Các kĩ thuật cơ bản để chứng minh đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ, lớp chuyên, lớp chọn.pdf (chứng minh đẳng thức)

www.VNMATH.com CÁC KỈ THUẬT CƠ BẢN ðỂ CHỨNH MINH BẤT ðẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT TRONG CÁC KÌ THI TUYỂN SINH ðẠI HỌC, CAO ðẲNG, LỚP CHUYÊN, LỚP CHỌN Cao Minh Quang1, THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long, e-mail: kt13quang@yahoo.com ***** Bất ñẳng thức và bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất là những dạng toán khó không chỉ trong các kì thi học sinh giỏi các cấp mà còn thường hay xuất hiện trong các kì tuyển sinh ñại học, tuyển sinh vào lớp chuyên, lớp chọn. Bài viết này xin nêu một số kỉ thuật cơ bản ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. 1. Sử dụng kỉ thuật chọn “ñiểm rơi” của bất ñẳng thức AM – GM (bất ñẳng thức Cauchy). Bất ñẳng thức AM – GM (bất ñẳng thức Cauchy) vốn rất quen thuộc với học sinh phổ thông và có rất nhiều ứng dụng. Phần này xin trình bày cách sử dụng kỉ thuật chọn “ñiểm rơi” (giá trị của (các) biến ñể xảy ra ñẳng thức) của bất ñẳng thức AM – GM trong việc chứng minh bất ñẳng thức. Trước hết, xin nêu lại bất ñẳng thức AM – GM Cho n số thực không âm a1 , a2 ,..., an . Khi ñó a1 + a2 + ... + an n ≥ a1a2 ...an hay n n a1a2 ...an ≤ a1 + a2 + ... + an n ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = ... = an . Ta thường áp dụng bất ñẳng thức AM – GM khi n = 2,3, 4 . Ngoài ra, sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta còn thu ñược các kết quả quan trọng sau: Cho a, b, c là các số thực dương, khi ñó (1) a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca hay a + b + c ≥ ab + bc + ca . 2 ( ) (2) (a + b + c ) ≤ 3 a 2 + b 2 + c 2 hay (3) (a + b)( 1a + 1b ) ≥ 4 hay 1 a +b a2 + b2 + c2 ≥ 1 3 (a + b + c) . ≤ 14 ( 1a + 1b ) . (4) (a + b + c )( 1a + 1b + 1c ) ≥ 9 hay 1 a +b +c ≤ 91 ( 1a + 1b + 1c ) . Việc xác ñịnh ñiều kiện của (các) biến ñể xảy ra ñẳng thức trong bài toán bất ñẳng thức rất quan trọng, nó sẽ giúp ta rất nhiều trong việc ñịnh hướng cách giải. ðể sử dụng kỉ thuật này ta cần kết hợp thêm kỉ thuật nhỏ sau ñây: Kỉ thuật thêm bớt: A = A + B − B = A × B = A.1.1...1 = A. A = 3 A.3 A.3 A , ñể tạo ra các biểu thức mới ở hai vế của bất ñẳng B thức mà ta có thể ñánh giá ñược. Kỉ thuật ñổi biến: Một số bài toán có chứa căn thức, phân thức thì ta có thể ñổi biến ñể dễ nhận thấy các mối quan hệ của các ñại lượng, từ ñó ta có ñịnh hướng cho lời giải. Chẳng hạn những phép thế ñơn giản như x := a , x := 1a ,… Sau ñây là một số ví dụ. Ví dụ ñầu tiên là một bất ñẳng thức hết sức ñơn giản. 1 1 Bài toán 1. Cho x, y > 0 . Chứng minh rằng x 2 + y 2 + + ≥ 2 x y ( ) x+ y . Phân tích lời giải. Nhận thấy rằng, vế trái của bất ñẳng thức có chứa ñơn thức và phân thức, vế phải có chứa căn thức (bậc hai), và dễ 1 1 thấy ñẳng thức xảy ra khi x = y = 1 . Do ñó, ta sẽ dùng bất ñẳng thức AM – GM cho hai số x 2 và , y 2 và . y x Lời giải. Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có x 2 + 1 1 1 1 ≥ 2 x2 . = 2 x ; y2 + ≥ 2 y2 . = 2 y . x x y y Cộng hai bất ñẳng thức ta thu ñược bất ñẳng thức cần chứng minh. Bài toán 2. Cho 0 < a ≤ 1 1 9 . Chứng minh rằng a + 2 ≥ . 2 2 a Phân tích lời giải. Ta nhận thấy, từ 0 < a ≤ 1 a 1 1 1 , ta có 2 ≥ 4 . Ngoài ra, khi a = thì ñẳng thức ở (1) xảy ra và = . 2 2 2 16a 2 a Lời giải. Do ñó, sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta nhận ñược 1 Mọi thứ ñều do làm việc mà có _ Alex Ferguson 1 a+ www.VNMATH.com 1 a2 = a a a a 1 1 15 15 3 15 9 + + + ≥ 33 . . + ≥ + = . 2 2 16a 2 16a 2 2 2 16a 2 16a 2 4 4 2 Ta có thể giải bài toán trên bằng cách một cách khác nhưng rõ ràng lời giải trên khá gọn gàng và ñẹp mắt sau khi ta xác ñịnh ñược 1 “ñiểm rơi” là a = . 2 Bài toán 3. Cho a, b > 0 thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Chứng minih rằng Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi a = b = 12 . Khi ñó 2 ab = 8 và 3 a 2 +b 2 2 3 + ≥ 14 . ab a 2 + b 2 = 1−23 ab = 6 . Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 2 3 2 2 1 1− ab 1 . + 2 = + 2 + 2 = 2. + 2 2 2 2 ab a + b ab a + b ab (1− 2ab) a + b 2 a +b 2 Ta ñể ý rằng ab ≤ 14 , a 2 + b 2 ≥ 12 ( a + b) = 12 , ab (1− 2ab) = 12 .2ab (1− 2ab) ≤ 12 . 14 = 18 . Do ñó 1− 14 1 2 3 1− ab 1 + 2 = + ≥ + 1 = 14 . 2. 2. 1 ab a + b 2 ab (1− 2ab) a 2 + b 2 8 2 Bài toán 4. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = 0 . Chứng minh rằng 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 6 . Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi x = y = z = 0 . Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 3 + 4x + 3 + 4 y + 3 + 4z ≥ 3 3 ( 4 ( )( )( ) 3 + 4 x . 3 + 4 y . 3 + 4 z = 36 3 + 4 x . 3 + 4 x . 3 + 4 x . )( )( ) Mặt khác, 3 + 4 x = 1 + 1 + 1 + 4 x ≥ 4 4 x . Do ñó 3 + 4 x 3 + 4 y 3 + 4 z ≥ 43 4 4 x.4 y.4 z = 43 (vì x + y + z = 0 ). Suy ra 6 3 + 4 x + 3 + 4 y + 3 + 4 z ≥ 3 43 = 6 . 2  y  9   Bài toán 5. Cho x, y > 0 . Chứng minh rằng (1 + x )1 + 1 +  ≥ 256 .  x  y  Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi: x = 3, y = 9 . Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 3 y y y y 1 + x = 1 + 3x + 3x + 3x ≥ 4 4 ( 3x ) ,1 + x = 1 + 3 x + 3 x + 3 x ≥ 4 4  Do ñó (1 + x )1 +  2 y  9  4 x 3 1 +  ≥ 4 .3 ( 3 ) x  y  ( )( y 3 3x 6 3 y ) y 3 3x ( ) ,1+ 3 9 y ≥ 44 ( ). 3 y = 44 = 256 . Bài toán 6. [Khối B_2007] Cho x, y, z là ba số thực dương thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 1  z 1  y 1  P = x  +  + y  +  + z  +  .   