Nội dung

Chương 1. Cơ cở của cơ học lượng tử rút gọn Lâm Ngọc Thiềm Lê Kim Long Giáo trình nhập môn hóa lượng tử. NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2004. Tr 5-39. Từ khoá: Cơ học lượng tử, lượng tử, lượng tử rút gọn. n .v Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân. Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục h 4 2 c o vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả. Mục lục h i u V Chương 1 Cơ sở của cơ học lượng tử rút gọn...................................................................2 1.1 Lí thuyết tóm lược ....................................................................................................2 1.1.1 Định nghĩa toán tử.................................................................................................2 1.1.2 Toán tử tuyến tính .................................................................................................2 1.1.3 Phương trình hàm riêng và trị riêng ......................................................................2 1.1.4 Hệ hàm trực chuẩn ................................................................................................3 1.1.5 1.1.6 1.1.7 1.1.8 Hệ hàm đầy đủ ......................................................................................................3 Toán tử Hermite ....................................................................................................3 Hệ tiên đề ..............................................................................................................4 Điều kiện để hai đại lượng vật lí có giá trị đồng thời xác định ở cùng một trạng thái ...............................................................................................................5 1.1.9 Một số biểu thức cần ghi nhớ................................................................................6 1.2 Bài tập áp dụng.........................................................................................................7 1.3 Bài tập chưa có lời giải..........................................................................................40 2 Chương 1 Cơ sở của cơ học lượng tử rút gọn 1.1 Lí thuyết tóm lược Lí thuyết cơ học lượng tử (CHLT) xuất hiện vào nửa đầu của thế kỉ XX đã làm thay đổi cơ bản quan niệm về thế giới vi mô và có tác động không nhỏ đến nhiều ngành khoa học kĩ thuật hiện đại, trong đó có hoá học. CHLT được xây dựng bằng một hệ các tiên đề dựa trên một loạt các công cụ toán, trong số đó toán tử giữ một vị trí quan trọng. n .v 1.1.1 Định nghĩa toán tử h 4 2 c o Một phép tính nào đó cần thực hiện lên một hàm này để cho một