Nội dung

Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 1 Giới hạn và tính liên tục của hàm số 1.1. Hàm số một biến số 1. Định nghĩa hàm số Cho 2 tập hợp D và E là các tập con của R . Tương ứng f : D → E cho tương ứng mỗi phần tử x ∈ D với duy nhất một phần tử y ∈ E được gọi là hàm số một biến số thực. + Tập D được gọi là miền xác của f. + Tập f(X) được gọi là miền giá trị của f. + x ∈ D được gọi là biến số độc lập ( hay đối số ). + f ( x ), x ∈ D được gọi là biến số phụ thuộc ( hay hàm số ). 2. Đồ thị của hàm số: Gf = {( x, f ( x )) | x ∈ A} + Cách nhận biết đồ thị theo phương pháp kiểm tra đường thẳng đứng: Một đường cong trong mặt phẳng xy là đồ thị của một hàm của x nếu và chỉ nếu đường thẳng song song với Oy cắt đương cong đó tại nhiều nhất một điểm. Đồ thị hàm số Không là đồ thị hàm số 1.2 Giới hạn hàm số: 1. Ví dụ 1: Xét hàm số y = f ( x ) = x 2 − x + 2 . Ta lập bảng các giá trị của hàm số tại những điểm x gần x0 = 2 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Nhận thấy khi x tiến gần đến x0 = 2 thì các giá trị các hàm số f ( x ) tiến gần đến 4. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 4 khi x → x0 = 2 . 2. Định nghĩa giới hạn hàm số Định nghĩa 1: Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn L (hữu hạn) khi x → x0 và viết lim f ( x ) = L nếu với bất kỳ dãy { xn } mà xn → x0 thì lim f ( xn ) = L . x → x0 n →∞ Định nghĩa 2: theo ngôn ngữ δ − ε . lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ > 0 : x − x0 < δ ⇒ f ( x ) − L < ε x → x0 Chú ý + Nếu hàm f ( x ) không thoả mãn định nghĩa, ta nói rằng f ( x ) không có giới hạn khi x → x0 , hoặc lim f ( x ) không tồn tại. x → x0 + Khi tìm giới hạn, ta chỉ quan tâm đến các giá trị “x dần tới x0 ” chứ không phải xét khi x = x0 . Do đó hàm số f ( x ) có thể không xác định tại x = x0 nhưng phải xác định tại các điểm thuộc lân cận của điểm đó. x −1 Ví dụ 2: Hàm số f ( x ) = 2 không xác định tại x = 1. Ta lập bảng tính các giá trị x −1 của f ( x ) khi x → 1. Từ đó xem f ( x ) dần đến giá trị nào. Nhận thấy khi x tiến gần đến x0 = 1 thì các giá trị các hàm số f ( x ) tiến gần đến 0,5. Ta nói rằng hàm số có giới hạn bằng 0,5 khi x → x0 = 1. Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Cách mô tả này chủ yếu cho ta dáng điệu của f(x) khi x gần a, dự đoán giá trị của giới hạn, có lợi về trực giác và phù hợp với mục đích thực hành. Tuy nhiên không chặt chẽ. x −1 1 Sử dụng định nghĩa, chỉ ra rằng lim 2 = . x →1 x − 1 2 Thật vậy, cho trước ε > 0 , chọn δ = ε . Ta có: x −1 < δ thì x −1 1 x −1 − = < x − 1 < ε ( với x trong lân cận của 1). 2 x −1 2 x +1 1 Ví dụ 3: Tìm giới hạn lim cos x →0 x 1 Giải: Đặt f ( x ) = cos . x 1 + Với x = , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 1. 