phương trình đặc tính theo thứ tự chỉ số tăngg dần. • Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ tự ngược lại. • Hàng lẻ thứ i = 2k +1 ( k ≥ 1 ) gồm có (n – k) phần tử, phần tử 1 ci − 2,1 ci − 2,n − j − k +3 cij xác định bởi công thức: cij = ci − 2,1 ci −1,1 ci −1,n − j − k +3 Phát biểu tiêu chuẩn Jury Điều kiện cần và đủ để hệ thống ổn định là tất cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương. 4.4 QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ Định nghĩa Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình đặc tính của hệ thốngg khi có một thôngg số nào đó trong g hệ thay đổi từ 0 đến +∞ Quy tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số Muốn áp dụng các qui tắc, ta biến đổi phương trình đặc tính về dạng: N ( z) 1+ K 1+ = 0 ((*)) với K là thông số thay đổi D( z ) N ( z ) và gọi n, m lần lượt là số cực và số zero của G (z) Đặt G0 ( z ) = K 0 D(z ( ) (*) ⇔ G0 ( z ) = −1 :điều kiện biên độ ⎧ G0 ( z ) = 1 ⇔⎨ ⎩∠G0 ( z ) = (2l + 1)π :điều kiện pha 11 quy tắc vẽ 01: số nhánh của quỹ đạo bằng bậc phương trình đặc tính và bằng n. n 02: + Khi K = 0, các nhánh của quỹ đạo xuất phát từ các cực của G0(z). + Khi K tiến đến +∞: m nhánh của quỹ đạo tiến đến m zero của G0(z), n-m nhánh còn lại tiến đến ∞ theo các tiệm cận xác định bởi qui tắc 5 và qui tắc 6. 6 03: quỹ đạo đối xứng qua trục thực. 04: một điểm trên trục thực thuộc quỹ đạo nếu tổng số cực và zero của G0(z) bên phải nó là một số lẻ. lẻ 11 quy tắc vẽ (tt) 05: góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo với trục thực xác định theo α = (2l + 1)π (n − m ) (l = 0,±1,±2,±3,K) 06: giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ xác định theo n m ⎛ ⎞ OA = ⎜⎜ ∑ pi − ∑ z j ⎟⎟ (n − m ) (pi, zj là các cực và zero của G0(z)) j =1 ⎝ i =1 ⎠ 07: điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nằm trên trục thực và là dK =0 nghiệm của phương trình dz 08: giao điểm của quỹ đạo với đường tròn đơn vị xác định bằng 1 trong 2 cách sau • Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz hoặc tiêu chuẩn Jury. • Thay Th z = a+jb jb (với ( ới a2+bb2=1) 1) vào à phương h trình ì h (*), (*) cân â bằng bằ phần hầ thực và phần ảo để tìm giao điểm với vòng tròn đơn vị và Kgh. 11 quy tắc vẽ (tt) 09: góc xuất phát của quỹ đạo tại cực phức pj được xác định bởi θ j = π + ∑ arg( p j − zi ) − m i =1 ∑ arg( p n i =1,i ≠ j j − pi ) Dạng hình học của quy tắc trên là: θj = π + (∑ ggóc từ các zero đến cực ự pj) – (∑ góc từ các cực còn lại đến cực pj) 10: tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 đến +∞ 11: hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo có thể xác định từ điều kiện biên độ N ( z) K =1 D(z ( z) 4.5 CHẤT LƯỢNG HỆ RỜI RẠC 4 5 1 Đáp ứng quá độ 4.5.1 Xác định theo một trong hai cách sau: + Cách 1: tính C(z), sau đó biến ế đổi ổ Z ngược có được c(k). + Cách 2: tính x(k) của hệ phương trình trạng thái và suy ra c(k). Cặp cực quyết định: hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ bậc hai với hai cực là cặp cực quyết định. định Đối với hệ liên tục, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần trục ảo nhất. Do z = eTs , nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết định là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vị nhất. nhất