Nội dung

Câu 1. Lần I rút 2 lá bài trong bộ bài 52 lá để trên bàn. Lần II rút thêm 2 lá nữa để trên bàn. Sau đó khoanh NN 2 lá. X là số lá cơ có trong 2 lá khoanh sau cùng. a/ Tìm phân phối XS của X b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 con cơ. Giải Thực chất rút 2 lần (2 lá, 2 lá) thì tương đương với rút 1 lần 4 lá. Gọi Aj là biến cố trong 4 lá có j lá cơ. Aj = 0,1,2,3,4 j=0,1,2,3,4, hệ Aj là 1 hệ đầy đủ ngoài.Tính P(Aj) P( A0 ) = C130 C394 82251 6327 = = , 4 C52 270725 20825 P( A1 ) = C131 C393 118807 9139 = = , 4 C52 270725 20825 P( A2 ) = C132 C392 57798 4446 = = , 4 C52 270725 20825 P( A3 ) = 1 C133 C39 11154 858 = = , 4 C52 270725 20825 P( A4 ) = C134 C390 715 55 = = , P( A0 ) + P( A1 ) + P( A2 ) + P( A3 ) + P( A4 ) =1 4 C52 270725 20825 a/ Tìm phân phối XS của X= 0, 1, 2. Bây giờ có 4 lá bài trên bàn, rút 2 trong 4 lá. Với X= k= 0, P( X = 0 ) = P( A0 ) P  X = 0  + P( A1 ) P  X = 0  + P( A2 ) P  X = 0  + P( A3 ) P  X = 0  + A0  A1  A2  A3      P( A4 ) P  X = 0  A4   C1 3 1 C2 P  X = 0  = 42 = 1 , P  X = 0  = 32 = = , A0  C A1  C   6 2 4 4 C2 1 P  X = 0  = 22 = , P  X = 0  = 0 , P  X = 0  = 0 A2  C A3  A4     6 4 P(X = 0) = 0.3038 + 0.2194 + 0.0356 + 0 = 0.5588 Với X = k tổng quát, Do ta xét trong 2 lá rút lần II có k lá cơ. k 2− k  X = k  = C i C 4 −i P Ai (4 lá) = (4- i, i lá cơ )  Ai   C 44 Suy ra P(X=1) = 0 + 0.2194 + 0.1423 + 0.0206 + 0 = 0.3824 P(X=2) = 0 + 0.0356 + 0.0206 + 0.0206 + 0.0026 = 0.0588 P(X=3) = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0= 0.0 P(X=4) = 0 + 0 + 0 +0 + 0 + 0= 0.0 Nhận xét: P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4) = 0.5588 + 0.3824 + 0.0588 + 0 + 0= 1 b/ Tính XS trong 2 lá đó chỉ có 1 lá cơ = P(X=1) = 0.3824. BÀI 3 Gọi Ai là biến cố lần I có i lá cơ, i = 0, 1 ,2 C130 C 392 741 P(A0)= = 2 1326 C 52 1 1 C13 C 39 507 P(A1)= = 2 1326 C 52 C132 C 390 78 P(A2)= = 2 1326 C 52 Gọi B là biến cố lần II rút được lá cơ khi lần I rút 2 lá cơ A C111 11 P( )= 1 = A2 C 50 50 Gọi A là biến cố rút 3 lá cơ A P(A) = P( A2 )P( A ) = 2 78 11 11 • = 850 1326 50 b/ B là biến cố rút lần II có 1 lá cơ với không gian đầy đủ Ai,i=0,1,2 B B B 0 1 2 P(B) = P( A0 )P( A ) + P( A1 )P( A ) + P( A2 )P( A ) B C131 13 Trong đó P( )= 1 = A0 C 50 50 1 B C12 12 P( A ) = 1 = 1 C 50 50 B C111 11 P( ) = 1 = A2 50 C 50 P(B)= 507 12 741 13 1 78 11 × × × + + = = 0.25 4 1326 50 1326 50 1326 50 c/ Ta tính XS đầy đủ trong A P( 0 B )= P( A0 ) P( B 741 