Bài tập Topo.pdf (đố vui toán học)

Lêi nãi ®Çu T«p« lµ m«n häc c¬ së cña Gi¶i tÝch hiÖn ®¹i, tµi liÖu viÕt vÒ nã rÊt nhiÒu song rÊt Ýt tµi liÖu cã c¸c bµi tËp kÌm theo lêi gi¶i chi tiÕt minh ho¹ cho m«n häc hÊp dÉn nh−ng t−¬ng ®èi trõu t−îng nµy. Nh»m gióp cho mét sè b¹n häc viªn Cao häc To¸n c¸c kho¸ sau (KÓ tõ khãa 10) häc tËp ®ì vÊt v¶ vµ c¶m thÊy thó vÞ h¬n m«n T«p«. Dùa vµo ch−¬ng tr×nh häc T«p« ®¹i c−¬ng cña Cao häc 10 To¸n, t¸c gi¶ thèng kª vµ gi¶i c¸c bµi tËp T«p« ®· gÆp trong ch−¬ng tr×nh häc. §a sè c¸c lêi gi¶i tr×nh bµy chi tiÕt, cã nh÷ng bµi tËp hay t¸c gi¶ tr×nh bµy nhiÒu c¸ch gi¶i ®Ó b¹n ®äc tham kh¶o. V× n¨ng lùc cßn h¹n chÕ vµ ®©y chØ lµ c¸c lêi gi¶i mang tÝnh chñ quan cña t¸c gi¶, ®iÒu kiÖn vËt chÊt kh«ng cho phÐp, nªn chØ cã thÓ tr×nh bµy ®−îc c¸c bµi to¸n s¸t víi Bµi gi¶ng cña PGS TS TrÇn V¨n ¢n cho Häc viªn cao häc To¸n kho¸ 9-10 §H Vinh. Ch¾c ch¾n sÏ kh«ng tr¸nh khái thiÕu sãt, song còng mong nhËn ®−îc sù ñng hé, ý kiÕn ®ãng gãp cña b¹n ®äc quan t©m ®Õn T«p«. Cuèn s¸ch gåm bèn phÇn chÝnh: I. Kh«ng gian T«p« II. Kh«ng gian Mªtric III. Kh«ng gian Compact IV. Kh«ng gian Liªn th«ng Nh©n ®©y còng xin ®−îc c¶m ¬n anh NguyÔn Hång C−êng HV CH10 To¸n ®· ®Ò nghÞ t¸c gi¶ hoµn thµnh tµi liÖu nµy. Vinh, ngµy 30 th¸ng 04 n¨m 2003 Ng« Quèc Chung12 Tr−êng PTDL Hermann Gmeiner Vinh, NghÖ An 1 2 Email: nqchungv@yahoo.com Mobile: 0906236777 1 2 Kh«ng gian t«p« Bµi 1 : Cho kh«ng gian t«p« X, E lµ tËp con cña X ta lu«n cã: a ) E ®ãng ⇔ E ⊂ E b ) E =E ∪E c ) intE lµ tËp më lín nhÊt chøa trong E d ) E lµ tËp ®ãng nhá nhÊt chøa E e ) E lµ tËp më ⇔ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E Chøng minh a) Gi¶ sö E ®ãng mµ E ⊂ E ⇒ ∃ ®iÓm x ∈ E mµ x ∈ E ⇒ x ∈ X\E l¹i do E ®ãng ⇒ X\E më ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho x ∈ U ⊂ X\E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ tr¸i víi gi¶ thiÕt x ∈ E ⇒ E ⊂ E Gi¶ sö E ⊂ E ⇒ ∀x ∈ X\E th× x ∈ E ⇒ ∃ l©n cËn U cña x sao cho U ∩ E\{x} = ∅ ⇒ U ∩ E = ∅ (v× x ∈ E) ⇒ U ⊂ X\E ⇒ X\E më ⇒ E ®ãng b) Gi¶ sö x ∈ E ∪ E ⇒ x ∈ E hoÆc x ∈ E . NÕu x ∈ E râ rµng x ∈ E. NÕu x ∈ E ⇒ ∀ l©n cËn U cña x th× ta cã U ∩ E\{x} = ∅ vµ E\{x} ⊂ E\{x} ⇒ U ∩ E\{x} = ∅ ⇒x∈E ⊂E ⇒E∪E ⊂E Gi¶ sö x ∈ / X\E ∪ E ⇒ x ∈ / E ⇒ tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho U ∩ E\{x} = ∅ mµ x ∈ / E ⇒ U ∩ E = ∅ ⇒ X\{E ∪ E } lµ tËp më mµ E ⊂E∪E ⇒E ⊂E∪E c) Ta sÏ chøng minh r»ng mäi tËp më n»m trong E ®Òu n»m trong intE. ThËt vËy: Gi¶ sö U lµ tËp më bÊt k× sao cho U ⊂ E ⇒ ∀x ∈ U th× x ∈ U ⊂ E ⇒ E lµ l©n cËn cña x ⇒ x lµ ®iÓm trong cña E ⇒ x ∈ intE ⇒ U ⊂ intE 3 nqchungv@yahoo.com 4 B©y giê ta chøng minh intE lµ tËp më ®Ó hoµn thµnh chøng minh. Víi mäi x ∈ intE ⇒ E lµ l©n cËn cña x ⇒ ∃ U më ®Ó x ∈ U ⊂ E ⇒ U ⊂ intE ⇒ intE lµ tËp më d) Theo ®Þnh nghÜa e) Râ rµngE më ⇒ E lµ l©n cËn cña ∀x ∈ E Gi¶ sö E lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã⇒ ∀x ∈ E, ∃ Ux lµ tËp më sao cho {x} ⊂ Ux ⊂ E ⇒ E = Ux E x ∈ Ux ⊂ E ⇒ E = x∈E ⇒E x∈E x∈E lµ tËp më Bµi 2 : Mçi kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø hai lµ kh¶ ly. Chøng minh C¸ch 1: V× X lµ kh«ng gian tho¶ m·n tiªn ®Ò ®Õm ®−îc thø 2, nªn trong X cã c¬ së Ω = {Un }n∈N ®Õm ®−îc Víi mçi n ∈ N ta lÊy t−¬ng øng mét xn ∈ Un , vµ ®Æt tËp F = {xn }n∈N Râ rµng F lµ tËp ®Õm ®−îc, b©y giê ta sÏ chøng minh F̄ = X. ThËt vËy: Ta cã (X\F ) ∩ F = ∅ Gi¶ sö (X\F ) = ∅ ⇒ ∃x ∈ X\F , v× X\F më ⇒ ∃Un0 ∈ Ω sao cho x ∈ Un0 ⊂ X\F Lóc ®ã tån t¹i xn0 ∈ F sao cho xn0 ∈ Un0 ⊂ X\F ⇒ n0 ∈ X\F ∩ F §iÒu nµy tr¸i víi (1) vËy X\F = ∅ ⇒ X = F C¸ch 2: Gäi Ω = {Un }n∈N lµ c¬ së ®Õm ®−îc cña X. Ta ®Æt tËp F = {xn }n∈N trong ®ã mçi xn ®−îc lÊy ra t−¬ng øng trong mét tËp Un . Gi¶ sö V lµ mét tËp më bÊt kú trong X ⇒ V = ∪{Uα : Uα ∈ Ω} ⇒ ∃Uα0 ⊂ V ⇒ ∃xα0 ∈ F sao cho xα0 ∈ Uα0 ⊂ V ⇒ F ∩ V = ∅ ⇒ F̄ = X (1) nqchungv@yahoo.com 5 Bµi 3 : (a) Giao cña mét hä t«p« tuú ý trªn X lµ mét t«p« trªn X (b) Hîp cña hai t«p« trªn X cã thÓ kh«ng lµ t«p« trªn X (c) §èi víi mét hä tuú ý c¸c t«p« trªn X, tån t¹i mét t«p« duy nhÊt, mÞn nhÊt trong c¸c t«p« th« h¬n mäi t«p« cña hä ®ã, vµ tån t¹i t«p« duy nhÊt, th« nhÊt trong c¸c t«p« cña