Nội dung

Chương 4 : ðiều khiển bền vững Chương 4 ðIỀU KHIỂN BỀN VỮNG 4.1 Giới thiệu 4.1.1 Khái niệm ñiều khiển bền vững Hệ thống ñiều khiển bền vững làm cho chất lượng của sản phẩm luôn ổn ñịnh, không phụ thuộc vào sự thay ñổi của ñối tượng cũng như của nhiễu tác ñộng lên hệ thống. Mục ñích của ñiều khiển bền vững là thiết kế các bộ ñiều khiển K duy trì ổn ñịnh bền vững không chỉ với mô hình danh ñịnh của ñối tượng (P0) mà còn thỏa với một tập mô hình có sai số ∆ so với mô hình chuẩn ( P∆ ). P0 :Mô hình chuẩn (mô hình danh ñịnh) P∆ :Mô hình thực tế với sai lệch ∆ so với mô hình chuẩn Hình 4.1 : Mô hình ñiều khiển bền vững Cho tập mô hình có sai số P∆ và một tập các chỉ tiêu chất lượng, giả sử P0 ∈ P∆ là mô hình danh ñịnh dùng ñể thiết kế bộ ñiều khiển K.Hệ thống hồi tiếp vòng kín ñược gọi là có tính : - Ổn ñịnh danh ñịnh: nếu K ổn ñịnh nội với mô hình danh ñịnh P0 - Ổn ñịnh bền vững: nếu K ổn ñịnh nội với mọi mô hình thuộc P∆ - Chất lượng danh ñịnh: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mô hình danh ñịnh P0 Trang 411 Chương 4 : ðiều khiển bền vững - Chất lượng bền vững: nếu các mục tiêu chất lượng ñược thỏa ñối với mọi mô hình thuộc P∆ Mục tiêu bài toán ổn ñịnh bền vững là tìm bộ ñiều khiển không chỉ ổn ñịnh mô hình danh ñịnh P0 mà còn ổn ñịnh một tập các mô hình có sai số P∆ 4.1.2 Chuẩn của tín hiệu 4.1.2.1 Khái niệm chuẩn Trong ñiều khiển nói riêng cũng như trong các công việc có liên quan ñến tín hiệu nói chung,thông thường ta không làm việc chỉ riêng với một tín hiệu hoặc một vài tín hiệu ñiển hình mà ngược lại phải làm việc với một tập gồm rất nhiều các tín hiệu khác nhau. Khi phải làm việc với nhiều tín hiệu khác nhau như vậy chắc chắn ta sẽ gặp bài toán so sánh các tín hiệu ñể chọn lọc ra ñược những tín hiệu phù hợp cho công việc. Các khái niệm như tín hiệu x1(t) tốt hơn tín hiệu x2(t) chỉ thực sự có nghĩa nếu như chúng cùng ñược chiếu theo một tiêu chuẩn so sánh nào ñó. Cũng như vậy nếu ta khẳng ñịnh rằng x1(t) lớn hơn x2(t) thì phải chỉ rõ phép so sánh lớn hơn ñó ñược hiểu theo nghĩa nào, x1(t) có giá trị cực ñại lớn hơn , có năng lượng lớn hơn hay x1(t) chứa nhiều thông tin hơn x2(t)…..Nói một cách khác ,trước khi so sánh x1(t) với x2(t) chúng ta phải gắn cho mỗi một tín hiệu một giá trị ñánh giá tín hiệu theo tiêu chuẩn so sánh ñược lựa chọn . ðịnh nghĩa: Cho một tín hiệu x(t) và một ánh xạ x(t) →||x(t)|| ∈ R+ chuyển x(t) thành một số thực dương ||x(t)||.Số thực dương này sẽ ñược gọi là chuẩn của x(t) nếu nó thỏa mãn: a. ||x(t)|| ≥ 0 và ||x(t)|| = 0 khi và chỉ khi x(t) =0 (4.1) b. ||x(t)+y(t)|| ≤ ||x(t)|| + ||y(t)|| ∀ x(t), y(t) (4.2) c. ||ax(t)|| = |a|.