2nπ 1 1 + Với x = , n = 1, 2, 3…thì f ( x ) = 0 . Vậy lim cos không tồn tại. x →0 π x + 2nπ 2 3. Giới hạn ở vô cực Định nghĩa: + lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x > N ⇒ f ( x ) − L < ε . x →+∞ + lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0 , ∃N > 0 đủ lớn, sao cho ∀x < −N ⇒ f ( x ) − L < ε . x →−∞ Ví dụ 4: Chứng minh rằng 1 x =0. 1 . ε2 x 1 + Ta có: ∀ε > 0 , chọn N = 2 . Khi đó ∀x > N ⇒ f ( x ) − 0 < ε . ε 4. Các tính chất của giới hạn + Từ 1 lim x →+∞ −0 < ε ⇔ x > Định lí 1: Giả sử c là hằng số và lim f ( x ) = L, x →a lim g ( x ) = M . Khi đó x →a 1. lim [f ( x ) + g ( x )] = L + M 2. lim [f ( x ) − g ( x )] = L − M 3. lim c.f ( x ) = cL 4. x →a x →a 5. lim x →a x →a lim f ( x ).g ( x ) = L.M x →a f (x) L = nếu M ≠ 0 . g( x ) M Định lý 2: ( về giới hạn kẹp) Giả sử các hàm số f ( x ), g ( x ), h( x ) thoả mãn bất đẳng thức f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h( x ) trong lân cận của điểm a. Khi đó nếu lim f ( x ) = lim h( x ) = L thì lim g ( x ) = L . x →a x →a x →a Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải sin x = 0. x →∞ x Ví dụ 5: Chứng minh rằng lim Ta có: 0 ≤ 1 sin x 1 sin x ≤ . Mà lim = 0 nên lim = 0 , hay ta có đpcm. x →∞ x →∞ x x x x 5. Một số phương pháp khử dạng vô định: 0 ∞ , , ∞ − ∞, 1∞. 0 ∞ + Phân tích đa thức thành nhân tử hoặc nhân biểu thức liên hợp để khử dạng vô định. + Sử dụng giới hạn kẹp + Sử dụng một số giới hạn cơ bản sau: sin x ax −1 = 1, lim = ln a , x →0 x →0 x x lim a x = 0, (0 < a < 1) , … lim  a lim 1+  = ea , x →∞   x x ln( x + 1) = 1, x →0 x lim x →+∞ x m −1 . x →1 x n − 1 Ví dụ 6: Tìm lim Giải: + Dạng 0 . 0 ( x − 1)( x m−1 + x m−2 + ... + 1) ( x m−1 + x m−2 + ... + 1) m x m −1 + lim n = lim = lim = . x →1 x − 1 x →1 x − 1 x n −1 + x n−2 + ... + 1 ( )( ) x→1 ( x n−1 + x n−2 + ... + 1) n Ví dụ 7: Tìm lim 3 x − 1 − 2x − 3 x −2 x →2 + Dạng 0 0 + 3 x − 1 − 2x − 3 lim = lim x →2 x →2 x −2 ( + lim x →2 ( + lim x →2 3 ) x −1 −1 dang = x −2 ) 2x − 3 − 1 x −2 + Vậy lim x →2 3 ( 3 ) ( x −1 −1 − x −2 0 0 dang 0 0 = . x − 1 − 2x − 3 1 4 = +1= . x −2 3 3 ) = lim ( 2x − 3 − 1 x →2 3 ) − lim ( x −1 −1 x −2 x →2 ) 2x − 3 −1 x −2 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải x+ x Ví dụ 8: Tìm lim x +1 x →+∞ Giải: Dạng + ∞ . ∞ x+ x lim = x +1 x →+∞ + KQ: 1. Ví dụ 9: Tìm lim x →+∞ ( x2 + x − x ) + Dạng ∞ − ∞ + lim x →+∞ ( ) x2 + x − x = . + KQ: ∞ . x 2 +2 x  x 2 + 1  lim  2 x →+∞   x − 1 Ví dụ 10: Tìm , + Dạng 1∞  x 2 + 1 + lim  2  x →+∞   x − 1 2 x +2 x   2   = lim 1+ 2  x →+∞  x − 1   2  x −1    2  Ví dụ 11: Tìm giới hạn sau lim x →0     ( 2 x 2 +2 x ) x 2 −1 1− cos x.cos 2 x . 1− cos x =e lim ( 2 x 2 +2 x x →+∞ 0 . 0 (1− cos x ) cos 2x + 1− cos 2x 1− cos x.cos 2 x + lim = lim = x →0 x → 0 1− cos x 1− cos x + Dạng = + KQ: 5. 1 Ví dụ 12: Tìm giới hạn sau lim (cos x ) x 2 . x →0 ∞ + Dạng 1 + Ta có: cos x = 1− (1− cos x ) = 1− 2sin2 x 2 x 2 −1 ) = e2 . