Nội dung

Bài Tập Giải Tích Tổ Hợp Dạng 1: Tính số lượng Bài 1: Cho 2 đường thẳng song song (d1) và (d2).Trên d1 có 17 điểm phân biệt ,d2 có 20 điểm phân biệt .Tính số tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 37 điểm trên. Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ .Thầy chủ nhiệm muốn chọn 3 học sinh để tham gia tổ chức lễ khai giảng .Hỏi có bao nhiêu cách a) Chọn ra 3 học sinh trong lớp ? b) Chọn ra 3 hoc sinh trong lớp trong đó có 1 nam và 2 nữ ? c) Chọn ra 3 học sinh trong lớp trong đó có ít nhất 1 nam ? Bài 3: Cho tập A= {1,2,3,….,9}.Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn 600 000 xây dựng từ A Bài 4 : Một trường tiểu học có 50 học sinh đạt danh hiệu cháu ngoan Bác Hồ trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi.Cần chọn ra nhóm 3 học sinh đi dự cháu ngoan Bác Hồ sao cho trong nhóm không có cặp anh em sinh đôi nào cả.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 5: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000? Bài 6: Trên 1 mặt phẳng, 9 đường thẳng song song cắt 10 đường thẳng song song khác thì tạo nên bao nhiêu hình bình hành trên mặt phẳng đó? Bài 7: Xét 9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 và 4 chữ số gồm 2,3,4,5.Hỏi có bao nhiêu số như thế: a) Năm chữ số 1 đứng kề nhau? b) Các chữ số đều xuất hiện tùy ý? Bài 8: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn A,B,C,D,E vào một cái ghế dài sao cho a) Bạn C ở chính giữa ? b) Hai bạn A,E ngồi ở 2 đầu ghế? Bài 9: Cho 5 chữ số 1,2,3,4,5.Tìm tổng của các số gồm 5 chữ số tạo bởi các hoán vị của năm chữ số đó? Bài 10: Trong 1 phòng học có 2 chiếc ghế dài .Người ta cần xếp 10 học sinh gồm 5 nam và 5 nữ vào 2 dãy ghế đó sao cho nam ngoài 1 ghế ,nữ ngồi 1 ghế .Hỏi có bao nhiêu cách xếp? Bài 11: Hỏi từ 10 chữ số 0,1,2,….,9 có thể lập được bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau sao cho trong đó luôn có mặt chữ số 0 và 1? Bài 12: Có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau trong đó luôn có đúng 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ ? Bài 13: Có 9 viên bi xanh ,5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng a) Có bao nhiêu cách chọn 6 viên bi trong đó có đúng 2 bi đỏ? b) Có bao nhiêu cách chon 6 viên bi mà số bi xanh bằng số bi đỏ Bài 14: Trong lớp học có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ.Cần chọn ra 3 học sinh sao cho trong đó có ít nhất 1 cán bộ.Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Bài 15: Có 5 nhà toán học nam ,3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam .Cần lập 1 đoàn công tác gồm có 3 người có cả nam ,nữ ,có cả nhà toán học và nhà vật lý học.Hỏi có bao nhiêu cách? Bài 16: Cho tập hợp gồm 10 phần tử khác nhau .Hỏi có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng gồm số phần tử chẵn? Bài 17:Một lớp học có 30 nam và 16 nữ .Cần 6 học sinh để lập 1 nhóm tốp ca .Hỏi có bao nhiêu cách chọn sao cho: a) Phải có ít nhất 2 nữ b) Có đúng 2 nam Bài 18: Một đội văn nghệ gồm 20 người ,trong đó có 10 nam và 10 nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 người sao cho: a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó? b) Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó? Bài 