Nội dung

C hư ơ ng 3 ÚNG DỤNG PHÉP TÍNH VI PHẢN, TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIỂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TỂ A. ĐỀ BÀI Bài 3.1. Cho hàm cung, hàm cầu của thị trường 1 hàng hóa: Qs = 4 P - l Qd = 4 - P 2 1) Tìm điều kiện của p để hàm cung, hàm cầu cùng dương. 2) Tìm giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá mua (giá bán) của người mua (bán) 3) Tìm giá và lượng cân bằng (P ,Q ). Bài 3.2. Cho mô hình thị trường Hàm cung: Qs = 0,1 p 2 + 5P +10 Hàm câu: Qn = -— P-2 Chứng tò rằng mô hình trên có giá cân bàng thuộc khoảng (3; 5). Bài 3.3. Cho mô hình thị trường Qs = 6 P -4 Q d = 3 -P 2; p > 0 Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 61 1) Tìm hàm cầu đảo. 2) Giới hạn cao nhất (thấp nhất) của giá người mua (người bán) chấp nhận là bao nhiêu? 3) Chứng minh tồn tại điểm cân bằng thị trường này. Bài 3.4. Một doanh nghiệp sản xuất có hàm doanh thu: TR = 4000Q - 33Q 2 và hàm chi phí TC = 3Q 3 - 3Q 2 + 400Q + 500. Xác định mức sản lượng cho lợi nhuận tối đa. Bài 3.5. Một doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu: p = 40 - 0,03Q và hàm chi phí TC = 10Q + 120. Hãy xác định sản lượng và mức giá để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận. Bài 3.6. Cho hàm chi phí trung bình AC = — - 0,5Q + 0,25Q2 +10 1) Tìm hàm chi phí cận biên. 2) Với p = 106, tìm Q* thỏa mãn điều kiện cực đại lợi nhuận. Bài 3.7. Cho hàm doanh thu bình quân: AR = 240 - 0,5Q 1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR. 2) Cho biết hàm chi phí TC = 40 + 12Q - 2Ọ 2 + 0,25Q3 Xác định lợi nhuận cận biên Mn và tính Mn tại điểm Qj = 3 2 0 ; Q 2= 1 0 . ) Có tồn tại hay không điểm hòa vốn thuộc (10; 20) 62_________ ________ Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ so UTỊ£ dụng... Bài 3.8. Doanh thu trung bình AR = 240 + 12Ọ - 0.5Ọ: (Q>0) 1) Viết hàm chênh lệch giữa doanh thu cận biên và doanh thu trung bình. 2) Tìm cực trị của doanh thu trung bình. 0.1 Bài 3.9. Cho hàm chi phí trung bình: AC = 12 + ——— F & 0.2 + Q 1) Tính chi phí cận biên MC tại Qo = 10. 2) Tìm hàm chênh lệch giữa chi phí trung bình và chi phi cận biên; cho nhận xét về hàm này. 3) Tính hệ số co giãn của chi phí theo sản lượng Q tại Q o -1 0 . Bài 3.10. Cầu về hàng hóa A là: Qu = 200P '0 5, thị trường hàng hóa A có 2 hàm cung là: Qsi = 5P ° 5 và Q S2 = 4P° 5. 1) Hãy lập mô hình thị trường hàng hóa A. 2) Thị trường có tồn tại trạng thái cân bang khône? Bài 3.11. Cho mô hình thị trường 1 hàng hóa như sau: p = 1 8 0 -0 ,5Q ị p =30 + 2Ọ^ 1) Hãy xác định trạne thái cân bàng cùa thị trườna. 2) Chính phù đánh thuế t/đơn vị hàng hóa. phái định t la bao nhiêu đê tôna thuế thu được là lớn nhất. 3) Khi t tăng 1% thì g iá cản b àna c ó tăna 1% k h ô n 2 ° Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 63 Bài 3.12. Hàm cầu vể ngô có dạng: Q o = 200 - 50p. Có 50 cơ sở giống nhau có hàm chi phí tại đó mỗi cơ sở là TC = Q (Q - sản lượng ngô ở mỗi cơ sờ). Xác định mức sản lượng Q đê tôi đa hóa lợi nhuận và giá cân bàng của thị trường. Bài 3.13. Cho hàm cung Qs, hàm cầu ỌD về 1 loại hàng hoá: Q s = 0 ,2 p 2 + 5 p -1 0 50 Qd = — với p là giá hàng hoá P -2 1) Với điều kiện nào của p thì cung và cầu đều dương? Với điều kiện trên hãy viết phương trình cân bằng thị trường 2) Xác định hàm dư cầu và khảo sát tính đơn điệu của hàm này. Chứng tỏ rằng luôn tồn tại duy nhất giá trị cân bằng trong khoảng (3,5). Bài 3.14. Cho hàm doanh thu TR = 1400Q - ọ 2 (Ọ > 0) 1) Tìm hàm doanh thu cận biên MR(Q). 