13 ) × A0 = 1326 50 = 0.581 P( B) 507 0.25 78 11 × A2 1326 50 = 0.052 P( ) = B 0.25 12 A × P ( 1 ) = 1326 50 = 0.367 B 0.25 Kì vọng Mx = (−1) ×0.581 + 2 × 0.367 + 5 ×0.052 = 0.413 Vậy trong trò chơi tôi có lợi. Bài 4: Một hộp đựng 5 chai thuốc trong đó có 1 chai giả. người ta lần lượt kiểm tra từng chai cho tới khi phát hiện được chai thuốc giả thì thôi( giả thiết các chai phải qua kiểm tra mới xác định được là thuốc giả hay thật). Lập luật phân phối xác suất của số chai được kiểm tra. Bài giải: X PX P[X=1] = 1 0.2 2 0.16 3 0.128 1 = 0,2 5 P[X=2] = P[ A1 .A2 ] = 0,8.0,2 = 0,16 P[X=3] = P[ A1 . A2 . A3 ] =0,8.0,8.0,2 = 0,128 P[X=4] = P[ A1 . A2 . A3 . A4 ] = 0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,1024 4 0.1024 5 0.4096 P[X=5] = P[ A1 . A2 . A3 . A4 . A5 ] =0,8.0,8.0,8.0,8.0,2 = 0,4096 Câu 5: Ba người cùng làm bài thi. Xác suất làm được bài của sinh viên A là 0,8; của sinh viên B là 0,7; của sinh viên C là 0,6. Xác suất để có 2 sinh viên làm được bài. Bài làm: Gọi A, B, C lần lượt là xác suất làm được bài của 3 sinh viên A, B, C. D là xác suất có 2 sinh viên làm được bài. A=0,8; B=0,7; C=0,6. Ta có: D = (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C ) P =P +P +P (D) (A∩B∩C) (A∩ B∩C) (A∩B∩ C ) Vì A, B, C độc lập nên: P = P .P .P + P .P .P + P .P .P (D) (A) (B) (C) (A) (B) (C) (A) (B) (C ) = 0,2.0,7.0,6 + 0,8.0,3.0,6 + 0,8.0,7.0,4 = 0,451. Vậy xác suất để có 2 sinh viên làm được bài là : 0,451. Câu 6. Chia ngẫu nhiên 9 hộp sữa (trong đó có 3 hộp kém phẩm chất) thành 3 phần bằng nhau. Xác suất để trong mỗi phần đều có 1 hộp sữa kém chất lượng. Bài Giải Gọi Ai là hộp thứ i có đúng một sản phẩm xấu: C = A1∩A2∩A3 (với i = 3) Vậy xác suất để trong mỗi phần đều có một sản phẩm kém chất lượng là: P(C) = P(A1).P(A2/A1).P(A3/A1∩A2) = C62C31 C42C21 15.3.6.2 9 . 3 .1 = = . 3 C9 C6 84.20 28 Bài 7: Một trò chơi có xác suất thắng mỗi ván là 1/50. Nếu mộtngười chơi 50 ván thì xác suất để người này tháng ít nhất một ván. Bài giải Xác suất thắng mỗi ván: p = 150 = 0.02 Ta có xác suất để người ấy chơi 50 ván mà không thắng ván nào: Goi X là số lần thành công trong dãy phép thử Becnuli: X ~ B(50,0.02) ⇒ P ( X = 0) = C 500 0.02 0 0.98 50 = 0.364 ⇒ Xác suất để người chơi 50 ván thì thắng ít nhất một ván là: P = 1 – 0.364 = 0.6358 Câu 8. Một phân xưởng có 40 nữ công nhân và 20 nam công nhân. Tỷ lệ tốt nghiệp phổ thông đối với nữ là 15%, với nam là 20%. Chọn ngẫu nhiên 1 công nhân của