2 zx   2 yz   2 xy  Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi x = y = z . Khi ñó P= ðẳng thức xảy ra khi Ta có P =  x2 x2 1 1 3x 2 3 1 1  9 . . + = 3 + +  ≥ 3 3 = .  2 2 x 2 x  x 2 2 2x 2x 2 3x2 3 = hay x = 1 . Như vậy, ñiểm rơi có thể là x = y = z = 1 . 2 2x x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 + z 2 xy + yz + zx  x 2 1   y 2 1   z 2 1  3 3 3 9 + ≥ + =  +  +  +  +  +  ≥ + + = xyz xyz x   2 y   2 z  2 2 2 2 2 2  2 Bài toán 7. [Khối A_2005] Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn 2 1 1 1 + + = 4 . Chứng minh rằng x y z www.VNMATH.com 1 1 1 + + ≤1 . 2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z 1 1  1 1 ≤  +  với mọi số thực dương a, b , ta có a + b 4  a b  Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi x = y = z . Sử dụng bất ñẳng thức 1 1 1 1  1  1  1 1  1  1 1  1  2 1 1  ≤ ≤  +  +  +  +  =  + +  .   2 x + y + z 4  x + y x + z  4  4  x y  4  x z  16  x y z  Chứng minh tương tự cho các biểu thức còn lại, ta suy ra 1 1 1 1  4 4 4 + + ≤  + +  = 1 . 2 x + y + z x + 2 y + z x + y + 2 z 16  x y z  Bài toán 8. [ Japan, 2005 ] Cho a, b, c là các số thực dương, thỏa ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a 3 1+ b − c + b 3 1+ c − a + c 3 1+ a − b ≤ 1 (2) 1 Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi a = b = c = . Khi ñó 1 + b − c = 1 . Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 3 a 3 1 + b − c = a 3 1.1.(1 + b − c) ≤ a. 1 + 1 + (1 + b − c ) 3 1 = (3a + ab − ac ) . 3 1 1 Chứng minh tương tự, ta nhận ñược b 3 1 + c − a ≤ (3b + bc − ba ) , c 3 1 + a − b ≤ (3c + ca − cb) . 3 3 Cộng ba bất ñẳng thức trên, ta nhận ñược 1 a 3 1 + b − c + b 3 1 + c − a + c 3 1 + a − b ≤ 3( a + b + c ) + ( ab + bc + ca ) − (ab + bc + ca) = 1 . 3 Bài toán 9. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 4 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ 3 . Phân tích lời giải. Nhận thấy rằng, vế trái của bất ñẳng thức có chứa (bậc ba), dễ thấy ñẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 , khi ñó, 4 a + 3b = 1 . Do ñó, ta sẽ dùng bất ñẳng thức AM – GM cho ba số a + 3b,1,1 . Lời giải. Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 3 a + 3b = 3 ( a + 3b).1.1 ≤ (a + 3b) +1 +1 3 = a + 3b + 2 . 3 Chứng minh tương tự cho hai biểu thức còn lại, ta thu ñược 3 a + 3b + 3 b + 3c + 3 c + 3a ≤ a + 3b + 2 b + 3c + 2 c + 3a + 2 4 ( a + b + c) + 6 + + = = 3. 3 3 3 3 Bài toán 10. [ IMO, 1995 ] Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện abc = 1 . Chứng minh rằng 1 3 a (b + c) Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi a = b = c = 1 . Khi ñó 1 3 a (b + c ) Chứng minh tương tự, ta có + + 1 3 b (c + a ) 1 3 a (b + c) = + 1 3 c ( a + b) ≥ 3 . 2 1 2 b+c = = . Do ñó, áp dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 2 4 4bc b+c b+c 1 1 1 1 1 1 1 ≥2 3 . = ⇒ 3 ≥ −  +  . 