||x(t)|| ∀ x(t) và ∀a ∈ R . (4.3) 4.1.2.2 Một số chuẩn thường dùng trong ñiều khiển cho một tín hiệu x(t): ∞ - Chuẩn bậc 1: || x(t ) ||1 = ∫ | x(t ) |dt (4.4) −∞ ∞ - Chuẩn bậc 2: || x(t ) || 2 = ∫ | x(t ) | 2 dt . (4.5) −∞ Trang 412 Chương 4 : ðiều khiển bền vững Bình phương chuẩn bậc hai chính là giá trị ño năng lượng của tín hiệu x(t). ∞ -Chuẩn bậc p: || x(t ) || p = ∫ | x(t ) | p p dt với p ∈ N (4.6) −∞ - Chuẩn vô cùng: || x(t ) || ∞ = sup | x(t ) | (4.7) t ñây là biên ñộ hay ñỉnh của tín hiệu Khái niệm chuẩn trong ñịnh nghĩa trên không bị giới hạn là chỉ cho một tín hiệu x(t) mà còn ñược áp dụng ñược cho cả vector tín hiệu gồm nhiều phần tử và mỗi phần tử lại là một tín hiệu. Xét một vector tín hiệu:  x1 (t )    x(t) = M   x (t )   n  - Chuẩn 1 của vector x: n x 1 = ∑ xi (4.8) i =1 - Chuẩn 2 của vector x: n x 2 = ∑x 2 i (4.9) i =1 - Chuẩn vô cùng của vector x: x ∞ = max xi (4.10) i =1, 2 ,...,n 4.1.2.3 Quan hệ của chuẩn với ảnh Fourier và ảnh Laplace: ðể phục vụ mục ñích sử dụng khái niệm chuẩn vào ñiều khiển ,ta cần quan tâm tới mối liên quan giữa chuẩn tín hiệu x(t) là ||x(t)|| với ảnh Fourier X(j ω ) cũng như ảnh Laplace X(s) của nó. Trang 413 Chương 4 : ðiều khiển bền vững ðịnh lí 4.1: (Parseval) Chuẩn bậc hai của một tín hiệu x(t) và ảnh Fourier X(j ω ) của nó có quan hệ : ∞ || x(t ) || 22 = ∫ | x(t ) |2 dt = −∞ 1 2π ∞ ∫ | X ( jω ) | 2 dω (4.11) −∞ Cho tín hiệu nhân quả causal x(t). Gọi X(s) là ảnh Laplace của nó .Giả sử rằng X(s) có dạng thực -hữu tỷ với bậc của ña thức tử số không lớn hơn bậc ña thức mẫu số ,tức là: X (s) = B( s ) b0 + b1 s + ..... + bm s m = A( s ) a0 + a1 s + ..... + an s n với m < n (4.12) ðịnh lí 4.2: Xét tín hiệu nhân quả causal x(t) có X(s) dạng (4.12) .ðể chuẩn bậc 1 của x(t) là một số hữu hạn ||x(t)||1= K < ∞ thì ñiều kiện cần và ñủ là tất cả các ñiểm cực của X(s) phải nằm bên trái trục ảo (có phần thực âm) . 4.1.3 ðại số ma trận 4.1.3.1 Một số ma trận thường gặp: - Một ma trận A=(aij) có số hàng bằng số cột ñược gọi là ma trận vuông. ðường chéo nối các phần tử aii trong ma trận vuông ñược gọi là ñường chéo chính .ðường chéo còn lại ñược gọi là ñường chéo phụ.  a11 a 21 A=   M  an1 a12 L a1n  a22 L a2 n  M M M   a n 2 L ann  (4.13) - Một ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i ≠ j ,tức là các phần tử không nằm trên ñường chéo chính ñều bằng 0, ñược gọi là ma trận ñường chéo. Ma trận ñường chéo ñược ký hiệu bởi: a11 0 A=   M  0 0 L 0 a 22 L 0  = diag(aij) M M M   0 L ann  (4.14) Trang 414 Chương 4 : ðiều khiển bền vững 1 0 - Ma trận ñường chéo I = diag(1) =  M  0 0 L 0 1 L 0 gọi là ma trận ñơn vị. M M M  0 L 1 - Ma trận vuông A=(aij) có aij = 0 khi i > j (hoặc i < j) ñược gọi là ma trận tam giác + Ma trận tam giác dưới  a11 a A=  21  M  an1 0 L 0 a 22 L 0  M M M   an 2 L a nn  (4.15) + Ma trận tam giác trên a11 0 A=   M  0 a12 L a1n  a 22 L a2 n  M M M   0 L ann  (4.16) 4.1.3.2 Các phép tính về ma trận: - Phép cộng / trừ: Cho hai ma trận A=(aij) và B=(bij) cùng có m hàng và n cột .Tổng hay hiệu A ± B = C =(cij) của chúng ñược ñịnh nghĩa là một ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử cij = aij + bij i=1,2,…..,m và j=1,2,…..,n. - Phép nhân với số thực: Cho ma trận A=(aij) có m hàng và n cột và một số vô hướng thực(phức) x