Bài giảng Toán: Chương I. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM.pdf (Hình học không gian)

25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ Chương I KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP PHƯƠNG PHÁP ĐẾM 1.1. Định nghĩa: Một tập hợp là một bộ sưu tập các vật mà ta còn gọi là các phần tử của tập hợp đó. 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.2. Ký hiệu: Ta dùng – các chữ in: A, B, C, ..., X, Y, Z, ... để chỉ các tập hợp. – các chữ nhỏ: a, b, c, ..., x, y, z, ... để chỉ các phần tử. – ký hiệu x ∈ A đểể chỉ x là một phần ầ tử của tập hợp A. Ký hiệu x ∉ A để chỉ x không phải là một phần tử của tập hợp A. 1.3. Biểu diễn một tập hợp: 25/03/2010 3 1)Liệt kê: Các phần tử của tập hợp sẽ được liệt kê đúng một lần giữa hai dấu { }; giữa hai phần tử khác nhau sẽ có dấu ngăn cách (thường là dấu phẩy , hay chấm phẩy ;) nhưng thứ tự giữa các phần tử này là không quan trọng. Ví dụ: A = {1, 2, 3, 4}, N = {0, 1, 2, 3, ...}, Z = {0, ±1, ±2, ...}, ... 4 25/03/2010 5 1 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.3. Biểu diễn một tập hợp: 1.4. Tập hợp rỗng: Tập hợp rỗng, ký hiệu bởi ∅, là tập hợp không chứa phần tử nào. Ví dụ: Các tập hợp A = {x ∈ R | x2 – 4x + 5 = 0} và B = {x ∈ Z | 2x – 1 = 0} đều là các tập hợp rỗng. 2) Nêu tính chất đặc trưng: Tập hợp sẽ được mô tả như là một bộ sưu tập gồm tất cả các phần tử x thỏa mãn tính chất đặc trưng p(x) nào đó dưới dạng: A = {x | p(x)} hay A = {x ∈ B | p(x)}. Ví dụ: 1) Tập hợp A = {x ∈ R | x2 – 4x + 3 = 0} chính là tập hợp A = {1, 3}. 2) Tập hợp các số hữu tỉ được mô tả như sau: Q = { Z, n ≠ 0} 25/03/2010 6 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.5. Tập hợp con và tập hợp bằng nhau: 1.5. Tập hợp con và tập hợp bằng nhau: Cho hai tập hợp A và B. Ta nói: 1) A là tập hợp con của B, ký hiệu A ⊂ B hay B ⊃ A nếu mọi phần tử của A đều là các phần tử của B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B. Ký hiệu A ⊄ B hay B A để chỉ A không phải là tập con của B. 2) A bằng B, ký hiệu A = B, nếu A là tập hợp con của B và ngược lại. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A=B ⇔ (A ⊂ B) và (B ⊂ A) ⇔ (∀x ∈ A, x ∈ B) và (∀x ∈ B, x ∈ A). Ký hiệu A ≠ B để chỉ A không bằng B. Ví dụ: d Xét Xé các á tập ậ hợp h A = {x ∈ R | x2 – 4x + 3 = 0}, B = {x ∈ R | x(x –1)(x – 3) = 0}, C = {0; 1; 2}, D = {0; 1; 2; 3}. Ta thấy A ⊂ B, B ≠ C, C ⊂ D, nhưng B ⊄ A, D ⊄ C. 25/03/2010 8 25/03/2010 7 9 2 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP 1.6. Tập hợp các tập hợp con: Cho tập hợp X. Tập hợp tất cả các tập hợp con của X được ký hiệu là P(X). Như vậy: P(X) = {A | A ⊂ B} Ví dụ: Cho X = {a, b, c}. Ta có: P(X) = {∅; {a}; {b}; {c}; {a, b}; {b, c}; {a, c}; {a, b, c}}. 