4bc 4 4  b c  bc a a a (b + c) a (b + c ) 1 1 1 1  1 1 1  1 1 ≥ −  +  , 3 ≥ −  +  .    b (c + a ) b 4 c a c ( a + b) c 4  a b  1 3 Cộng các bất ñẳng thức trên và áp dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 1 3 a (b + c) + 1 3 b (c + a ) + 1  1 1 1 1 1 1 1 3 ≥  + +  ≥ .3 3 . . = .  a b c 2 c (a + b ) 2  a b c  2 1 3 3 Bài toán 11. Cho x, y, z ≥ 0 thỏa mãn ñiều kiện www.VNMATH.com x + y + z ≤ 3 . Chứng minh rằng x 1+ x 2 + y 1+ y + 2 z 1+ z ≤ 2 3 1 1 1 . ≤ + + 2 1+ x 1+ y 1+ z Lời giải. Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 1 + x 2 ≥ 2 x,1 + y 2 ≥ 2 y,1 + z 2 ≥ 2 z . Do ñó x 1+ x 1 a Sử dụng bất ñẳng thức + 2 y 1+ y + 2 z 2 1+ z ≤ x y z 3 + + = . 2x 2 y 2z 2 + b1 + 1c ≥ a +9b+c , với mọi a, b, c dương, chú ý rằng x + y + z ≤ 3 , ta có 1 1 1 9 9 3 + + ≥ ≥ = . 1+ x 1+ y 1+ z 3 + x + y + z 6 2 Bài toán 12. Cho x, y, z > 0 và thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Chứng minh rằng x2 y +1 y2 z +1 z2 x +1 + ≥ x, + ≥ y, + ≥z. y +1 4 z +1 4 x +1 4 Lời giải. Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có Suy ra x2 y2 z2 3 + + ≥ . y +1 z +1 x +1 2 x2 y2 z2 x+ y+z 3 x2 y2 z2 3 3 3 3 3 + + + + ≥ x + y + z hay + + ≥ ( x + y + z ) − ≥ .33 xyz − = . y +1 z +1 x +1 4 4 y +1 z +1 x + 1 4 4 4 4 2 Bài toán 13. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ñiều kiện 1 1 1 + + = 3 . Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 . a b c Phân tích lời giải. Giả thiết bài toán chứa các biến minh bất ñẳng thức, ta cần chuyển ñại lượng 1 1 1 , , , nhưng bất ñẳng thức cần chứng minh chỉ chứa a, b, c . Do ñó, ñể chứng a b c 1 1 1 , , thành a, b, c . Ta cần chứng minh a b c  1  1  1  8 . (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 ⇔ 1 + 1 + 1 +  ≥  Lời giải. Sử dụng phép ñổi biến x = a  b  c abc 1 1 1 , y = , z = , ta cần chứng minh (1 + x)(1 + y )(1 + z ) ≥ 8 xyz , trong ñó x + y + z = 3 . a b c Dự ñoán ñiểm rơi: x = y = z = 1 . Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có 3 = x + y + z ≥ 33 xyz ⇒ xyz ≤ 1 . Do ñó (1 + x )(1 + y )(1 + z ) ≥ 2 x .2 y .2 z = 8 xyz ≥ 8 xyz . Bài toán 14. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng Lời giải. ðặt x = a3 b 3 + b3 c 3 + c3 a 3 ≥ a b c + + . b c a a b c , y = , z = . Ta cần chứng minh x3 + y 3 + z 3 ≥ x + y + z , với xyz = 1 . b c a Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có x3 + 2 = x3 + 1 + 1 ≥ 3x . Do ñó x3 + y 3 + z 3 + 6 ≥ 3( x + y + z ) hay ( ) x3 + y 3 + z 3 ≥ ( x + y + z ) + 2 ( x + y + z ) − 3 ≥ ( x + y + z ) + 2 3 3 xyz − 3 = x + y + z . Bài toán 15. Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng Lời giải. ðặt x = a3 b 3 + b3 c 3 + c3 a 3 ≥ a b c + + . b c a 3 3 3 a b c , y = , z = . Ta cần chứng minh x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z , với xyz = 1 . b c a 3 3 1 Bổ ñề: ta sẽ chứng minh x 2 + 12 ≥ 23 x ⇔ 2 x 2 + 1 ≥ 3x . ðặt t = x 2 , bất ñẳng thức trên ñược viết lại dưới dạng 2 2t 3 + 1 ≥ 3t 2 ⇔ 2t 3 − 3t 2 + 1 ≥ 0 ⇔ (t −1) (2t + 1) ≥ 0 . ( 3 3 3 ) Suy ra 2 x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 3( x + y + z ) . Do ñó, với chú ý rằng x + y + z − 3 ≥ 3 3 xyz − 3 = 0 . 4 ( 3 3 3 www.VNMATH.com ) 3 3 3 2 x 2 + y 2 + z 2 ≥ ( x + y + z − 3) + 2 ( x + y + z ) ≥ 2 ( x + y + z ) hay x 2 + y 2 + z 2 ≥ x + y + z Bài toán 16. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ñiều kiện ab + bc + ca = abc . Chứng minh rằng b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 a 2 + 2c 2 + + ≥ 3. ab bc ca Lời giải. Thực hiện phép ñổi biến x = 1a , y = 1b , z = 1c . Từ ñiều kiện, ta có x + y + z = 1 . Ta cần chứng minh bất ñẳng thức x2 + 2 y 2 + y2 + 2 z 2 + z 2 + 2 x2 ≥ 3 . x2 + 2 y2 = x2 + y2 + y2 ≥ Sử dụng bất ñẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có 1 3 ( x + y + y) = x2 + 2 y 2 + y 2 + 2 z 2 + z 2 + 2x2 ≥ Với hai bất ñẳng thức tương tự còn lại, suy ra 1 .3 3 1 3 ( x + 2 y) . (x + y + z) = 3 . Bài toán 17. Khối A_2006] Cho hai số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay ñổi và thỏa mãn ñiều kiện ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 x 3 + 1 y3 . Lời giải. Vì x ≠ 0, y ≠ 0 nên ñiều kiện của bài toán có thể ñược viết lại dưới dạng (chia hai vế cho ñại lượng x 2 y 2 ) 1 x + 1y = 1 x2 + 1 y2 1 . Thực hiện phép ñổi biến a = 1x , b = − xy 1 y , ta cần tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = a3 + b3 với ñiều kiện ( ) 2 2 a + b = a 2 + b 2 − ab . Khi ñó A = a3 + b3 = (a + b) a 2 + b2 − ab = ( a + b) . Sử dụng bất ñẳng thức ab ≤ ( a +2 b ) , ta suy ra 2 2 2 2 a + b = a 2 + b 2 − ab = ( a + b) − 3ab ≥ ( a + b) − 34 (a + b) = 14 (a + b) . 2 Do ñó (a + b) − 4 (a + b) ≤ 0 hay 0 < a + b ≤ 4 . Vì vậy A ≤ 16 . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2 hay x = y = 1 2 và max A = 16 . Bài toán 18. [Khối A_2007] Cho x, y, z là ba số thực dương thay ñổi và thỏa mãn ñiều kiện xyz = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P= x2 ( y + z) y y + 2z z + Lời giải. ðể tiện cho việc trình bày lời giải, ñặt a = x , b = M= ( a4 b2 + c2 b 3 + 2c 3 y 2 ( z + x) + z z + 2x x z 2 ( x + y) . x x + 2y y y , c = z . Khi ñó abc = 1 , ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ) + b 4 (c 2 + a 2 ) + c 4 ( a 2 + b 2 ) . c 3 + 2a 3 a 3 + 2b3 Dự ñoán ñiểm rơi a = b = c = 1 , khi ñó M = 3 . Sử dụng bất ñẳng thức AM – GM, ta có b 2 + c 2 ≥ 2bc = Thực hiện việc tương tự cho các biểu thức còn lại trong biểu thức M , ta có M ≥ 2a 3 b3 + 2c3 + 2b3 c 3 + 2a 3 + 2 ⇒ a 4 b 2 + c 2 ≥ 2a 3 . a ( 2c 3 a3 + 2b3 ) . Thực hiện phép ñổi biến m = b3 + 2c3 , n = c3 + 2a3 , p = a3 + 2b3 . Khi ñó a3 = 4n + p − 2m 3 4 p + m − 2n 3 4m + n − 2 p ,b = ,c = . 