hàm khác được gọi là toán tử. Gọi  là toán tử tác dụng lên hàm f(x) cho hàm g(x) ta viết: Âf(x) = g(x) Trong số các thuộc tính của toán tử thì tích của hai toán tử là quan trọng nhất: ˆ ˆ ] = 0, tức là  B̂ = B̂  ;  và B̂ giao hoán với nhau. [ A,B h i u V ˆ ˆ ] ≠ 0, tức là  B̂ ≠ B̂  ;  và B̂ không giao hoán với nhau. [ A,B 1.1.2 Toán tử tuyến tính Toán tử  là tuyến tính nếu chúng thoả mãn các điều kiện:  (cf) = c  f  (f1 + f2) =  f1 +  f2  (c1f1 + c2 f2) = c1  f1 + c2  f2 hoặc 1.1.3 Phương trình hàm riêng và trị riêng Phương trình dạng:  f = af gọi là phương trình hàm riêng, trị riêng. ở đây: f là hàm riêng của toán tử  . a là trị riêng. – Nếu ứng với mỗi trị riêng ta có một hàm riêng xác định thì phổ trị riêng thu được không bị suy biến.  1f1 = a1 f1 3  2f2 = a2 f2 ......  nfn = anfn – Nếu tồn tại một dãy các hàm riêng khác nhau cùng ứng với một trị riêng a thì ta nói phổ trị riêng thu được bị suy biến.  f1 = af1  f2 = af2 ......  fn = afn 1.1.4 Hệ hàm trực chuẩn Hệ hàm trực giao và chuẩn hoá kết hợp với nhau và được biểu diễn dưới dạng hệ hàm trực chuẩn: fi fj = ∫ fi*fjdτ = δij δij = (đenta Kronecker) 0 khi i ≠ j hÖ trùc giao 1 khi i = j hÖ chuÈn ho¸ n .v h 4 2 c o 1.1.5 Hệ hàm đầy đủ Hệ hàm f1(x), f2(x) ... fn(n) được gọi là hệ hàm đầy đủ nếu một hàm bất kì ψ(x) có thể khai triển thành chuỗi tuyến tính của các hàm trên, nghĩa là: h i u V ψ(x) = c1f1(x) + c2f2(x) + ... + cnfn(n) = ci - hệ số khai triển; fi - hệ hàm cơ sở. n ∑cifi (x) i=1 1.1.6 Toán tử Hermite Toán tử  được gọi là toán tử Hermite hay toán tử liên hợp nếu chúng thoả mãn điều kiện: ˆ = Ag ˆ f g Af hay ˆ τ= A*g*fd τ ∫g*Afd ∫ˆ Toán tử tuyến tính Hermite có 2 thuộc tính quan trọng là: – Tất cả các trị riêng của toán tử Hermite đều là những số thực. – Những hàm riêng của toán tử Hermite tương ứng với những trị riêng khác nhau lập thành một hệ hàm trực giao fi fj = ∫ fi*fjdτ = 0 4 1.1.7 Hệ tiên đề – Tiên đề 1. Hàm sóng Mỗi trạng thái của một hệ lượng tử đều được đặc trưng đầy đủ bằng một hàm xác định ψ(q,t), nói chung là hàm phức. Hàm ψ(q,t) gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái của hệ. Từ hàm ψ(q,t) ta nhận thấy: • Hàm sóng nói chung là hàm phức, đơn trị, hữu hạn, liên tục, khả vi • Mọi thông tin cần thiết về hệ đều suy ra từ hàm này. • ⏐ψ(q,t)2⏐ = ⏐ψ ψ* ⏐ chỉ mật độ xác suất của hệ vi hạt tại toạ độ q và thời điểm t. Vậy xác suất tìm thấy hạt là: dω = ⏐ψ(q,t)⏐2 dτ ; dτ = dv = dxdydz • Điều kiện chuẩn hoá của hàm ψ(q,t): ∫ 2 ψ dτ = 1 n .v ∞ • Hàm sóng ψ(q,t) thoả mãn nguyên lí chồng chất trạng thái, hay hàm này lập thành một tổ hợp tuyến tính: h 4 2 c o ψ = c1f1 + c2f2 + c3f3 + ... + cnfn = n ∑cifi i=1 – Tiên đề 2. Toán tử Trong cơ học lượng tử, ứng với mỗi đại lượng vật lí là một toán tử tuyến tính Hermite. h i u Liệt kê một số toán tử quan trọng thường hay sử dụng Đại lượng Toạ độ x, y, z V x̂ Toán tử tương ứng = x; ŷ = y; ẑ = z p̂x = – i = ∂ ∂ ∂ ; p̂y = – i = ; p̂z = – i = ∂y ∂x ∂z py, pz ⎛∂ ∂ ∂ ⎞⎟ + + ⎟ = – i =∇ p̂ = – i = ⎜⎜ ⎜⎝ ∂ x ∂ y ∂ z ⎠⎟ p = px+ py+ pz p̂ 2 = – = 2∇2 Động lượng thành phần px, 2 ∇ = ∂2 ∂x2 + ∂2 ∂y2 + ∂2 ∂z2 M̂x = – i = (y p̂z – z p̂y ) Momen động lượng thành phần Mx, My, Mz Momen động lượng M M̂y = – i = (z p̂x – x p̂z ) M̂z = – i = (x p̂y – y p̂x ) M̂2 = M̂2x + M̂2y + M̂2z Thế năng U(x, y, z) Û = U Toán tử Laplace 5 Động năng T = p2 2m Năng lượng E = T + U T̂ = – =2 2 ∇ 2m Ĥ = – =2 2 ∇ +U 2m Toán tử spin thành phần và spin bình phương: Ŝx = = 2 ⎛0 ⎜⎜ ⎜⎝1 1⎞⎟ = ⎟⎟ ; Ŝy = ⎟ 0⎠ 2 Ŝ2 = Ŝ2x + Ŝ2y + Ŝ2z = ⎛0 ⎜⎜ ⎜⎝i 3=2 4 − i⎞⎟ = ⎟⎟ ; Ŝz = ⎟ 0 ⎠ 2 ⎛1 ⎜⎜ ⎜⎝0 ⎛1 ⎜⎜ ⎜⎝0 0 ⎞⎟ ⎟ −1⎠⎟⎟ 0⎞⎟ ⎟ 1 ⎠⎟⎟ – Tiên đề 3. Phương trình Schrửdinger Trong cơ học lượng tử, sự biến đổi trạng thái của hệ vi mô theo toạ độ được xác định bởi phương trình: Ĥ ψ(q) = Eψ(q) ψ(q)- hàm sóng chỉ phụ thuộc toạ độ gọi là hàm sóng ở trạng thái dừng. n .v Phương trình Schrửdinger là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất nên các nghiệm độc lập f1, f2,... cũng lập thành một nghiệm chung dưới dạng tổ hợp tuyến tính: h 4 2 c o ψ = c1f1 + c2f2 + ... + cnfn Nếu ψ đã chuẩn hoá thì: ⏐c1⏐2 + ⏐c2⏐2 + ... + ⏐cn⏐2 = h i u V – Tiên đề 4. Trị riêng và trị trung bình n ∑ ⏐ci⏐2 = 1 i=1 Những giá trị đo lường một đại lượng vật lí A chỉ có thể là phổ các trị riêng an của toán tử tuyến tính Hermite  tương ứng theo phương trình trị riêng ở thời điểm t.  ψn = anψn Nếu hàm ψn không trùng với bất kỳ hàm riêng nào thì đại lượng vật lí A vẫn có thể nhận một trong những giá trị a1, a2, a3, … , an. Trong trường hợp này, đại lượng A không xác định, nó chỉ có thể xác định bằng trị trung bình a theo hệ thức: a = a = ψn Âψn ψn ψn ∫ ψn Âψndτ * ∫ ψnψndτ * = 1.1.8 Điều kiện để hai đại lượng vật lí có giá trị đồng thời xác định ở cùng một trạng thái Điều kiện cần và đủ để hai đại lượng vật lí có giá trị xác định đồng thời ở cùng một trạng thái là những toán tử của chúng phải giao hoán. Nguyên lí bất định Heisenberg là một ví dụ về động lượng liên hợp chính tắc với toạ độ không đồng thời xác định. 6 x̂ p̂x – p̂x x̂ = i = ŷ p̂y – p̂y ŷ = i = ẑ p̂z – p̂z ẑ = i = Một số hệ thức giao hoán thường gặp: [ M̂x , M̂y ] = i = M̂z [ M̂y , M̂z ] = i = M̂x [ M̂z , M̂x ] = i = M̂y [ M̂2 , M̂x ] = [ M̂2 , M̂y ] = [ M̂2 , M̂z ] = 0 [ Ŝx , Ŝy ] = i = Ŝz [ Ŝy , Ŝz ] = i = Ŝx [ Ŝz , Ŝx ] = i = Ŝy