tùy ý .Tích B = xA = Ax = (bij) ñược hiểu là ma trận cũng có m hàng và n cột với các phần tử Bij = x.aij i=1,2,….m và j=1,2,…..,n - Phép chuyển vị: Ma trận chuyển vị của ma trận A=(aij) với m hàng và n cột là ma trận AT = (aji) có n hàng và m cột ñược tạo từ ma trận A qua việc hoán chuyển hàng thành cột và ngược lại cột thành hàng. - Phép nhân ma trận: Cho ma trận A=(aik) có m hàng và p cột và ma trận B=(bkj) có p hàng và n cột ,tức là : Trang 415 Chương 4 : ðiều khiển bền vững + A=(aik) i=1,2,....,m và k=1,2,….,p + B=(bkj) k=1,2,….,p và j=1,2,…..,n Tích AB = C =(cij) của chúng là một ma trận có m hàng và n cột với các phần tử p Cij = ∑a ik bkj k =1 Một ma trận vuông A ∈ R n×n ñược gọi là ma trận trực giao nếu ATA=AAT=I 4.1.3.3 Hạng của ma trận: Cho n vector vi i=1,2,…,n Chúng sẽ ñược gọi là ñộc lập tuyến tính nếu ñẳng thức a1v1+a2v2+…….+anvn=0 trong ñó ai là những số thực (hoặc phức) sẽ ñúng khi và chỉ khi a1 = a2 = …..=an = 0 Xét một ma trận A=(aij) bất kì có m hàng và n cột .Nếu trong số m vector hàng có nhiều nhất p ≤ m vector ñộc lập tuyến tính và trong số n vector cột có nhiều nhất q ≤ n vector ñộc lập tuyến tính thì hạng ma trận ñươc hiểu là: Rank(A) = min{p,q} Một ma trận vuông A kiểu (n × n) sẽ ñược gọi là không suy biến nếu Rank(A)=n .Ngược lại nếu Rank(A) det(A) ≠ 0 và det(A-1) ≠ 0. (4.22) Vậy A phải là ma trận không suy biến. Ma trận nghịch ñảo A-1 của A có tính chất sau: - Ma trận nghịch ñảo A-1 của A là duy nhất (4.23) - Tập hợp tất cả các ma trận vuông cùng kiểu và không suy biến cùng với phép nhân ma trận tạo thành một nhóm (không giao hoán). (4.24) a b  1  d − b - Nghịch ñảo ma trận kiểu (2 × 2): A −1 =  =  (4.25)    c d  det( A) − c a  - (AB)-1 = B-1A-1 (4.26) - (A-1)T = (AT)-1 (4.27) 1 - Nếu A = diag(ai) và không suy biến thì A-1 = diag    ai  (4.28) - A-1 = Aadj (4.29) det( A) trong ñó Aadj là ma trận có các phần tử a i j = (-1)i+jdet(Aij) với Aij là ma trận thu ñược từ A bằng cách bỏ ñi hàng thứ j và như cột thứ i. - Cho ma trận A ∈ Rn × n không suy biến . Nếu U ∈ Rn × m và V ∈ Rn × m là hai ma trận làm cho (I+VTA-1U) cũng không suy biến thì (A+UVT)-1 = A-1 – A-1U(I+VTA-1U)-1VTA-1  A1 - Cho ma trận vuông A =   A3 cũng là các ma trận. (4.30) A2  không suy biến,trong ñó A1,A2,A3,A4 A4  Nếu A1 không suy biến và B = A4 – A3A1-1A2 cũng không suy biến thì A A = 1  A3 −1 −1  A1 −1 + A −11 A2 B −1 A3 A1 −1 A2  = −1 A4  − B −1 A3 A1  − A1 A2 B −1   (4.31) B −1  −1 Trang 417 Chương 4 : ðiều khiển bền vững Nếu A4 không suy biến và C = A1 – A2A4-1A3 cũng không suy biến thì A A = 1  A3 −1 −1  A2  C −1 = −1 −1 A4  − A4 A3 AC −1  − C −1 A2 A4 (4.32) −1 −1 −1  A4 + A4 A3 C −1 A2 A3  4.1.3.5 Vết của ma trận: Cho ma trận vuông A=(aij) ,i,j=1,2,……,n kiểu (nxn).Vết của A ñược hiểu là tổng giá trị các phần tử trên ñường chéo chính của A và ñược ký hiệu bằng trace(A): m trace= ∑ aii (4.33) i =1 Vết của ma trận có các tính chất: a. trace(AB) = trace(BA) (4.34) -1 b. trace(S