9 9 9 Như vậy: 2  4n + p − 2m 4 p + m − 2n 4m + n − 2 p   = M =  + + 9 m n p  = 2   n p m   p m 4 + +  + + + 9   m n p   m n n   2  − 6 ≥ (4.3 + 3 − 6) = 2 . p   9 5 www.VNMATH.com 2. Sử dụng các tính chất của hàm số, lượng giác, vector ðối với các bài toán bất ñẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất có chứa một biến số ( x hoặc a ), ta thường giải bằng cách sử dụng ñạo hàm với ñiều kiện ràng buộc của biến thuộc một miền xác ñịnh nào ñó; nếu x ∈ [−1,1] thì ta có thể ñặt x = sin α, x = cos α ; nếu bài toán có chứa ñiều kiện a, b, c > 0, ab + bc + ca = 1 thì ta có thể ñặt a = tan 2A , b = tan B2 , c = tan C2 ; với A, B, C là ba góc của một tam giác; nếu bài toán có chứa ñại lượng a 2 + b 2 thì ta có thể ñặt u = ( a, b) ; nếu bài toán có chứa ñiều kiện a ≥ b thì ta cần chuyển bài toán về dạng f (a ) ≥ f (b) hoặc f (a ) ≤ f (b) , rồi xét sự ñồng biến hoặc nghịch biến của hàm số y = f ( x) , và lưu ý rằng, trong một số trường hợp, ta cần phép ñổi biến ñể bài toán có dạng ñơn giản hơn. x +1 Bài toán 19. [Khối D_ 2003] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = Lời giải. Xét x ∈ [−1; 2] . ðạo hàm của hàm số này là y ' = 1− x 3 ( x 2 +1) x2 +1 trên ñoạn [−1; 2] . . Ta có y ' = 0 ⇔ x = 1 . 3 5 Giá trị của hàm số tại ñiểm tới hạn và ñiểm biên: f (1) = 2, f (−1) = 0, f ( 2) = . Vậy max y = f (1) = 2, min y = f (−1) = 0 . [−1,2 ] [−1,2] Bài toán 20. [Khối B_ 2003] Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = x + 4 − x 2 . Lời giải. Tập xác ñịnh [−2, 2] . ðạo hàm của hàm số này là y ' = 1− x 4− x 2 . Ta có y ' = 0 ⇔ 4 − x2 = x ⇔ x ≥ 0 ∧ 4 − x2 = x2 ⇔ x = 2 . Giá trị của hàm số tại ñiểm tới hạn và ñiểm biên: f Vậy max y = f [−2,2 ] ( 2) = 2 ( 2) = 2 2, f (−2) = −2, f (2) = 2 . 2, min y = f (−2) = −2 . [−2,2] Lưu ý: vì x ∈ [−2, 2] nên ta có thể ñặt x = 2 cos α, α ∈ [ 0, π ] hoặc x = 2sin α, α ∈ − π2 , π2  , sau ñó ñưa bài toán về dạng lượng giác ñể giải. ( Bài toán 21. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 6 + 4 1− x 2 3 ) trên ñoạn [−1,1] Lời giải. Thực hiện phép ñổi biến t = x 2 . Vì x ∈ [−1,1] nên t ∈ [0,1] . Ta cần tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 3 f (t ) = t 3 + 4 (1− t ) = −3t 3 + 12t 2 −12t + 4 . ðạo hàm của hàm số này là f '(t ) = −9t 2 + 24t −12 . Ta có f '(t ) = 0 ⇔ t = 2 ∨ t = 23 . Giá trị của hàm số tại ñiểm tới hạn (chú ý t ∈ [0,1] ) và ñiểm biên: f ( 23 ) = 49 , f (0) = 4, f (1) = 1 . Vậy max y = 4 khi t = 0 hay x = 0 , min y = [−1,1] [−1,1] 4 9 khi t = 2 3 hay x = ± 6 3 . Lưu ý: (1) Vì x ∈ [−1,1] nên ta có thể ñặt x = cos α, α ∈ [ 