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải 1 + lim (cos x ) x 2 = x →0 − 1 + KQ: e 2 6. Giới hạn một phía a. Định nghĩa: Giới hạn của f(x) khi x → a, x < a (hoặc x → a, x > a ) nếu tồn tại gọi là giới hạn trái ( hoặc giới hạn phải ). Ký hiệu lim− f ( x ) = f (a− ), lim+ f ( x ) = f (a + ) . x →a Ký hiệu khác: lim f ( x ) = f (a − 0), x →a lim f ( x ) = f (a + 0) . x →a−0 x → a +0  ∃ lim− f ( x )  x →a b. Định lý: Tồn tại lim f ( x ) = L khi và chỉ khi ∃ lim+ f ( x ) x →a  x →a  lim f ( x ) = lim f ( x ) = L x → a+  x →a− Ví dụ 13: Xét sự tồn tại của lim x →0 Ta có: lim+ x →0 x x = lim+ x →0 x x x . x x −x = 1, lim− = lim− = −1. Vậy lim không tồn tại. x →0 x x →0 x x →0 x x  x − 4, x > 4 , Xác định sự tồn tại của lim f ( x ) . Ví dụ 14: Nếu f ( x ) =  x →4 8 − 2 x, x < 4  GIẢI: Vì f ( x ) = x − 4 với x > 4 , chúng ta có: lim f ( x ) = lim+ x − 4 = 4 − 4 = 0 x → 4+ x→4 Vì f ( x ) = 8 − 2 x với x < 4 , chúng ta có : lim f ( x ) = lim− ( 8 − 2 x ) = 8 − 2.4 = 0 x → 4− x →4 Giới hạn trái và giới hạn phải bằng nhau. Vì vậy, giới hạn tồn tại và lim f ( x ) = 0 x→4 Đồ thị của f được chỉ ra trong Hình 3. . Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải HÌNH 3 7. Vô cùng lớn, vô cùng bé Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là vô cùng bé, viết tắt là VCB khi x → x0 nếu lim f ( x ) = 0 . Hàm số f(x) được gọi là vô cùng lớn, viết tắt là VCL khi x → x0 nếu x → x0 lim f ( x ) = +∞ . x → x0 Chú ý: + x0 có thể hữu hạn hoặc vô hạn. 1 1 x = 0 . f ( x ) = (1+ x ) + lim f ( x ) = ∞ ⇔ lim x → x0 x → x0 f ( x ) + Để so sánh tốc độ dần đến 0 của các VCB f(x), g(x) khi cùng x → x0 thì xét f (x) lim . Ta có các trường hợp sau: x → x0 g ( x ) f (x) ♦ Nếu lim = 0 ta nói rằng f(x) bậc cao hơn g(x), kí hiệu x → x0 g ( x ) f ( x ) = o(g ( x )), x → x0 . f (x) ♦ Nếu lim = C ≠ 0 ta nói rằng f(x) cùng bậc với g(x). x → x0 g ( x ) f (x) ♦ Nếu lim = 1 ta nói rằng f(x) tương đương với g(x), kí hiệu f ( x ) ∼ g ( x ) . x → x0 g ( x ) Một số VCB cùng bậc khi x → 0 : sin x ∼ x, ln(1+ x ) ∼ x, e x − 1 ∼ x . ln(1+ x ) ln(1+x) ∼ x khi x→ 0 v× lim =1 x →0 x Định lý: f (x) f *(x) = lim * . x → x0 g ( x ) x → x0 g ( x ) Nếu f(x) ∼ f*(x), g(x) ∼ g*(x) khi x → x0 . Khi đó : lim Ví dụ 15: Tính e2x −1 . x →0 ln(1 + sin3 x ) lim Ta có: e 2 x − 1 ∼ 2x khi x → 0; ln(1+sin3x) ∼ sin3x ∼ 3x khi x → 0 e2x −1 2x 2 Do đó : lim = lim = . x →0 ln(1 + sin3 x ) x →0 3 x 3 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải 1.3. Tính liên tục của hàm số 1. Định nghĩa Định nghĩa 1: Hàm số f(x) liên tục tại điểm x0 nếu lim f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm số y = f(x) liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc miền D. Chú ý: Từ định nghĩa 1, ta thấy để y = f(x) liên tục tại điểm x0 cần đến 3 điều kiện: 1. x0 thuộc tập xác định của hàm số. 2. Tồn tại lim f ( x ) . x → x0 3. lim f ( x ) = f ( x0 ) x → x0 Nhận xét: + Các đa thức, hàm phân thức, hàm hữu tỉ, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit là các hàm