2) Tại điểm Qo = 500, khi Q tăng lên một đơn vị thì doanh thu sẽ thay đổi bao nhiêu đơn vị. 3) Tính giá trị doanh thu cận biên tại Qo = 710 và giai thích ý nghĩa kết quả nhận được. Bài 3.15. Cho hàm tồng chi phí TC = 2Q 2 +3Q + 100 (Q > 0) 1) Tìm hàm chi phí cận biên MC(Q). 2) Tính chi phí cận biên lại mức sản lượng Q 0 = 2 và giải thích V nghĩa kết qua nhận được. 64__________________ Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sà m tg d ụ n g ... Bài 3.16. .Cho hàm cầu QD = 8 p - p 2 (p > 0), Po = 5 Tại mức giá Po, khi tăng giá lên 3% thì lượng cầu thay đổi một lượng xấp xỉ bằng bao nhiêu % Bài 3.17. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm chi phí bình quân AC(Q) và hàm chi phí cận biên MC(Q), cho biết hàm chi phí TC = Q 2 + 8 Q + 1 8 ( Q > 0 ) Bài 3.18. Hãy phân tích mối quan hệ giữa hàm sản xuất bình quân APL và hàm sản xuất cận biên MPL, biết hàm sản xuất ngắn hạn có dạng: Q = 60L - 3L 2 (L > 0). Bài 3.19. Cho biết hàm sản xuất ngẩn hạn Q = 100-v/ l (L > 0) và giá của sản phẩm p = 4ƯSD, giá thuê lao động bàng p L = 20ƯSD. Hãy tìm mức sử dụng lao động để cho lợi nhuận tối đa. Bài 3.20. Cho hàm tổng chi phí TC = Q 3 - 120Q 2 + 14Ọ (Ọ > 0). Tìm mức sản lượng Q để chi phí bình quân đạt giá trị nhò nhất. Bài 3.21. Cho biết hàm chi phí TC = Q 3 -7Ọ 2 + 49Ọ - 4 (Ọ > ]) và hàm cầu đảo p = 40 - Q. Hãy xác định mức sàn lưcmg ọ cho lợi nhuận đạt cực đại. Bài 3.22. Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu: TR = 58Q - 0,5Q 2 và hàm tồng chi phí TC = - ọ 3 - 8,5Q 2 + 97Q + FC . trong đó Ọ là sản lượng (Q > 0) và FC là chi phí cổ định. Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân... 65 1) Với FC = 4, hãy xác định mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận. 2) Hãy phân tích tác động của chi phí cố định FC tới mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận và mức lợi nhuận tối đa. Bài 3.23. Một công ty cạnh tranh hoàn hảo có hàm tổng chi phí TC = Q 3 - Ọ 2 + 1 (Q > 1 ). 1) Với giá thị trường p, hãy viết phương trình xác định hàm cung của công ty. 2) Hãy phân tích tác động của giá p tới mức cung tối đa hóa lợi nhuận và tới mức lợi nhuận tối đa của công ty. Bài 3.24. Doanh nghiệp độc quyền có hàm cầu đảo: p = 490 - 2Q và hàm chi phí TC = 0,5Q 2A D °5; Trong đó: Q là sản lượng và AD là chi phí quảng cáo. 1) Với AD = 9, hãy xác định mức sản lượng và giá bán tối ưu. 2) Hãy phân tích tác động của chi phí quảng cáo AD tới mức sản lượng và giá bán toi ưu. Bài 3.25. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q 3 - 5Q 2 + 14Q + 144 (Q > 0) 1) Khảo sát sự thay đổi tuyệt đối của TC theo Q, từ đó cho nhận xét về mở rộng sản xuất. 2) Tírìh hệ số co giãn của TC theo Q tại Qo = 2. 