0, π ] hoặc x = sin α, α ∈ − π2 , π2  , sau ñó ñưa bài toán về dạng lượng giác ñể giải. (2) Nếu ñặt y 2 = 1− x 2 , thì bài toán ñược phát biểu dưới dạng: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của biểu thức f ( x, y ) = x6 + 4 y 6 thỏa ñiều kiện x 2 + y 2 = 1 . Bài toán 22. [Khối A_2003] Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn x + y + z ≤ 1 . Chứng minh rằng x2 + 1 x 2 + y2 + 1 y 2 + z2 + 1 1 1 . Lời giải. Dự ñoán ñiểm rơi x = y = z = . Khi ñó, x 2 = = 9 81x 2 3 6 1 z2 ≥ 82 . www.VNMATH.com  1  1   1 Sử dụng bất ñẳng thức a + b + c ≥ a + b + c , với mọi vector a, b, c , áp dụng cho a =  x,  , b =  y,  , c =  z ,  .  x   z   y  Ta nhận ñược x2 + 1 x2 + y2 + 1  1 1 1 2 2  + +  . ≥ x + y + z + ( )    x y z  z2 1 + z2 + y2  1 1 1 1 1 1 9 9 Từ bất ñẳng thức (a + b + c ) + +  ≥ 9, với a, b, c > 0 , t = x + y + z ≤ 1 , ta có + + ≥ = .  a b c  x y z x+ y+z t  1 1 1 2  1 81 81 1 1 1 1 Suy ra ( x + y + z ) +  + +  ≥ t 2 + 2 = t 2 + 2 + 2 + ... + 2 ≥ 8282 t 2 . 2  = 8282 160 ≥ 82.      x y z t t t t t t 2 Do ñó ta có ñiều phải chứng minh. ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 b a   1 1 Bài toán 23. [Khối D_2007] Cho a ≥ b > 0 . Chứng minh rằng 2a + a  ≤ 2b + b  .   2  2  Lời giải. Bất ñẳng thức cần chứng minh tương ñương với bất ñẳng thức b a (1 + 4a ) ≤ (1 + 4b ) ⇔ ( ln 1+4a ) a ≤ ( ln 1+4b ) hay f (a ) ≤ f (b) , trong ñó f ( x ) = b ( ln 1+4 x ) x . Ta chú ý rằng, vì a ≥ b > 0 nên ta chỉ cần chứng minh hàm số này nghịch biến trong (0, +∞) . Thật vậy, ñạo hàm của hàm số này là f '( x ) = ( ) ( ) 4 x ln 4 x − 1+4 x ln 1+4 x ( ) x 2 1+4 x < 0 . ðẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b . Cuối cùng, mời các bạn rèn luyện kỉ thuật này qua các bài tập sau. Bài 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 5 2a + b + 5 2b + c + 5 2c + a ≤ 35 3 . Bài 2. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng 5 (2a + b)(a + c) a + 5 (2b + c)(b + a )b + 5 (2c + a )(c + b) c ≤ 3 5 6 . ( ) 2 ( ) Bài 3. Cho a, b, c > 0 và a 2 + a + 2 (b + 1) c 2 + 3c = 64 . Chứng minh rằng a 3b4 c5 ≤ 1 . Bài 4. Cho a > b ≥ 0 . Chứng minh rằng 2a + 32 2 (a − b)(2b + 3) Bài 5. [ Nesbitt ] Cho x, y, z > 0 . Chứng minh rằng ≥5. x y z 3 + + ≥ . y+z z+ x x+ y 2 Bài 6. [Cao Minh Quang] Cho a, b, c ∈ [−2, 2] và a + b + c = 3 . Chứng minh rằng Bài 7. [ Ioan Tomescu ] Cho x, y, z > 0 . Chứng minh rằng 4 − a2 + 4 − b2 + 4 − c2 ≤ 3 3 . xyz 1 ≤ 4 . (1 + 3x)( x + 8 y )( y + 9 z )( z + 6) 7 Bài 8. [ IMO Short List, 1998 ] Cho a, b, c > 0 và abc = 1 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 3 + + ≥ . (1 + b)(1 + c) (1 + c)(1 + a ) (1 + a )(1 + b) 4 Bài 9. [ Greece, 2007 ] Cho a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng 4 4 4 (c + a − b) (a + b − c) (b + c − a ) + + ≥ ab + bc + ca . a (a + b − c ) b (b + c − a) c (c + a − b) Bài 10 [ Poland, 1995 ] Cho a, b, c ≥ − a b c 3 9 và a + b + c = 1 . Chứng minh rằng 2 + 2 + 2 ≤ 4 a + 1 b + 1 c + 1 10 Bài 11 [Khối B_2004] Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ln 2 x trên ñoạn 1;e3  .   