n .v [ Ŝ2 , Ŝx ] = [ Ŝ2 , Ŝy ] = [ Ŝ2 , Ŝz ] = 0 Một số biểu thức giao hoán tử hay sử dụng: h 4 2 c o [  , B̂ ] =  B̂ – B̂  = 0 [  , B̂ + Ĉ ] = [  , B̂ ] + [  , Ĉ ] [  + B̂ , Ĉ ] = [  , Ĉ ] + [ B̂ , Ĉ ] [  , B̂ Ĉ ] = [  , B̂ ] Ĉ + B̂ [  , Ĉ ] h i u V [  B̂ , Ĉ ] =  [ B̂ , Ĉ ] + [  , Ĉ ] B̂ 1.1.9 Một số biểu thức cần ghi nhớ • Định luật Planck về sự lượng tử hoá năng lượng dòng photon. En = nhν; với n = 1, 2, 3... • Hiệu ứng quang điện: hν = hνo + trong đó: 1 mv2 2 ν - tần số ánh sáng tới; νo - tần số ngưỡng quang điện. • Hiệu ứng Compton: Δλ = λ – λo = trong đó: h h θ (1 – cosθ) = 2 sin2 , mc mc 2 λo - bước sóng tới ban đầu; λ - bước sóng khuếch tán; Δλ - độ tăng bước sóng λ của photon khuếch tán. 7 • Hệ thức de Broglie với lưỡng tính sóng - hạt của photon: λ= h mc Khi mở rộng cho bất kì hệ vi hạt nào: λ= h h = p mv • Nếu electron chuyển động trong một điện trường với hiệu điện thế là U von thì: h λ= với: (2mqU)1 / 2 m - khối lượng hạt; q - điện tích hạt; h = 6,62.10–34 J.s là hằng số Planck. • Hệ thức bất định Heisenberg: ΔxΔpx ≥ = ΔxΔvx ≥ hay: với: = = h = 1,05.10–34 J.s là hằng số Planck rút gọn; 2π n .v = m h 4 2 c o Δx - độ bất định về toạ độ theo phương x; Δpx - độ bất định về động lượng theo phương x; Δvx - độ bất định về vận tốc theo phương x. • Sự áp dụng CHLT vào một số hệ lượng tử cụ thể sẽ được đề cập ở các chương tiếp theo. 1.2 h i u V Bài tập áp dụng 1. Thực hiện các phép tính sau đây: a) Aˆ (2x) , ˆ = A b) Aˆ (x2 ) , ˆ = A c) d2 dx2 d2 dx ( ) 2 + 2 d +3 dx ˆ = d A dy ˆ xy3 , A d) Aˆ (eikx ) , ˆ = − i= d A dx Trả lời a)  (2x) = d2 dx 2 (2x) = d (2) = 0 dx 8 b) ( )  x2 = d2 dx 2 x2 + 2 d 2 x + 3x2 dx = 2 + 4x + 3x2 c)  (xy3 ) = ( ) d xy3 = 3xy2 dy d)  (eikx ) = −i= 2. ( ) d ikx e = −i2k=eikx = k=eikx dx Hỏi các toán tử cho dưới đây có phải là toán tử tuyến tính hay không? a) Âf (x) = f (x) mà f (x ) = c1f1 (x) + c2f2 ( x) b) Âf (x ) = x2 .f (x ) mà f (x ) = c1f1 ( x) + c2f2 ( x) c) Âf (x) = ⎡⎣ f (x)⎤⎦ 2 mà f (x ) = c1f1 (x) + c2f2 ( x) Trả lời a) Âf (x) = ( c1f1 (x) + c2 f2 (x)) ≠ c1f1 (x) + c2 f2 (x) n .v ⇒  không phải là toán tử tuyến tính. h 4 2 c o b) Âf (x) = x2 (c1f1 ( x) + c2f2 (x)) = x2c1f1 (x) + x2c2f2 ( x) = x2 (c1f1 (x) + c2f2 (x)) ⇒  là toán tử tuyến tính. 2 c) Âf (x) = (c1f1 (x) + c2 f2 (x)) ( h i u V ) = c12f12 (x ) + c22 f22 ( x) + 2c1c2 f1 ( x) f2 ( x) ≠ c1f12 ( x ) + c2 f22 ( x) ⇒  là không phải là toán tử tuyến tính. Chứng minh rằng eαx là hàm riêng của toán tử 3. dn dxn . Trị riêng trong trường hợp này là bao nhiêu? Trả lời Ta thực hiện phép đạo hàm d n dxn dn dx n đối với hàm eαx sẽ có kết quả sau: e αx = α n e αx Vậy eαx là hàm riêng của toán tử 4. dn dx n và trị riêng là αn . Cho f (x ) = eikx là hàm riêng của toán tử p̂x . Hãy tìm trị riêng bằng bao nhiêu? 