Nội dung

CÁC ĐỀ THI ÔLYMPÍC CƠ HỌC 1989-2014 1 2 Đề thi năm 1989 Bài 1. Một ròng rọc kép C có bán kính nhỏ r và bán kính lớn R có thể quay quanh trục cố định O cuốn dây không giãn, không trọng lượng. Một đầu dây treo vật nặng B có trọng lượng P1 chuyển động theo phương thẳng đứng còn đầu kia buộc vào tâm A của bánh xe đồng chất có trọng lượng P2 bán kính R có thể lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng cố định hợp với phương ngang một góc α. Cho biết ròng rọc kép có bán kính quán tính đối với trục quay O bằng ρ (JO = Qρ2/g). Bỏ qua ma sát lăn và ma sát trục quay O. C O 1) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của hệ (chọn các tọa độ suy rộng là ϕ và θ, trong đó ϕ là góc quay của tang, và θ là góc lệch của AB đối với bán kính OA của tang). 2) Chứng minh rằng nếu M = 0 và bỏ qua tác dụng của trọng lực (do nhỏ) thì tang có chế độ quay đều (tức ϕɺ = ω0 = const) còn M y con lắc toán học có vị trí cân bằng đối với O tang quay ứng với θ = 0, θɺ = 0. 3) Khi con lắc có vị trí cân bằng (θ = 0, θɺ ϕ A = 0) nhận được độ lệch ban đầu và vận tốc ban đầu bé (tức θ0 và θɺ0 bé) thì con lắc sẽ θ g dao động quanh vị trí cân bằng. Tìm quy x luật của dao động bé đó (trong dao động bé lấy sinθ ≈ θ, cosθ ≈1). Giả thiết trong quá trình chuyển động dây luôn luôn ở trạng thái căng. A Đề thi năm 1990 B a 1) Tính gia tốc của vật B. Trong điều kiện nào vật B chuyển động hướng xuống. 2) Xác định phản lực tại trục quay O và sức căng trong đoạn dây treo vật B. 3) Trong trường hợp nào vật B chuyển động thẳng đều (khi nào hướng xuống, khi nào hướng lên). Bài 2. Một xe ô-tô tải trở một tấm bê tông nặng đang chuyển động với vận tốc v thì được hãm lại. Giả thiết rằng trong quá trình hãm xe lực hãm được xem là không đổi và xe chuyển động tịnh tiến thẳng. Tính đoạn đường hãm (đoạn đường xe đi được kể từ lúc hãm xe đến khi xe dừng hẳn lại) tối thiểu để tấm bê tông không bị dịch chuyển so với sàn xe. Cho biết hệ số ma sát trượt giữa tấm bê tông và sàn xe bằng f. Bài 3. Một búa nghiền được mô hình dưới dạng một tang quay có treo một con lắc toán học treo tại điểm A trên vành của tang có chiều dài bằng l và khối lượng bằng m. Tang được xem là một đĩa đồng chất tâm O có bán kính R khối lượng M chịu tác dụng ngẫu lực M. Bỏ qua ma sát tại trục quay. 3 Bài 1. Thanh đồng chất AB dài 2l, trọng lượng P đầu A tựa trên sàn ngang nhẵn và lập với sàn một góc 60o, đầu B được treo bằng dây DB thẳng đứng không giãn, không trọng lượng. Tại một thời điểm nào đó dây bị đốt đứt và thanh bắt đầu chuyển động. 1) Xác định áp lực của thanh lên sàn ở thời điểm thanh bắt đầu chuyển động. 2) Tìm vận tốc khối tâm C của thanh phụ thuộc độ cao h so với sàn. 3) Xác định quĩ đạo đầu B của thanh. D B C h 60o A Bài 2. Hai vật nặng A và B có khối lượng lần lượt là m và 2m, nối với nhau bằng lò xo có độ cứng k và nằm trên mặt