1.7. Số phần tử của tập hợp hữu hạn: Cho A là tập hợp hữu hạn. Số phần tử của tập A ký hiệu là |A|. Ta có: 1) |A∪B| = |A|+ |B| - |A∩B| . 2) |A×B| = |A| |B| 3) |P (A)| = 2 |A|, P(A) là tập các tập con của A. 25/03/2010 10 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Cho A và B là hai tập hợp con của tập hợp X. 1.9. Phép hợp: 1.8 Phép giao: Phần hợp của A và B, ký hiệu bởi A ∪ B, là tập hợp tất cả các phần tử (của X) thuộc A hay thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A ∪ B = {x ∈ X | x ∈ A hay x ∈ B}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A hay x ∈ B. Suy ra ∀x ∈ X, x ∉ A ∪ B ⇔ x ∉ A và x ∉ B. Phần giao của A và B, ký hiệu bởi A ∩ B, là tập hợp tất cả các phần tử của X vừa thuộc A vừa thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A ∩ B = {x ∈ X | x ∈ A và x ∈ B}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A ∩ B ⇔ x ∈ A và x ∈ B. Suy ra 25/03/2010 ∀x ∈ X, x ∉ A ∩ B ⇔ x ∉ A hay x ∉ B. 12 25/03/2010 11 13 3 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.10. Phép hiệu: 1.11. Phép bù: Phần hiệu của A và B, ký hiệu bởi A \ B, là tập hợp tất cả các phần tử (của X) thuộc A nhưng không thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A \ B = {x ∈ X | x ∈ A và x ∉ B}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A \ B ⇔ x ∈ A và x ∉ B. Suy ra ∀x ∈ X, x ∉ A \ B ⇔ x ∉ A hay x ∈ B. Với A là một tập con của X, phần bù của A trong X, ký hiệu bởi A hay CX(A), là tập hợp X\A. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A = X\A = {x ∈ X | x ∉ A}. Nói cách khác ∀x ∈ X, x ∈ A ⇔ x ∉ A. Suy ra 25/03/2010 ∀x ∈ X, x ∉ A ⇔ x ∈ A. 14 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP Ví dụ: Xét các tập hợp 1.12. Định lý (tính chất của các phép toán): X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}; A = {0; 1; 2; 3}; B = {1; 2; 4; 5}. Cho A, B, C là các tập hợp con của tập hợp X. Khi đó ta có: 1) Tính lũy đẳng: A ∩ A = A và A ∪ A = A 2) Tính giao hoán: A ∩ B = B ∩ A và A ∪ B = B ∪ A. 3) Tính kết hợp: (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) và (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Ta có: A ∩ B = {1, {1 2}; A ∪ B = {0; 1; 2; 3; 4; 5}; A \ B = {0; 3}; B \ A = {4; 5}; CX(A) = {4; 5; 6}; CX(B) = {0; 3; 6}. 25/03/2010 15 16 25/03/2010 17 4 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 1.12. Định lý (tính chất của các phép toán): 1.13. Mở rộng: 4) Tính phân phối: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) và A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) 5) Công thức De Morgan: Cho {Ai}i∈I là một họ các tập hợp. Ta định nghĩa phần giao và phần hợp của họ {Ai}i∈I như sau: Ai = {x ∀i ∈ I , x ∈ Ai } i∈I A ∩ B = A ∪ B & A ∪ B = A ∩ B Ai = {x ∃i ∈ I , x ∈ Ai } 6) Các công thức i∈I A = A & A \ B = A ∩ B 25/03/2010 