19: Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người.Trong ngày cần cử 3 người làm nhiệm vụ ở địa điểm A, 2 người làm nhiệm vụ ở địa điểm B, 4 người thường trực ở đồn .Hỏi có bao nhiêu cách phân công? Bài 20: Có bao nhiêu số có 7 chữ số khác nhau bằng cách lập từ các chữ số 1,2,3,4,5,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không đứng kề nhau? Bài 21: Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số khác nhau từ tập A={1,2,3,4,5,6} trong đó chữ số 1 và 6 đều xuất hiện 2 lần ,các chữ số khác có mặt đúng 1 lần Bài 22: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng của các chữ số của mỗi số là số lẽ? Bài 23: Từ 3 chữ số 1,2,3 co thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số mà trong đó có mặt đầy đủ 3 chữ số trên? Bài 24: Xếp 3 viên bi đỏ có kích thướt khác nhau và 3 viên bi xanh kích thướt giống nhau vào 1 dãy gồm 7 ô trống . a) Hỏi có bao nhiêu cách xếp khác nhau? b) Có bao nhiêu cách xếp khác nhau mà sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau? Bài 25: Từ 1 tập thể gồm 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình ,người ta muốn chọn 1 tổ công tác gồm 6 người .Tìm cách chọn trong các trường hợp sau: a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ ? b) Trong tổ có 1 tổ trưởng ,5 tổ viên ,hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ? Bài 26: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn luôn có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1 Bài 27: có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số khác nhau mà chữ số 2 có mặt hai lần ,chữ số 3 xuất hiện ba lần và các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Bài 28: có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một mà tổng của các chữ số này bằng 8 Bài 29: có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau.Tính tổng các chữ số đó? Bài 30: cho tập A= {0,1,2,3,4,5} có bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau sao cho : a) vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 10 b) chia hết cho 6 Dạng 2: Tìm hệ số chứa xktrong một khai triển Bài 1: Tìm số hạng không chứa x của khai triển Newton sau: 12 ⎛ 1⎞ a) ⎜ x + ⎟ ⎝ x⎠ ⎛ 1 4 3⎞ ⎟ b) ⎜ ⎜3 2 + x ⎟ ⎝ x ⎠ 17 5 2⎞ ⎛ Bài 2: Trong khai triển sau: ⎜ 3x 3 − ⎟ x2 ⎠ ⎝ x10 tìm hệ số của số hạng chứa 3n Bài 3: Tổng các hệ số của khai triển 1 ⎞ ⎛ ⎜ 2nx + ⎟ 2nx 2 ⎠ ⎝ bằng 64.Tính số hạng không chứa x n −1 ⎞ ⎛ Bài 4: Tổng các hệ số bậc chẵn trong khai triển của ⎜ 4 x + x 4 ⎟ bằng ⎜ ⎝ ⎟ ⎠ 512. Tính số hạng không chứa x Bài 5: Tổng của hệ số của số hạng thứ 2 và thứ 3 của khai triển sau: n ⎛5 2 1 ⎞ ⎜ x − 6 ⎟ 2 x⎠ ⎝ bằng 25,5 .Tính số hạng độc lập với x Bài 6: Với giá trị bao nhiêu của x thì số thứ tư của khai triển (2 x −1 3 − 2 −x ) m bằng 20m, biết rằng hệ số tổ hợp thư tư trong khai triển gấp 5 lần hệ số tổ hợp thứ hai trong khai triển n Bài 7: Tìm giá trị của x sao cho trong khai triển ⎛ ⎞ ⎜ 2x + 1 ⎟ ⎜ ⎟ 2 x −1 ⎠ ⎝ có số hạng thứ 3 và thứ 5 có tổng bằng 135,các hệ số của ba số hạng cuối của khai triển có tổng bằng 22 Bài 8: Tìm giá trị x sao cho khai triển ⎛ ⎜ 2 ⎝ lg(10−3x ) m ⎞ + 5 2( x−2) lg 3 ⎟ ⎠ sao cho số hạng thứ 6 là 21, các hệ số thứ hai ,ba ,bốn của