ngang nhẵn. Tại thời điểm đầu người ta kéo hai vật về hai phía sao cho lò xo bị giãn ra một đoạn bằng ρ, rồi thả các vật ra không có vận tốc ban đầu. Hãy tìm vận tốc của vật A ở thời điểm khi độ biến dạng của lò xo bằng không. A k B 4 Bài 3. Một tấm AB có khối lượng m chịu tác dụng của lực F theo phương ngang, chuyển động không ma sát dọc theo sàn ngang. Một con lăn có khối tâm C, bán kính R, khối lượng m0 mômen quán tính J đối với trục đi qua C và thẳng góc với mặt phẳng đáy của con lăn. Con lăn được giữ đứng yên trên tấm AB bằng một sợi dây căng không giãn, không trọng C lượng, một đầu dây buộc vào tâm con lăn, một đầu buộc vào thành đứng của A B F tấm AB. 1) Tìm gia tốc của tấm AB. 2) Xác định sức căng của dây (giả thiết dây luôn luôn căng). 3) Giả sử con lăn được đặt tự do trên tấm (không có dây buộc). Tìm chuyển động của tấm khi con lăn lăn không trượt trên tấm, bỏ qua ngẫu lực ma sát lăn giữa con lăn và tấm. Ban đầu cơ hệ đứng yên. 4) Xác định hệ số ma sát trượt giữa con lăn và tấm để con lăn lăn không trượt đối với tấm AB. Đề thi năm 1991 Bài 1. Ống AB dài L có khối lượng 6m quay xung quanh trục thẳng đứng O1O2 lập với nó một góc 60o. Trong ống có quả cầu khối lượng m, lúc đầu nó đứng yên trong ống tại điểm giữa của đoạn CB. Vận tốc góc ban đầu của ống là ω0, CB = 2L/3. Bỏ qua khối lượng trục quay, ma sát trong ống và ở các ổ trục quay. Tìm gia tốc góc của ống tại thời điểm quả cầu đến đầu B của ống. z O2 C 0 A O C ϕ0 A B x 60 ω0 O1 Bài 2. Trụ đặc đồng chất có bán kính r, lăn không trượt bên trong ống trụ bán kính R. Trụ lăn xuống từ trạng thái đứng yên và tại vị trí góc ∠OAB = ϕ0 như hình vẽ, hệ số ma sát lăn là k. Xác định vận tốc của tâm C trụ đặc tại thời điểm nó ở vị trí thấp nhất. 5 Bài 3. Hai thanh đồng chất O1O2 và AB có cùng độ dài là 2L, khối lượng là m chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Thanh O1O2 quay xung quanh trục nằm ngang cố định đi qua O1. Thanh AB gắn bản lề trụ với thanh O1O2 tại O2. Cho O2A = a > L. Bỏ qua ma sát ở các bản lề tại O1 và O2. 1) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. 2) Khảo sát chuyển động của cơ hệ ở trường hợp O2 là điểm giữa của AB, nếu thời điểm ban đầu ϕ = ϕ0 và ϕɺ = 0 , thanh O1O2 đứng yên còn thanh AB có vận tốc góc là ω0. x O1 g B ϕ O2 C A ψ y Đề thi năm 1992 Bài 1. Một cơ cấu hành tinh nằm trong mặt phẳng ngang như hình vẽ. Cơ cấu chuyển động từ trạng thái tĩnh do tác dụng của một ngẫu lực phát động có mômen Mo không đổi đặt vào tay quay OA. Tay quay OA xem là một thanh đồng chất, thiết diện không đổi và có khối lượng là m0. Các bánh răng 1, 2, 3 xem là ba đĩa tròn đồng chất, giống nhau về kích thước, bán kính mỗi đĩa là r, khối lượng mỗi đĩa là m. Trên bánh răng 2 chịu tác dụng ngẫu lực cản có mômen M2 tỷ lệ bậc nhất với vận tốc góc ω2, hệ số tỷ lệ là b. M2 1) Xác định vận tốc góc tay quay OA dưới dạng