AS) = trace(A) với S là ma trận không suy biến bất kì (4.35) 4.1.3.6 Giá trị riêng và vector riêng: Số thực λ ñược gọi là giá trị riêng và vector x ñược gọi là vector riêng bên phải ứng với giá trị riêng λ của A thỏa mãn: ⇔ Ax = λ x ∀ x (4.36) (A - λ I)x = 0 ∀ x (4.37) Giá trị riêng và vector riêng của ma trận A có những tính chất sau: a. Hai ma trận tương ñương A và S-1AS luôn cùng giá trị riêng, nói cách khác giá trị riêng của ma trận bất biến với phép biến ñổi tương ñương: det(A- λ I)=det(S-1AS- λ I) (4.38) b. Các giá trị riêng của ma trận bất biến với phép chuyển vị, tức là: det(A- λ I)=det(AT- λ I) (4.39) c. Nếu A không suy biến thì AB và BA có cùng các giá trị riêng ,tức là: det(AB- λ I)=det(BA- λ I) (4.40) T d. Nếu A là ma trận ñối xứng (A =A) thì các vector riêng ứng với những giá trị riêng khác nhau sẽ trực giao với nhau Trong Matlab ,sử dụng hàm eig(A) ñể tìm ma trận riêng và vector riêng. Trang 418 Chương 4 : ðiều khiển bền vững 4.1.3.7 Tính toán ma trận: Cho ma trận X = (xij) ∈ Cm × n là một ma trận thực (hoặc phức) và F(X) ∈ C là một vô hướng thực hoặc phức của X .ðạo hàm của F(X) ñối với X ñược ñịnh nghĩa  ∂  ∂ F(X )=  F ( X ) ∂X  ∂xij  (4.41) Cho A và B là những ma trận phức với không gian tương thích .Một số công thức ñạo hàm : ∂ ∂X ∂ ∂X ∂ ∂X ∂ ∂X ∂ ∂X Trace ( AXB ) Trace ( X k = ) Trace ( XBX T = (4.42) AT B T k(X ) = 2 XB k −1 T ) (B = BT ) (4.43) (4.44) ( X T AX ) = AX + A T X (4.45) Trace ( AX T B ) = BA (4.46) 4.1.3.8 Chuẩn của ma trận: Người ta cần ñến chuẩn của ma trận là nhằm phục vụ việc khảo sát tính giải tích của nó.Có nhiều chuẩn khác nhau cho một ma trận A=(aij) ,i=1,2,…,m;j=1,2,…,n. Những chuẩn thông thường ñược sử dụng: - Chuẩn 1 của ma trận A m A 1 = max ∑ aij 1≤ j ≤ n (4.47) i =1 - Chuẩn 2 của ma trận A A 2 = max λi ( A* A) 1≤i ≤ n (4.48) - Chuẩn vô cùng của ma trận A Trang 419 Chương 4 : ðiều khiển bền vững n A ∞ = max ∑ aij 1≤i ≤ m (4.49) j =1 - Chuẩn Euclide của ma trận A (chuẩn Frobenius) A F = ∑∑ a i 2 ij = trace( AT A) (4.50) j với A* là ma trận chuyển vị và lấy liên hiệp. λi ( A* A) là trị riêng của ma trận A* A là một số thực không âm. 4.1.4 Trị suy biến của ma trận – ñộ lợi chính(Principal gain) Trị suy biến của ma trận A(m x l) ñược ký hiệu là σ i (A) ñược ñịnh nghĩa như sau: σ i ( A) = λi ( A* A) i = 1,2,...k (4.51) với k = min{m, l} . Nếu chúng ta biểu diễn ma trận A dưới dạng A(s) và ñặt s = jω (0 ≤ ω < ∞) , thì trị suy biến của A( jω ) là một hàm của ω và ñược gọi là ñộ lợi chính của A(s). Ở ñây chúng ta giả sử rằng σ i ñược sắp xếp theo thứ tự sao cho σ i ≥ σ i +1 . Như vậy, σ 1 là trị suy biến lớn nhất và σ k là trị suy biến nhỏ nhất. Ký hiệu σ là trị suy biến lớn nhất và σ là trị suy biến nhỏ nhất. Ta có: σ ( A) = max σ i ( A) = max λi ( A* A) (4.52) = A2 với A 2 = sup Ax x 2 . 2 ðộ lợi của hệ ña biến nằm giữa ñộ lợi chính lớn nhất và nhỏ nhất. Trong Matlab tìm trị suy biến của ma trận A dùng lệnh svd(A) Ví dụ: Cho ma trận A: Trang 420