66 Hướng dẫn giải bài tập Toán cơ sỏ ưn? dụng. Bài 3.26. Cho hàm chi phí TC = 5000+ 4 ^ Q+3 (Ọ là sản lượng, ọ > 0) 1) Tìm hàm chi phí cận biên MC. 2) Tính chi phí trung bình AC tại Qo = 100. Bài 3.27. Cho hàm chi phí trung bình để sản xuất ra một sản phẩm: AC = Ọ 2 - 12Ọ + 60 (Q là sản lượng, Q>0) 1) Xác định các biểu thức tính sự thay đổi tuyệt đổi và tương đối của AC theo Q và cho các nhận xét. 2) Xác định hàm chi phí cận biên MC và mô tà trên cùng mặt phẳng tọa độ đồ thị hai hàm MC, AC. Từ đó hãv nêu các nhận xét quan hệ giữa MC và AC. Bài 3.28 Cho biết hàm doanh thu và hàm chi phí cùa nhà sản xuất như sau: TR = 1400Q - 7,5Q2; TC = Q 3 - 6 Q 2 + 140Q + 750 (Q > 0) Hãy chọn múc sản lượng để lợi nhuận tối đa. Bài 3.29. Hãy xác định mức sản lượng tối ưu của nhà sán xuất độc quyền, biết: Hàm chi phí cận biên MC = 3Q 2 - 6 Q + 96 2 Hàm câu đôi với sản phâm: Q = 148 - - p Chương 3. ứ n g dụng phép tính vi phân, tích phân. 67 Bài 3.30: Cho mô hình thị trường 1 hàng hoá Qs = 0,3pa(0 < a < 1 ) Qd= 0,1 pbMcqd ( b < 0 , 0 < c < l , d * 0 ) Trong đó: Qs, QD là các hàm cung, cầu của hàng A, p hàng A, M là thu nhập khả dụng, q là giá hàng B làgiá 1) Giải thích ý nghĩa kinh tế của a? 2) Hai hàng hoá nêu trong mô hình có quan hệ thay thế hay bổ sung? 3) Tìm mối liên hệ giữa b, c, d để khi p, M, q thay đổi cùng 1 tỉ lệ thì cầu D không đổi. 4) Phân tích ảnh hưởng của M tới lượng cân bằng. Bài 3.31: Hàm cung Qs và hàm cầu Qo của hàng A có dạng Qs = 0 ,7 p -1 5 0 Qd= 0,3M - 0,5p +120 Trong đó: p - giá hàng A, M - thu nhập khả dụng 1) Có ý kiến cho rằng lượng cân bàng không phụ thuộc vào thu nhập, ý kiến này đúng hay sai? 2) Giả sử Nhà nước đánh thuế thu nhập với thuế suất t, phân tích tác động của thuế tới mức giá cân bàng. Bài 3.32. Cho mô hình thị trường hàng A dạng: Q p = D( p , Y 0) ( D p < 0 ; D y >0) 68 Hướng dẫn giải bài tập Toan cơ Qs = S (p ,T 0) I/Tiff dụtĩỹ. (S p> 0 ;S To< 0 ) Trong đó: p là giá hàng A, Y 0 là thu nhập, T 0 lả ihuẻ 1) Phân tích ảnh hưởng của Y0, T 0 tới giá cản băng, giải thích ý nghĩa kinh tế của các kết quả nhận được. 2) Dùng hàm cung phân tích ảnh hưởng của Y 0 tới lượng cân bằng, dùng hàm cầu phân tích ảnh hưởng của To tới lượng cản bằng. Bài 3.33. Gọi p là giá hàng A, q là giá hàng B, M là thu nhập, T là thuế. Mô hình thị trường có dạng Da = 0,8M°’4p'0’5q 0,1 Sa = 5,4p°’3T '0,05 1) Cho biết quan hệ giữa 2 hàng hoá A, B. 2) Phân tích tác động của M, T tới giá cân bằng mặt hàng A. 3) Lượng cung Sa thay đổi thế nào khi giá hàne A lảng 7% và thuế cũng tăng 7%. Bài 3.34. Cho hàm tổng chi phí: TC = Q 3 - 5Q 2 + 14Q +75 với Q là sản lượng (Q > 0) 1) Tìm hàm VC, AVC, xác định FC. 2) Tìm hệ số co giãn của c theo ọ tại mức Qo = 10 và giải thích ý nghĩa kinh tế của nó 3) Tìm các hàm MC và AC, chứng minh MC cắt AC lại điêm AC cực tiểu. Chương 3. ứ n g dung phép tính vi phản, tích phân... 69 Bài 3.35: Cho hàm doanh thu trung bình AR = 60 -3Ọ. Tìm hàm MR, chứng minh rằng AR, MR có cùng tung độ gốc, nhưng độ dốc của MR gấp đôi độ dốc của AR. Bài 3.36. Cho hàm tống chi phí: TC(Q) = Q 3 - 4 Q 2 + 1800Q + 150 ( Q > 0 ) Hàm cầu về sản phẩm của công ty là Q = 9000 - p 1) Viết hàm tổng doanh thu là hàm của Q (là hàm của p). 2) Tìm MC và MR theo Q. 3) Tìm Q* để lợi nhuận đạt cực đại. Bài 3.37. Cho hàm lợi nhuận: 71 = - Q 3 + 3 Q 2 + 1 3 2 0 Q - 10 (Q > 0) Tính 7ĩ( 0 ) và giai thích ý nghĩa kinh tế. Tìm mức sàn lượng ọ ’ để lợi nhuận đạt cực đại. _9 Bài 3.38. Cho hàm sản xuât: Q = ——L’ +10L2 3 Trong đó: Q - san lượng, L - số đơn vị lao động sử dụng 1) Tìm tập xác định thực tế cùa hàm trên. 2) T ì m h à m san phâi n trun g bình A Ọ và h à m sản p h â m biên MQ. Chứng minh ràng AỌ = MQ tại mức sản lượng ọ mà AỌ đạt cực đại. 3) Tìm mức su dụng la . động L* tại đó ọ đạt giá trị lớn rh; ì .