x Bài 12. Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x2 2 x + 2 yz + y2 2 y + 2 zx + z2 2 z + 2 xy . 7 Bài 13. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ñiều kiện www.VNMATH.com 1 1 1 + + = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của abc . 2+a 2+b 2+c Bài 14. Cho a, b > 0 thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 Bài 15. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = 1 . Chứng minh rằng Bài 16. Cho x, y ≠ 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 Bài 17. Cho a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng a 3 x4 + y4 + a3 b 3 1 b 3 + 1− a + b 1− b . a b c ≥ 3 a + b + c  .  3 3 3 3  1 c 2  2  x + x  + x + x 2 −   2 y4 y 2  y y y x4 + b3 ≥ 3 + a a 1 a + +b . a b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 Bài 18. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện x + y + z ≤ 1 1 1 M = x2 + y2 + z 2 + + + . x y z Bài 19. Cho a, b, c > 0 thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng a Bài 20. Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng + a 4 + b2 b b4 + a2 1+ ≤ Bài 21. Cho a, b là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = 1 a 2 + 1+ 1 b + 1+ 2 1 c2 ≥2 3 . 1 . ab a +b ab + ab . a +b 2 2  1  1 Bài 22. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 2 . Chứng minh rằng a +  + b +  ≥ 9 .  b   a Bài 23. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện xy + yz + zx = 1 . Chứng minh rằng x 2 + xy + y 2 + y 2 + yz + z 2 + z 2 + zx + x 2 ≥ 3 . Bài 24. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b + c = abc . Chứng minh rằng bc a 2 + 2bc + ca b2 + 2ca + ab c 2 + 2ab ≤1 ( ) Bài 25. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Chứng minh rằng 8 a 4 + b 4 + Bài 26. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b ≤ 1 . Chứng minh rằng 1 2 a + ab + 1 ≥5. ab 1 2 b + ab ≥4. Bài 27. Cho x, y ≥ 1 . Chứng minh rằng x y −1 + y x −1 ≤ xy .  1  1 Bài 28. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn ñiều kiện a + b = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = 1− 2 1− 2  .  a  b  Bài 29. Cho x, y, z > 0 . Chứng minh rằng Bài 30. Cho x, y, z > 0 . Chứng minh rằng 8 2 x 3 x +y 2 1 2 x + yz + + 2 y 3 y +z 2 1 2 y + zx + + 2 z 3 z +x 2 1 2 z + xy ≤ ≤ 1 x 2 + 1 y 2 + x+ y+z . 2 xyz 1 z2 .

Các kĩ thuật cơ bản để chứng minh đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong các kì thi tuyển sinh ĐH, CĐ, lớp chuyên, lớp chọn

Nội dung