hä. Chøng minh (a) §iÒu nµy dÔ dµng chøng minh nhê vµo ®Þnh nghÜa, xin dµnh cho b¹n ®äc (b) Ta sÏ chØ ra mét tËp X cã hai t«p« trªn nã mµ hîp cña hai t«p« nµy kh«ng ph¶i lµ mét t«p« trªn X Chän tËp X = {a, b, c}. Víi hai t«p« lµ Ω1 = {∅, {a, c}, {a, b, c}} Ω2 = {∅, {b, c}, {a, b, c}} DÔ dµng thö thÊy Ω1 vµ Ω2 lµ c¸c t«p« trªn X. Lóc ®ã Ω = Ω1 ∪ Ω2 = {∅, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}} kh«ng ph¶i lµ mét t«p« trªn X. ThËt vËy: {a, c}; {b, c} ∈ Ω nh−ng {a, c} ∩ {b, c} = {c} ∈ Ω (c) Gäi U = {Uα }α∈I lµ mét hä c¸c t«p« trªn X §Æt < T = Uα α∈I ta sÏ chøng minh T lµ t«p« mÞn nhÊt trong c¸c t«p« th« h¬n mäi t«p« cña hä U. ThËt vËy, gi¶ sö U lµ mét t«p« bÊt k× th« h¬n c¸c t«p« cña hä U ⇒ U ⊂ Uα , ∀α ⇒ U ⊂ Gäi hä t«p« < α∈I Uα = T ⇒ T mÞn h¬n U ⇒ (®pcm ) β = {T : T mÞn h¬n mäi t«p« cña hä U} §Æt T= < T T ∈β Ta sÏ chøng minh T lµ t«p« th« nhÊt trong c¸c t«p« mÞn h¬n mäi t«p« cña hä U. ThËt vËy Gi¶ sö U lµ t«p« bÊt kú mÞn h¬n mäi t«p« cña hä U ⇒ U = Tβ0 nµo ®ã nqchungv@yahoo.com 6 ⇒ U ⊃ T ⇒ T th« h¬n U ⇒ (®pcm) Chó ý: Tõ chøng minh trªn cho ta thÊy giao cña mét hä c¸c t«p« lµ mét t«p« nh−ng hîp cña mét hä c¸c t«p« nãi chung kh«ng ph¶i lµ mét t«p«. Bµi 4 : (a) Gi¶ sö ( X, T ) lµ kh«ng gian t«p«; ®èi víi mçi x ∈ X, ký hiÖu Ux lµ hä c¸c l©n cËn cña nã. Khi ®ã : 1) NÕu U ∈ Ux th× x ∈ U 2) NÕu U vµ V lµ c¸c phÇn tö cña Ux th× U ∩ V ∈ Ux 3) NÕu U ∈ Ux vµ U ⊂ V th× V ∈ Ux 4) NÕu U ∈ Ux th× t×m ®−îc phÇn tö V ∈ Ux sao cho V ⊂ U vµ V ∈ Uy víi mçi y ∈ V (nãi c¸ch kh¸c, tËp V lµ l©n cËn cña mäi ®iÓm thuéc nã) (b) NÕu hµm U lËp t−¬ng øng mçi ®iÓm tuú ý x ∈ X víi hä Ux nµo ®ã vµ tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1), 2), vµ 3) th× hä T c¸c tËp sao cho U ⊂ Ux nÕu x ∈ U , lµ t«p« nµo ®ã trªn X. NÕu ®iÒu kiÖn 4) còng ®−îc thùc hiÖn, th× Ux ®óng lµ hÖ l©n cËn cña x ®èi víi t«p« T . Chøng minh (a) Ta cã: 1) Gi¶ sö U ∈ Ux ⇒ U lµ l©n cËn cña x theo ®Þnh nghÜa l©n cËn⇒ ∃ tËp më V sao cho: x∈V ⊂U ⇒x∈U 2) Gi¶ sö U vµ V ∈ Ux suy ra tån t¹i c¸c tËp më Ux vµ Vx sao cho x ∈ Ux ⊂ U vµ x ∈ Vx ⊂ V ⇒ x ∈ Ux ∩ Vx ⊂ U ∩ V mµ Ux ∩ Vx më ⇒ U ∩ V ∈ Ux 3) Gi¶ sö U ∈ Ux ⇒ vµ V lµ tËp bÊt kú sao cho U ⊂ V . V× U lµ l©n cËn cña x nªn tån t¹i tËp më Ux sao cho x ∈ Ux ⊂ U ⇒ x ∈ Ux ⊂ V ⇒ V ∈ Ux 4) Gi¶ sö U ∈ Ux lóc ®ã tån t¹i tËp më V sao cho x ∈ V ⊂ U . Ta sÏ chøng minh r»ng V ∈ Uy víi mäi y ∈ V . ThËt vËy: Víi mçi ®iÓm y ∈ V lóc ®ã tån t¹i tËp V më ®Ó y ∈ V ⊂ V ⇒ V lµ l©n cËn cña y ⇒ V ∈ Uy (b) Víi T = {U : U ∈ Ux nÕu x ∈ U } Ta sÏ chøng minh T lµ mét t«p« trªn X. ThËt vËy: i) Râ rµng ∅, X ∈ T ii) Gi¶ sö {Ui }i∈I lµ mét hä bÊt k× thuéc T ⇒ tån t¹i mét Ui0 ⊂ Ui , nªn theo tiªn ®Ò 3) ⇒ Ui ∈ T i∈I iii) Gi¶ sö U, V ∈ T theo tiªn ®Ò 2) ⇒ U ∩ V ∈ T VËy T lµ mét t«p« trªn X i∈I nqchungv@yahoo.com 7 Víi Ux tho¶ m·n thªm ®iÒu kiÖn 4) ta chøng minh T lµ hä l©n cËn cña x ®èi víi t«p« T . ThËt vËy: Gi¶ sö U ∈ Ux theo tiªn ®Ò 4) tån t¹i V ∈ T sao cho x∈V ⊂U ⇒ Ux lµ mét hÖ l©n cËn cña x ®èi víi t«p« T Bµi 5 : Gi¶ sö i lµ to¸n tö chuyÓn tËp con cña X thµnh tËp con cña X vµ T lµ hä c¸c tËp con sao cho Ai = A Víi ®iÒu kiÖn nµo, T sÏ lµ t«p« vµ (®ång thêi i lµ to¸n tö phÇn trong ®èi víi t«p« nµo ®ã. Chøng minh I. Gi¶ sö i lµ to¸n tö phÇn trong cña X vµ T = {A ⊂ X : Ai = A} §Ó T lµ mét t«p« trªn X ta cho i tho¶ m·n c¸c tiªn ®Ò sau: 1)X i = X 2)Ai ⊂ A i 3)(Ai ) = X 4)Ai ∩ B i = (A ∩ B)i Ta sÏ chøng minh T lµ mét t«p«. ThËt vËy: i) HiÓn nhiªn X ∈ T , l¹i cã ∅i ⊂ ∅ (theo tiªn ®Ò 2) vµ ∅ ⊂ ∅i (∅ lµ tËp con cña mäi tËp con cña X) ⇒ ∅i = ∅ ⇒ ∅ ∈ T ii) Tr−íc hÕt ta chøng minh bæ ®Ò sau : ” NÕu A ⊂ B th× Ai ⊂ B i ” ThËt vËy A ⊂ B ⇔ A = A ∩ B ⇒ Ai = Ai ∩ B i (theo 3)⇒ Ai ⊂ B i Gi¶ sö {Aα }α∈I lµ hä bÊt k× trong T ta sÏ chøng minh Aα ∈ T tøc ta chøng minh Aα = ( Aα )i α∈I α∈I Râ rµng ( α∈I Ta chØ cÇn chøng minh: α∈I i Aα ) ⊂ Aα ⊂ ( Aα α∈I α∈I Aα )i α∈I nqchungv@yahoo.com Ta cã Aα ⊂ ⇒ iii) α∈I 8 α∈I Aα , nªn theo bæ ®Ò trªn) ⇒ Aiα ⊂ ( Aα = ⇒ Aα = Aiα ⊂ ( α∈I Aiα ⊂( α∈I α∈I i Aα ) ⇒ Aα )i Aα )i α∈I Aα )i α∈I Aα ⊂ ( Gi¶ sö A, B lµ hai tËp bÊt k× thuéc lóc ®ã ta cã: α∈I Ai ∩ B i = A ∩ B vµ Ai ∩ B i = (A ∩ B)i (theo tiªn ®Ò 