khai triển là các số hạng thứ nhất ,ba và năm của một cấp số cộng n ⎛ a a 7 ⎞⎟ ⎜ 10 Bài 9: Trong khai triển của + 3 ⎜ b b ⎟⎠ ⎝ có số hạng chứa ab.Tìm số hạng ấy − 28 ⎛ 3 Bài 10: Trong khai triển nhị thức ⎜ x x + x 15 ⎜ ⎝ không phụ thuộc vào x .Biết rằng Cnn + Cnn −1 + Cnn −2 = 79 n ⎞ ⎟ hãy ⎟ ⎠ tìm số hạng Bài 11: Tìm số nguyên dương n sao cho trong khai triển sau n ⎛ 1 ⎞ +3⎟ tỉ số của sồ hạng thứ 4 và số hạng thứ 3 là 3 ⎜ ⎝ 2 ⎠ 2 Bài 12: Với giá trị nào của x thì số hạng thứ 4 của khai 16 triển 5+ 2 x lớn hơn số hạng thứ 3 và thứ 5 Bài 13: Cho P(x) = (1+x) + 2(1+x)2 + 3(1+x)3 +….+ 20(1+x)20 được khai triển dưới dạng P(x) = a0+a1x+a2x2+……+a20x20.Tìm a15 Bài 14: Cho P(x) = (1+2x+3x2)10. Xác định hệ số của x3 trong khai triển của P(x) theo lũy thừa x Bài 15: Cho P(x) = (1+x+x2+x3)10.Tìm hệ số chứa x10 của khai triển ấy Bài 16: Cho P(x) = (1+2x)12 thành dạng a0 + a1x + a2x2 +…..+ a12x12.Tìm max(a1,a2,…,a12) Bài 17: Biết tổng các hệ số của khai triển sau (x2+1)n bằng 1024, hãy tìm hệ số a của số hạng chứa ax12 trong khai triển đó ( ) Dạng 3: Giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình có chứa các công thức tổ hợp ,chỉnh hợp và giai thừa Bài 1: giải các phương trình sau a) b) 7 C +C +C = x 2 1 x 2 x 3 x An4 24 = An3+1 − C nn − 4 23 c) C 1x + 6C x2 + 6C x3 = 9 x 2 − 14 x d) C xx+−12 + 2C x3−1 = 7( x − 1) e) Ax3 − 2C x4 = 3 Ax2 30 x −1 A + 2 P = Px x +1 x −1 f) 7 Axy++11 Px − y g) h) i) j) Px −1 = 79 Px +3 = 720 5 Ax Px −5 Ax5 = 336 x −5 C x −1 Cxx−1 + Cxx−2 + ..... + Cxx−9 + Cxx−10 = 1023 Bài 2 : giải các bất phương trình và hệ sau: C xy+ 1 C xy + 1 C xY − 1 = = a) 6 5 2 1 2 6 3 2 A − A ≤ C x + 10 b) 2x x 2 x c) d) { { 2 Axy + 5C xy = 90 5 Axy − 2C xy = 80 A yx P x −1 + C y−x y = 126 P x + 1 = 720 C xy −1 C xy− 2 + C xy−−22 + 2C xy +1 C xy +1 = = e) 3 2 5 y y −1 y −1 y −1 A x −1 + yA x −1 A C = x = x f) 10 2 1 Dạng 4: Chứng minh các hệ thức giải tích tổ hợp Bài 1: Cho hai số nguyên n và m thỏa mãn 0 < m < n. mC nm = nC nm−−11 Chứng minh rằng Bài 2: Chứng minh rằng: C20n + C22n + .... + C22nn = C21n + C23n + .... + C22nn−1 Bài 3: Tính tổng sau: S = C11 + C11 + C11 + C11 + C11 Bài 4: Chứng minh rằng: 6 7 8 9 10 11 + C11 1 16 316 C160 − 315 C16 + 314 C162 − ...... + 30 C16 = 216 Bài 5: Tính tổng sau: S= C 10 + C 10 Bài 6: Chứng minh rằng: 6 7 + C 108 + C 109 + C 1010 Cnk + 3Cnk −1 + 3Cnk −2 + Cnk −3 = Cnk+3 Bài 7: Chứng minh rằng: C nm = C nm−−11 + C nm−−21 + ..... + C mm −1 + C mm−−11 Bài 8: Chứng minh rằng: Cnk + 4Cnk−1 + 6Cnk−2 + 4Cnk−3 + Cnk−4 = Cnk+4 Bài 9: Chứng minh rằng: 0 2001 1 2000 k 2001−k 2001 0 2002 C2002 C2002 + C2002 C2001 + .....+ C2002 C2002 −k + C2002C1 = 1001.2 Bài 10: Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 2 n−1 − 1 n 1 + C n + Cn + .... + Cn = 2 3 n +1 n +1 Bài 11: Chứng minh rằng: (−1) n n 1 1 0 1 1 1 2 Cn − Cn + Cn − .... + Cn = 2n + 2 2n + 2 2 4 6 Bài 12: Chứng minh rằng: 2.1.Cn2 +3.2.Cn3 +4.3.Cn4 +.....+n.(n −1).Cnn = n(n −1)2n−2 Bài 13: Chứng minh rằng: Cn1 .3n−1 + 2Cn1 .3n−2 + 3Cn1 .3n−3 + ....+ nCn1 = n.4n−1 Bài 14: Tính tổng S= C 2000 + 2C 2000 + 3C 2000 Bài 15: Chứng minh rằng: 0 2 1 2 2 2 n n n 0 1 2 2000 + ..... + 2001C 2000 (C ) + (C ) + (C ) +....+ (Cnn )2 = C2nn