phân xưởng. Xác suất để chọn được công nhân tốt nghiệo phổ thông trung học Giải: Số công nhân của phân xưởng tốt nghiệp trung học phổ thông là: Đối với nữ: 40x15% = 6 người Đối với nam: 20x20% = 4 người Tổng số công nhân tốt nghiệp phổ thông trung học của phân xưởng là: 6 + 4 = 10 người Xác suất để chọn được công nhân tốt nghiệp trung học phổ thông là: C101 10 1 = = 1 60 6 C 60 Bài 9 Trong hộp I có 4 bi trắng và 2 bi đen ,hộp II có 3 bi trắng và 3 bi đen .Các bi có kích cỡ như nhau chuyển 1 bi từ hộp II sang hộp I ,sau đó lấy ngẫu nhiên 1 bi từ hộp I .Xác suất để lấy ra bi trắng. Giải Gọi A1: là bi trắng lấy từ hộp II sang hộp I A2 : là bi đen lấy từ hộp II sang hộp I C : lấy viên bi cuối cùng là bi xanh Áp dụng cong thức xác suất đầy đủ P(C)= P(A1).P( C/A1)+P(A2).P(C/A2) P(A1)= 1 2 P(A2) = 1 2 P(C/A1)= 3 7 P(C/A2)= 5 7 1 3 1 5 8 4  P(C)= . + . = = 2 7 2 7 14 7  BÀI 10 Gọi Ai la phần i có 1 bi đỏ. A là bc mỗi phần có 1 bi đỏ 1 3 1 3 A3 A2 CC CC A=A1A2A3==> P(A1A2A3) = P(A1)P( )P( )= 3 4 9 • 2 4 6 • 1 =0.2857 A1 A1 A2 C12 C8 Bài 11: Một lô hàng do 3 nhà máy I, II, III sản xuất. tỷ lệ sản phẩm do 3 nhà máy sản xuất lần lượt là 30%, 20%, 50% và tỉ lệ phế phẩm tương ứng là 1%, 2%, 3%. chọn ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng. Xác suất để sản phẩm này là phế phẩm? Bài giải: Gọi: A là biến cố sản phẩm được chọn là phế phẩm. Bi sản phẩm được chọn do nhà máy thứ i sản xuất ( i = 1, 2, 3) Vì chỉ lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm nên có { B1, B2, B3} là một hệ đầy đủ. Theo gải thiết ta có: P(B1) = P(B2) = 2 10 P(B3) = 5 10 3 10 Áp dụng công thức xác suất toàn phần ta được: 3 P(A) = ∑ P( B ).P( A / B ) i =1 i i = 3 2 5 .0,01 + .0,02 + .0,03 = 0,022 10 10 10 Câu 12: Có 3 hộp thuốc, hộp I có 5 ống tốt và 2 ống xấu, hộp II có 4 ống tốt và 1 ống xấu, hộp III có 3 ống tốt và 2 ống xấu. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp và từ đó rút ra 1 ống thuốc thì được ống tốt. Xác suất để ống này thuôc hộp II. Bài làm: Gọi Ai là biến cố chọn hộp thứ i (i = 1,3) . B là biến cố chọn 1 ống tốt. Vậy xác suất để B thuộc hộp II là: P (A 2 ∩B) PA = ( 2 B) P (B) Trong đó: 1 3 . = 4. 15 2  4  + Ta có: A1, A2, A3 độc lập P =P .P + (A 2 ∩B) (A2 ) ( B A2 ) = A1 ∩ A2 ∩ A3 = Ω , { A1 , A 2 , A 3 } là hệ đầy đủ. Áp dụng công thức xác suất đầy đủ ta có: P (B) =P .P +P .P +P .P (A1) ( B A ) (A 2 ) ( B A ) (A3 ) ( B A ) 1 2 3 1 5 4 3 74 =  + + = . 