9 Trả lời Thực hiện phép p̂x f (x) ta có: −i= ( ) d ikx e = −i2k=eikx = k=eikx dx Trị riêng là k= . 5. Cho toán tử  = d , B̂ = x2 và f(x). Hãy chứng minh: dx ˆ ( x)⎤ 2 a) Aˆ 2 f (x ) ≠ ⎡⎢ Af ⎥ ⎣ ⎦ ˆ ˆ (x ) ≠ BAf ˆ ˆ (x) b) ABf Trả lời ⎤ d2 f d ⎡d a) Aˆ 2f (x) = Aˆ ⎡⎣⎢ ¢f (x)⎤⎦⎥ = ⎢ f (x)⎥ = 2 dx ⎢⎣ dx ⎥⎦ dx 2 2 2 ⎡ Âf (x )⎤ 2 = ⎡⎢ d f (x)⎤⎥ = ⎛⎜ df ⎞⎟⎟ ≠ d f ⎜ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎜⎝ dx ⎠⎟ ⎢⎣ dx ⎥⎦ dx2 ˆ ˆ ( x) = b) ABf h 4 2 c o ˆ (x ) = x2 d (f ) = x2 df B̂Af dx dx ˆ ˆ ˆ ˆ Như thế: ABf (x) ≠ BAf (x) hay Aˆ & Bˆ không giao hoán với nhau. 6. n .v ( ) d 2 df x f = 2xf (x ) + x2 dx dx Hãy xác định hàm g(x) thu được khi cho toán tử Û tác dụng lên hàm f(x) trong các trường hợp dưới đây: a) û = x̂ ; b) û = d ; dx h i u V f(x) = e−x 2 f(x) = e−x 2 c) û = î (toán tử nghịch đảo); f(x) = x2 – 3x + 5 d) u = c4 (toán tử quay quanh trục z một góc bằng 90o); = xy – xz + yz f(x, y, z) Trả lời Theo định nghĩa về toán tử ta có: û f(x) = g(x) 2 2 a) Nếu û = x và f(x) = e−x ta viết: x. e−x = g(x) b) Nếu û = 2 d ; f(x) = e−x thì toán tử g(x) có dạng: dx 2 d −x2 ( e ) = – 2x e−x = g(x) dx c) Khi û = î là toán tử nghịch đảo thì có nghĩa các trục toạ độ được chuyển từ x sang – x; y sang – y. Vậy: 2 2 î (x – 3x + 5) = x + 3x + 5 = g(x) 10  d) Toán tử c4 quay quanh trục z theo một góc bằng 90o, có nghĩa là x → y; y → – x và z → z. Như vậy:  c4 f(x, y, z) = – yx – yz – xz = g(x). 7. d , hãy xác định hàm sóng mới thu được khi thực hiện dx Cho toán tử x̂ = x và û = phép nhân toán tử cho các trường hợp sau: b) û x̂ a) x̂ û ; 2 Biết hàm f(x) = e−x . Trả lời Chúng ta thực hiện phép nhân hai toán tử với nhau theo tính chất của chúng sẽ dẫn đến hàm số mới. Quả vậy. 2 d d [f(x)] = x ( e−x ) dx dx a) x̂ û f(x) = x 2 2 = x(– 2x e−x ) = – 2x2 e−x = g(x) b) û x̂ f(x) = 2 d d −x2 ( e ) + e−x x dx dx =x 2 = – 2x2 e−x + e−x 2 −x2 = (1 – 2x ) e Biết f(x) = e−x 8. 2 /2 h 4 2 c o 2 = g(x) ⎛ d2 ⎞ là hàm riêng của toán tử ĥ = ⎜⎜⎜x2 − 2 ⎟⎟⎟⎟ . Hãy xác định trị riêng h i u V khi thực hiện phép ĥ f(x). Trả lời n .v 2 d d x[f(x)] = (x e−x ) dx dx ⎜⎝ dx ⎠⎟ ⎛ d2 ⎞⎟⎟ −x2 / 2 d ⎡ d −x2 / 2 ⎤ 2 −x2 / 2 ⎢ (e e e ĥ f(x) = ⎜⎜⎜x2 − ( ) = x . – )⎥ ⎟ ⎥⎦ dx ⎢⎣ dx ⎜⎝ dx2 ⎠⎟⎟ Thực hiện phép lấy đạo hàm hay: d2 dx2 ta có: 2 2 2 d d (– x.e−x / 2 ) = x2. e−x / 2 + (x. e−x / 2 ) dx dx = x2. e−x 2 /2 – = x2. e−x 2 /2 + e−x 2 /2 – x.x e−x = x2. e−x 2 /2 + e−x 2 /2 – x2. e−x = e−x Như vậy: 2 /2 . 2 2 ĥ e−x / 2 = + 1. e−x / 2 Rõ ràng trị riêng thu được là +1. 2 2 /2 /2