hàm của thời gian. M0 2) Xác định vận tốc, gia tốc của B A điểm K (giao điểm của phần kéo O dài tay quay OA và vành bánh xe 3 K ở thời điểm tuỳ ý. 3) Vẽ quĩ đạo điểm K khi tay quay 1 2 3 OA quay được một góc 450. Bài 2. Cho một cơ hệ như hình vẽ. Tang quay O bán kính r1, trọng lượng P1. Một đầu dây quấn vào tang quay, đầu kia buộc vào trục C của con lăn có trọng lượng P2, bán kính r2. Trên tang quay tác dụng một ngẫu lực có mômen M(t). Con lăn C lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng một góc α với phương nằm ngang. Bỏ qua ma sát ở trục O. Bỏ qua ma sát lăn, còn hệ số ma sát trượt giữa trục C và mặt đường là f. Coi dây là không giãn, không trọng lượng. Dây kéo song song với mặt phẳng nghiêng. Tang quay O và con lăn C xem là những trụ tròn đồng chất. 6 1) Cho M (t ) = M 0 − bω1 , trong đó M0 và b là các hằng số dương, ω1 là trị số vận tốc góc của tang quay. Tìm biểu thức vận tốc góc của tang quay là hàm của thời gian. Biết rằng ban đầu hệ đứng yên. O 2) Giả sử khi tang đang quay với C vận tốc góc ω1 = ω1* thì dây bị đứt. M Xác định quy luật chuyển động của khối tâm C của con lăn. Biết rằng sau khi dây đứt con lăn vẫn chuyển động lăn không trượt trên mặt phẳng nghiêng. Tìm điều kiện để α con lăn không trượt ? Bài 3. Trong xà 1 khối lượng m1 có khoét theo chiều dọc một rãnh trụ có bán kính R, một hình trụ tròn đồng chất 2 bán kính r, khối lượng m2 lăn không trượt trong rãnh. Trục rãnh và trục hình trụ 2 song song với nhau. Xà 1 chuyển động trên mặt phẳng ngang nhẵn dưới tác dụng của lực ngang F = F0sinΩt, lực đàn hồi tuyến tính của lò xo có độ cứng c và lực cản tỷ lệ bậc nhất với vận tốc có hệ số cản b. x 2 c ϕ b F 1 1) Thiết lập phương trình vi phân chuyển động của cơ hệ. Tìm gia tốc của xà 1 và gia tốc góc của trụ 2 ở thời điểm đầu. Biết rằng khi t = 0 hệ nằm yên, lò xo chưa biến dạng, còn đường nối tâm của trụ với tâm của rãnh lệch với phương thẳng đứng một góc 30o. 2) Giả thiết khối lượng của hình trụ 2 rất bé so với khối lượng của xà 1 (m2< 1) trọng lượng vật G. 17 x E B D0 D B0 x ∆ Bài 2. Một trụ tròn đồng chất, bán kính R, khối lượng m, ban đầu đứng yên trên mặt ngang cố định. Dưới tác dụng của lực F(t) = 0,12mg(1 + t) ngang đặt tại tâm con lăn và ngẫu lực M(t) = 0,24mgR(t + t2), con lăn bắt đầu chuyển động. Bỏ qua ma sát lăn. 1) Viết phương trình chuyển động của con lăn. Vẽ và xác định lực ma sát của mặt đường tác dụng lên con lăn trong khoảng M(t thời gian con lăn không trượt? Xác định thời ) điểm t1 khi con lăn chuyển sang chế độ C chuyển động có trượt? Cho biết hệ số ma sát F(t) trượt tĩnh f = 0,14? 2) Tính quãng đường đi được của tâm con lăn và số quay được của trụ trong khoảng thời gian t1? 