4) ⇒ Ai ∩ B i = A ∩ B ⇒ A ∩ B ∈ T II. B©y giê ta sÏ chøng minh ∀F ⊂ X th× F i trïng víi F o Gi¶ sö F lµ tËp con bÊt k× cña X. V× F o lµ tËp më ⇒ F o ∈ T ⇒ (F o )i = F o L¹i do F o ⊂ F ⇒ F o = (F o )i ⊂ F i (theo bæ ®Ò trªn) ⇒ Fo ⊂ Fi L¹i cã (F i )i = F i (theo tiªn ®Ò 3) ⇒ F i ∈ T mµ F i ⊂ F ⇒ Fi ⊂ Fo Tõ (1) vµ (2) ⇒ F o = F i (1) (2) Bµi 6 : Kh«ng gian t«p« ®−îc gäi lµ T1 - kh«ng gian khi vµ chØ khi mçi tËp mét ®iÓm lµ tËp ®ãng. Chøng minh r»ng: (a) Trªn mçi tËp X cã mét t«p« th« nhÊt T duy nhÊt sao cho (X, T ) lµ T1 kh«ng gian. (b) NÕu tËp X v« h¹n vµ T lµ t«p« th« nhÊt sao cho (X, T ) lµ T1 - kh«ng gian th× (X, T ) liªn th«ng. (c) NÕu (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian th× tËp c¸c ®iÓm giíi h¹n cña tËp con tuú ý lµ tËp ®ãng. KÕt qu¶ m¹nh h¬n : §Þnh lý Yang: §Ó tËp giíi h¹n cña tËp con tuú ý lµ tËp ®ãng, cÇn vµ ®ñ lµ tËp giíi h¹n cña tËp {x} lµ tËp ®ãng, trong ®ã x lµ ®iÓm tuú ý cña tËp X. Chøng minh (a) C¸ch 1: Gi¶ sö {Tα }α∈I lµ hä tÊt c¶ c¸c t«p« T1 -kh«ng gian trªn tËp X. §Æt < T = Tα α∈I nqchungv@yahoo.com 9 ta sÏ chøng minh T lµ t«p« th« nhÊt duy nhÊt sao cho (X, T ) lµ T1 - kh«ng gian. B¹n ®äc tù chøng minh dùa vµo c©u A. C¸ch 2: §Æt T = {∅, X, X\F : F lµ tËp con h÷u h¹n cña X} . Ta cã: i) Râ rµng ∅, X ∈ T theo ®Þnh nghÜa T ii) Gi¶ sö {Uα }α∈Λ lµ hä bÊt kú thuéc T ⇒ Uα = X\Fα trong ®ã Fα h÷u h¹n, víi mäi α. Ta cã: < Uα = (X\Fα ) = X\( Fα ) α∈Λ α∈Λ α∈Λ mÆt kh¸c Fα h÷u h¹n ⇒ < α∈Λ Fα h÷u h¹n ⇒ α∈Λ Uα ∈ T iii) U, V lµ hai tËp bÊt kú thuéc T , khi ®ã ∃Fu , Fv h÷u h¹n sao cho U = X\Fu , V = X\Fv Ta cã: U ∩ V = (X\Fu ) ∩ (X\Fv ) = X\(Fu ∪ Fv ) mµ Fu ∪ Fv h÷u h¹n ⇒ U ∩ V ∈ T . VËy T lµ mét t«p« trªn X. B©y giê ta chøng minh (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian th« nhÊt. ThËt vËy: V× {x} h÷u h¹n ⇒ X\{x} ∈ T ⇒ X\{x} më ⇒ {x} lµ tËp ®ãng ⇒ (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian. Gi¶ sö (X, U) lµ T1 -kh«ng gian bÊt kú. Ta cã: ∀V ∈ T ⇒ V = X\F víi F lµ tËp h÷u h¹n tøc F = {x1 , x2 , ..., xn } n n < X\{xi } ⇒ V = X\{x1 , x2 , ..., xn } = X\( xi ) = ı=1 i=1 Theo gi¶ thiÕt (X, U ) lµ T1 -kh«ng gian ⇒ ∀i = 1, n tËp {xi } ®ãng ⇒ X \xi ∈ U, ∀i = 1, n ⇒ n < i=1 X\{xi } ∈ U ⇒ V ∈ U ⇒ T ⊂ U ⇒ T th« h¬n U Tõ chøng minh trªn còng cho ta tÝnh duy nhÊt cña T nqchungv@yahoo.com 10 (b) §Ó chøng minh X lµ kh«ng gian liªn th«ng ta chøng minh kh«ng tån t¹i mét tËp con thùc sù kh¸c ∅ võa ®ãng võa më cña X. ThËt vËy: Gi¶ sö U lµ tËp con thùc sù, kh¸c rçng më bÊt kú trong X ⇒ U = X\F víi F lµ tËp con h÷u h¹n cña X, v× X v« h¹n ⇒ U = X\F v« h¹n, vËy mäi tËp con kh¸c rçng më cña X ®Òu v« h¹n. L¹i cã X\U = F = ∅ h÷u h¹n ⇒ F kh«ng më ⇒ U kh«ng ®ãng, do U lÊy bÊt kú ⇒ mäi tËp më kh¸c rèng vµ X ®Òu kh«ng ®ãng ⇒ X lµ kh«ng gian kh«ng liªn th«ng. (c) (X, T ) lµ T1 -kh«ng gian. A lµ tËp con bÊt kú cña X. §Ó chøng minh A ®ãng ta sÏ chøng minh X\A më. ThËt vËy: Víi mäi x ∈ X\A ⇒ x ∈ A ⇒ ∃ l©n cËn më U cña x sao cho U ∩ A\{x} = ∅. Gi¶ sö y ∈ U ∩ A . V× X lµ T1 - kh«ng gian⇒ ∃ l©n cËn më V cña y sao cho x ∈ V , do U më y ∈ U ⇒ W = U ∩ V còng lµ l©n cËn më cña y. Vµ W ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ U ∩ A\{y} = ∅ (V× x ∈ W vµ W ⊂ U )⇒ W ∩ A\{y} = ∅ m©u thuÉn víi y ∈ A . VËy U ∩ A = ∅ ⇒ x ∈ U ⊂ X\A ⇒ X\A më ⇒ A ®ãng. B©y giê ta chøng minh ®Þnh lý Yang: HiÓn nhiªn ∀A ⊂ X mµ A ®ãng ⇒ ∀x ∈ X th× {x} ®ãng. Ta sÏ chøng minh nÕu {x} ®ãng víi mäi x ∈ X th× A ®ãng víi mäi A ⊂ X. ThËt vËy: ∀x ∈ X th× x ∈ {x} v× nÕu x ∈ {x} ⇒ ∀ l©n cËn U cña x. Ta cã: U ∩ {x}\{x} = ∅ v« lý ⇒ x ∈ X\{x} v× {x} ®ãng ⇒ X\{x} më ⇒ X\{x} lµ l©n cËn cña x víi mäi x ∈ X. Gi¶ sö A lµ tËp con bÊt kú cña X, ∀x ∈ X\A tån t¹i l©n cËn U cña x sao cho U ∩ X\{x} = ∅. Lóc ®ã V = U ∩ X\{x} còng lµ l©n cËn cña x vµ V ∩ X \ { x } = ∅. Ta sÏ chøng minh V ⊂ X\A Mçi y ∈ V nÕu y = x râ rµng y ∈ X\A NÕu y = x, do V ⊂ X\{x} ⇒ y ∈ X\{x} vµ ∃ l©n cËn Vy cña y sao cho Vy ∩ {x}\{y} = ∅ ⇒ V ∩ {x} = ∅ §Æt W = Vy ∩ V ⇒ W lµ l©n cËn cña y vµ W ∩ {x} = ∅ ⇒ W ∩ A\{y} = W \{x} ∩ A\{y} = W ∩ A\{x, y} ⊂ V ∩ A\{x} = ∅ ⇒ W ∩ A\{x} = ∅ ⇒ y ∈ A ⇒ y ∈ X\A ⇒ V ⊂ X\A ⇒ X\A më ⇒ A ®ãng.

Bài tập Topo

Nội dung