18 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP TÍCH DESCARTRES 1.13. Mở rộng: 1.14. Định nghĩa: Khi đó ta có công thức De Morgan suy rộng như sau: Cho hai tập hợp A và B. Tích Descartes của A và B, ký hiệu bởi A × B, là tập hợp tất cả các cặp (x, y) có thứ tự x trước, y sau, trong đó x thuộc A và y thuộc B. Như vậy, theo định nghĩa, ta có: A × B = {(x, y) | x ∈ A và y ∈ B}. Nói cách khác (x, y) ∈ A × B ⇔ x ∈ A và y ∈ B. Suy ra (x, y) ∉ A × B ⇔ x ∉ A hay y ∉ B. Ai = i∈I Ai i∈I Ai = i∈I 25/03/2010 19 Ai i∈I 20 25/03/2010 21 5 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ TÍCH DESCARTRES TÍCH DESCARTRES 1.14. Định nghĩa: 1.15. Tích Descartes của n tập hợp: Ta có: Do đó: n Cho { Ai }i =1là một dãy gồm n tập hợp. Ta định nghĩa tích n Descartres của { Ai }i =1 như sau: A1 × A2 × ... × An = {(x1, x2, ..., xn) | ∀1 ≤ i ≤ n, xi ∈ Ai} n n Ai . Ta còn ký hiệu tích Descartes của bởi { Ai }i =1 bởi ∏ i =1 n Ký hiệu A để chỉ tích Descartes A × A × ... × A (n lần). lần) Tức là: An = {(x1, x2, ..., xn) | ∀1 ≤ i ≤ n, xi ∈ A} (x, y) = (x', y') ⇔ x = x' và y = y'. (x, y) ≠ (x', y') ⇔ x ≠ x' hay y ≠ y'. Ký hiệu A2 để chỉ tích Descartes A × A. Tức là: A2 = {(x, {( y)) | x ∈ A vàà y ∈ A} 25/03/2010 22 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ TÍCH DESCARTRES VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 1.16. Mở rộng: 1.17. Định nghĩa: n Cho { Ai }i =1 là một họ các tập hợp. Ta định nghĩa tích n Descartes của họ{ Ai }i =1 như sau: Cho A là một tập hợp khác rỗng. Giả sử, ứng với mỗi x = a ∈ A ta có một mệnh đề p(a). Khi đó, ta nói p = p(x) là một vị từ theo một biến (xác định trên A). Tổng quát, cho A1, A2, A3…là n tập hợp khác rỗng. Giả sử rằng ứng với mỗi (x1,x2,...,xn) = (a1,a2,...,an) ∈A1×A2× ... ×An, ta có một mệnh đề p(a1,a2,.,an). Khi đó ta nói p = p(x1,x2,.,xn) là một vị từ theo n biến (xác định trên A1×A2× ... ×An) ∏ Ai = {( xi )i∈I i∈I 25/03/2010 23 ∀i ∈ I , xi ∈ Ai } 24 25/03/2010 25 6 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ Ví dụ 1: Xét p(n) = “n > 2” là một vị từ một biến xác định trên tập các số tự nhiên N. Ta thấy với n = 3, 4 ta được các mệnh đề đúng p(3), p(4), còn với n = 0, 1 ta được mệnh đề sai p(0), p(1). ụ 2: Ví dụ Xét p(x,y) = “x2 + y = 1” là một vị từ theo hai biến xác định trên R2, ta thấy p(0,1) là một mệnh đề đúng, trong khi p(1,1) là một mệnh đề sai. 1.18. Định nghĩa: 25/03/2010 Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x ∈ A. Khi ấy, i. Phủ định của vị từ p(x) ký hiệu là ¬p(x) là vị từ mà khi thay x bởi 1 phần tử cố định của A thì ta được mệnh đề ¬(p(a)). ii. Phép nối liền (tương ứng nối rời, kéo theo…) của p(x) và q(x) được ký hiệu bởi p(x)∧q(x) (tương ứng là p(x)∨q(x), p(x)→q(x)) là vị từ theo biến x mà khi thay x bởi phần tử cố định a ∈ A ta được mệnh đề p(a)∧q(a) ( tương ứng là p(a) ∨q(a), p(a)→q(a)). 