37 5 5 105 P 4 (A 2 ∩B) 14 15 PA = ⋅ = = 74 ( 2 B) P 37 (B) 105 Vậy xác suất để ống thuốc được lấy ra thuộc hộp II là: 14 ⋅ 37 Câu 13. Trong một lô hàng có 800 sản phẩm loại 1 và 200 sản phẩm loại 2. Lấy ngẫu nhiên ra 5 sản phẩm có hoàn lại. Gọi X là số sản phẩm loại 1 lấy được. a) X tuân theo quy luật nào? Viết biểu thức xác suất tổng quát của quy luật. b) Tính kỳ vọng và phương sai cua X. c) Tìm số sản phẩm trung bình được lấy ra và tính khả năng để xảy ra điều đó. Bài Giải a) X tuân theo luật phân phối nhị thức. Biểu thức tổng quát X được gọi là có phân phối nhị thức ký hiệu là X : β( n,p) Có hàm xác suất: P ( X = k ) = Cnk . p k .q n − k Với ( q = 1− p ) k = { 0,1, 2,..., n} , p ∈ (0;1) b) Kỳ vọng và phương sai của X Kỳ vọng: X PX 1 0,0062 2 0,0508 3 0,2050 4 0,4106 7 8 6 3 5 0,32686 E(X)= 1.0,00627+2.0,05088+3.0,20506+4.0,41063+5.0,32686 =4,00003 Phương sai: X2 1 4 9 16 25 PX 2 0,0062 0,0508 0,2050 0,4106 7 8 6 3 0,32686 2 E(X )= 1.0,00627+4.0,05088+9.0,20506+16.0,41063+25.0,32686 =16,79691 D( X ) = E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = 16, 79691 − (4, 00003) 2 = 0, 79667 Bài 14: Ba công nhân cùng làm ra một loại sản phẩm, xác suất đề người thứ 1, 2, 3 làm ra chính phẩm tưng ứng là 0.9, 0.9, 0.8. Có một người trong đó làm ra 8 sản phẩm thấy có 2 phế phẩm. Tìm XS để trong 8 sản phẩm tiếp theo cũng do người đó làm ra sẽ có 6 chính phẩm. Bài giải Gọi Ai là các sản phẩm do công nhân thứ i sản xuất, i = 1, 2, 3       P(A)= P(A1)P  A A  + P(A2)P  A A  + P(A3)P  A A   = 1   2   3  1 6 1 1 C8 (0.9) 6 (0.1) 2 + C86 (0.9) 6 (0.1) 2 + C86 (0.8) 6 (0.2) 2 = 0.2 3 3 3 (*) Sau khi A xảy ra, xác suất của nhóm đầy đủ đã phân bố lại như sau, biểu thức (*) cho     ta P  A A  = 0.248 ≈ 0.25, tương tự P  A A  = 0.248 ≈ 0.25,  1   2    tương tự P  A A  = 0.501 ≈ 0.5  3  Gọi B là biến cố 8 sản phẩm tiếp theo cũng do công nhân đó sản xuất và có 2 phế phẩm.  P(B) = P  A  B A  B    P P A  P  B P P A1   AA1  +  A2   AA2  +  A3   AA3  6 2 6 2 6 2 = 0.25 × C86 ( 0.9) ( 0.1) + 0.25 × C86 ( 0.9) ( 0.1) + 0.25 × C86 ( 0.8) ( 0.2) = 0.23 Câu 15: Luật phân phối của biến (X, Y) cho bởi bảng: 20 40 60 X 10 λ λ 0 20 2λ λ λ 30 3λ λ λ Y Xác định λ và các phân phối X, Y? Giải: Các phân phối X, Y: X PX Y PY 10 2λ 20 6λ 20 4λ 40 3λ λ Xác định λ: 11 λ = 1 ⇒ λ = 1/11 Câu 16. (X,Y) là cặp BNN có hàm mật độ đồng thời: 6 − x − y ,0 < x < 2,2 < y < 4  f ( x, y )  8 0 Tính P(1

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.