18 Bài 3. Cho mô hình cầu trục như hình vẽ. Cho biết các khối lượng m1 và m2, chiều dài thanh AB = l, hệ số cứng của lò xo là c và cho biết dịch chuyển u(t). Hệ số ma sát trượt động giữa vật A và mặt sàn là µ . Bỏ qua khối lượng thanh AB. Lúc đầu u(0) = 0 và chiều dài lò xo khi chưa biến dạng là a. 1) Thiết lập phương trình vi phân x chuyển động của cơ hệ theo tọa độ suy rộng (x , ϕ ) ? 2) Trong trường hợp c = 0, u(t) = 0, µ = 0, hãy tìm các tích phân đầu của hệ. Tại thời điểm đầu x(0) = 0, φ(0) = 90o, hệ đứng yên. Tìm đoạn dịch chuyển của vật A khi thanh AB ở vị trí φ = 300. u(t) c m1 A ϕ l m2 Đề thi năm 2001 Bài 1. Một cơ cấu hành tinh chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Tay quay OA có khối lượng được bỏ qua, quay đều quanh trục O với vận tốc góc ω. Bánh 2 có khối lượng m, là một đĩa tròn đồng chất, có bán kính r lăn không trượt trên vành bánh 1, có bán kính R và được gắn cứng với bệ máy được đặt tự do trên nền ngang. 1) Tính khối lượng m0 của bệ máy và bánh 1 để bệ máy không bị bật lên khỏi nền?. 2) Tại thời điểm đầu tay quay nằm ở vị trí ngang bên phải và lúc đó bệ máy đứng yên, các lò xo có độ cứng c1 và c2 không bị biến dạng. Khảo sát hai trường hợp sau: a) Bỏ qua ma sát giữa máy và nền. A Khảo sát chuyển động của bệ máy? b) Giữa bệ máy và nền có ma sát khô với hệ số ma sát trượt động bằng f. Viết phương trình vi phân O c1 c2 chuyển động của bệ máy? Bỏ qua ma sát tại các khớp và trục quay. 19 Bài 2. Tay máy chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Khâu 1 có khối lượng m1 và mômen quán tính khối đối với khối tâm C của nó là J1 b P quay quanh trục ngang qua O cố định. Khâu 2 có khối lượng m2 và mômen quán tính khối đối với khối C2 tâm C2 của nó là J2 và chuyển động F(t) tịnh tiến đối với khâu 1. Tác dụng a một ngẫu lực điều khiển có mômen C1 M(t) lên khâu quay 1 và một lực điều u M(t) khiển F(t) lên khâu 2. Bỏ qua ma sát và lực cản. O ϕ 1) Viết phương trình chuyển động của tay máy theo các tọa độ suy rộng φ và u? 2) Tìm biêu thức của ngẫu lực điều khiển M(t) và lực điều khiển F(t) để điểm mút P của khâu 2 có phương trình chuyển động: x P = (L sin ωt + b) cos Ωt ; yP = (L sin ωt + b) sin Ωt , trong đó L, a, b, Ω, ω là các hằng số đã cho, t là biến thời gian và 0 ≤ Ωt ≤ π /2 . Bài 3. Cho cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Vành tròn đồng chất 2, có bán kính r, khối lượng m lăn không trượt bên trong vành tròn 1 có bán kính R = 3r. Vành 1 được gắn cứng với thanh OA (OA = 3r) có thể quay không ma sát quanh trục ngang qua O và chịu tác dụng của ngẫu lực M. Bỏ qua khối lượng của tay quay OA và vành 1. 1) Viết phương trình vi phân chuyển động của M cơ hệ theo theo các tọa độ suy rộng ϕ, θ , trong O đó ϕ là góc giữa thanh OA với phương đứng, còn θ là góc giữa thanh OA với đường thẳng đứng qua hai tâm C1, C2 của hai vành tròn. 2) Giả sử OA quay đều quanh O với vận tốc góc ω . Hãy tính thành phần tiếp tuyến của phản lực tại điểm tiếp xúc giữa 2 vành tròn theo các tọa độ và vận tốc suy rộng? 20 ϕ 1 A C2 θ C1 2