26 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 1.19. Định nghĩa: 1.20. Định lý: Cho p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A. Ta định nghĩa các mệnh đề lượng từ hóa của p(x) như sau: Cho p(x, y) là một vị từ theo hai biến x, y xác định trên A×B, các mệnh đề sau là đúng: i. Mệnh đề “Với mọi x thuộc A, p(x)”, ký hiệu bởi “∀x ∈ A, p(x)”, là mệnh đề được định bởi “∀x ∈ A, p(x)” đúng khi và chỉ khi p(a) luôn đúng với mọi giá trị a ∈ A. ii. Mệnh đề “Tồn tại (ít nhất) (hay có (ít nhất)) một x thuộc A, p(x))” ký hiệu bởi “∃x ∈ A, p(x)”, là mệnh đề được định bởi “∃x ∈ A, p(x)” đúng khi và chỉ khi có ít nhất một giá trị x = a0 nào đó sao cho mệnh đề p(a0) đúng. 25/03/2010 27 i. [∀x ∈ A,∀y ∈ B, p(x, y)] ↔ [∀y ∈ B, ∀x ∈ A, p(x, y)] ii ii. [∃x ∈ A, A ∃y ∈ B, B p(x, ( y)] )] ↔ [∃y ∈ B, B ∃x ∈ A, A p(x, ( y)] )] iii. [∃x ∈ A, ∀y ∈ B, p(x, y)] → [∀y ∈ B, ∃x ∈ A, p(x, y)] 28 25/03/2010 29 7 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 1.21. Định lý: 1.22. Định lý: Trong một mệnh đề lượng từ hoá từ một vị từ theo nhiều biến độc lập, nếu ta hoán vị hai lượng từ đứng cạnh nhau thì: i. i. ∀x ∈ A, p ( x ) ⇔ ∃x ∈ A, p ( x ) ∃x ∈ A, p ( x ) ⇔ ∀x ∈ A, p ( x ) Mệnh đề mới vẫn còn tương đương logic với mệnh ợ g từ nàyy cùngg loại. ạ đề cũ nếu hai lượng ii Phủ định của mệnh đề lượng từ hóa từ vị từ p(x1, x2, ii. ..., xn) có được bằng cách thay lượng từ ∀ bằng lượng từ ∃ và ngược lại, và thay vị từ p(x1, x2, ..., xn) bằng vị từ p ( x 1 , x 2 , . .. , x n ) ii. Mệnh đề mới này sẽ là một hệ quả logic của mệnh đề cũ nếu hai lượng từ trước khi hoán vị có dạng ∃ ∀ 25/03/2010 Với p(x) là một vị từ theo một biến xác định trên A, ta có: 30 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 25/03/2010 31 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ VỊ TỪ VÀ LƯỢNG TỪ 1.23. Quy tắc đặc biệt hóa phổ dụng: 1.24. Quy tắc tổng quát hóa phổ dụng: Nếu một mệnh đề đúng có dạng lượng từ hóa trong đó Nếu trong một mệnh đề lượng từ hóa, khi thay một biến một biến x ∈ A bị buộc bởi lượng từ phổ dụng ∀, khi ấy buộc bởi lượng từ ∀ bằng một phần tử cố định nhưng nếu thay thế x bởi a ∈ A ta sẽ được một mệnh đề đúng. đúng tùy ý của tập hợp tương ứng mà mệnh đề nhận được có chân trị 1 thì bản thân mệnh đề lượng từ hoá ban đầu cũng có chân trị 1. 25/03/2010 32 25/03/2010 33 8 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU ÁNH XẠ ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.25. Định nghĩa: 1.27. Ảnh và ảnh ngược: Cho hai tập hợp X, Y ≠ ∅. Một ánh xạ f từ X vào Y là quy tắc cho ứng với mỗi phần tử x của X một phần tử duy nhất y của Y mà ta ký hiệu là f(x) và gọi là ảnh của x qua ánh xạ f. Ta viết: f:X→Y x f(x) Cho ánh xạ f từ X vào Y và A ⊂ X, B ⊂ Y. Ta định nghĩa: 1) Ảnh của A qua f là tập hợp: f(A) = {y ∈ Y | ∃x ∈ A, y = f(x)} Ta cũng viết: f(A) = {f(x) | x ∈ A} Như vậy theo định nghĩa, ta có: ∀y ∈ Y, y ∈ f(A) ⇔ ∃x ∈ A, y = f(x); ∀y ∈ Y, y ∉ f(A) ⇔ ∀x ∈ A, y ≠ f(x). 1.26. Định nghĩa: Hai ánh xạ f và g từ X vào Y được gọi là bằng nhau nếu: ∀x ∈ X, f(x) = g(x) 25/03/2010 34 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU ÁNH XẠ ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU ÁNH XẠ 1.27. Ảnh và ảnh ngược: 1.27. Ảnh và ảnh ngược: 2) Ảnh ngược hay tạo ảnh của B bởi f là tập hợp: f–1(B) = {x ∈ X | f(x) ∈ B} Như vậy theo định nghĩa, ta có: ∀x ∈ X, x ∈ f–1(B) ⇔ f(x) ∈ B; ∀x ∈ X, x ∉ f–1(B) ⇔ f(x) ∉ B. Chú ý: 1) Ta thường dùng ký hiệu Imf để chỉ tập hợp f(X) và còn gọi là ảnh của f. 2) Với y ∈ B ta dùng ký hiệu f–1(y) thay cho f–1({y}). Đó chính là tập hợp các phần tử x ∈ X thỏa f(x) = y (ta thường gọi đây là tập hợp tất ấ cả các nghiệm x trong X của phương trình f(x) = y). Lưu ý rằng tập hợp f–1(y) có thể rỗng hay khác rỗng (gồm một hay nhiều phần tử). 25/03/2010 35 36 25/03/2010 37 9 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU ÁNH XẠ PHÂN LOẠI ÁNH XẠ 1.28 Định lý: 1 29 Đơn ánh: 1.29. Xét ánh xạ f : X → Y. Giả sử f là một ánh xạ từ X vào Y. Với A1 và A2 là hai tập hợp con tùy ý của X, B1 và B2 là hai tập con tùy ý của Y. Ta có: 1. f(A1 ∪ A2) = f(A1) ∪ f(A2); 2. f(A1 ∩ A2) ⊂ f(A1) ∩ f(A2); 3. f(A1 \ A2) ⊃ f(A1) \ f(A2); 4. f–1(B1 ∪ B2) = f–1(B1) ∪ f–1(B2); 5. f–1(B1 ∩ B2) = f–1(B1) ∩ f–1(B2); 6. f–1(B1 \ B2) = f–1(B1) \ f–1(B2). 25/03/2010 Ta nói f : X → Y là một đơn ánh nếu hai phần tử khác nhau bất kỳ của X đều có ảnh khác nhau, nghĩa là: ∀x, x' ∈ X, x ≠ x' ⇒ f(x) ≠ f(x') Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa. f : X → Y là một đơn ánh ⇔ (∀x, x' ∈ X, f(x) = f(x') ⇒ x = x'). ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) có nhiều nhất một phần tử). ⇔ 38 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ (∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nhiều nhất một nghiệm x ∈ X. 25/03/2010 1. Nhắc lại về tập hợp và ánh xạ PHÂN LOẠI ÁNH XẠ PHÂN LOẠI ÁNH XẠ Xét ánh xạ f : X → Y. Xét ánh xạ f : X → Y. 1 29 Đơn ánh: 1.29. á h 1 30 Toàn 1.30. à ánh: á h Suy ra: f : X → Y không là một đơn ánh ⇔ (∃x, x' ∈ X, x ≠ x' và f(x) = f(x')). ⇔ (∃y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có ít nhất hai nghiệm x ∈ X. Ta nói f : X → Y là một toàn ánh nếu Imf = Y. Những tính chất sau được suy trực tiếp từ định nghĩa. f : X → Y là một toàn ánh ⇔ (∀y ∈ Y, ∃x ∈ X, y = f(x)) ⇔ (∀y ∈ Y, f–1(y) ≠ ∅); ⇔ ∀y ∈ Y, phương trình f(x) = y (y được xem như tham số) có nghiệm x ∈ X. 25/03/2010 39 40 25/03/2010 41 10

Bài giảng Toán: Chương I. PHƯƠNG PHÁP ĐẾM

Nội dung