số liên tục trên miền xác định của nó. + Hàm số y = f(x) liên tục trên (a, b) thì đồ thị của nó là một đường cong trơn trên khoảng này (tức là không bị gãy, không bị đứt đoạn). Định nghĩa 2: Hàm số f (x) được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim+ f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm số f (x) được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim− f ( x ) = f ( x0 ) . x → x0 Hàm số y = f (x) liên tục tại x0 khi và chỉ khi nó vừa liên tục trái, vừa liên tục phải tại x0 .  x 2 − x − 2  Ví dụ 16: Xét tính liên tục của hàm số f ( x ) =  x − 2  1 x≠2 x=2 + Ta thấy hàm số liên tục tại mọi điểm x ≠ 2 . + Xét tại x = 2. ( x − 2)( x + 1) x2 − x − 2 = lim = lim ( x + 1) = 3, f (2) = 1 x →2 x →2 x →2 x −2 x −2 lim f ( x ) = lim x →2 Nhưng lim f ( x ) ≠ f (2) . Nên f không liên tục tại 2. x →2 Ví dụ 17: Tìm a để hàm số sau liên tục trên R  sin 2 x  f ( x ) =  x  ax 2 ae + x − 1 x>0 x ≤0 + Hàm số liên tục với mọi x ≠ 0 , để hàm số liên tục trên R thì nó phải liên tục tại x =0. + T ại x = 0 lim+ f ( x ) = lim+ x →0 x →0 sin 2 x =2 x , lim f ( x ) = lim− (ae ax + x 2 − 1) = a − 1 = f (0) x →0− x →0 Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Để hàm số liên tục tại x = 0 thì f (0+ ) = f (0− ) = f (0) ⇔ a − 1 = 2 ⇔ a = 3 . Ví dụ 18: Hàm số f(x) không xác định tại x = 0, hãy xác định f(0) để hàm số f(x) liên tục tại x = 0 với : 1 f ( x ) = (1+ 2 x ) x 1 x Giải: Để hàm số liên tục tại x = 0 thì f (0) = lim f ( x ) = lim(1+ 2 x ) = e 2 . x →0 x →0 2. Điểm gián đoạn của hàm số Định nghĩa: Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x = a nếu tại x = a hàm số không liên tục. Nếu tồn tại f (a + ), f (a− ) và f (a+ ) ≠ f (a− ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn loại 1. Nếu f (a+ ) = f (a− ) thì x = a được gọi là điểm gián đoạn khử được. Điểm gián đoạn khác (không phải loại 1) gọi là gián đoạn loại 2. Ví dụ 19: Tìm và phân loại điểm gián đoạn của các hàm số sau: x 1 a. f ( x ) = b. f ( x ) = x x e 1−x − 1 Giải: a. Xét tại x = 0 lim+ f ( x ) = x →0 lim f ( x ) = x →0− nên x = 0 là gián đoạn loại 1. b. ♦ Tại x = 1. lim+ f ( x ) = lim f ( x ) = x →1− x →1 nên x = 1 là gián đoạn loại 1. ♦ Tại x = 0. lim+ f ( x ) = x →0 lim f ( x ) = x →0− nên x = 0 là gián đoạn loại 2. Ví dụ 20: Khảo sát sự liên tục của hàm số và tính chất điểm gián đoạn  cos π x x ≤1 2 f (x) =   x >1  x − 1 (ĐS: x = - 1 là điểm gián đoạn loại 1) Bài tập về nhà: Trang 87 ( Bài 1 – 19), trang 91 ( bài 18 – 62), 25 trang 251, Trang 278 ( Bài 33 - 43). Bài giảng Toán 1 Ths Lê Thị Minh Hải Bài số 2 Đạo hàm của hàm số một biến 2.1 Định nghĩa về đạo hàm 1. Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y = f ( x ) , đạo hàm f '( x ) của hàm số f ( x ) là một hàm mới có giá trị tại điểm x được xác định bởi giới hạn sau (khi giới hạn tồn tại): f ( x + ∆x ) − f ( x ) f '( x ) = lim . ∆x → 0 ∆x + Nếu giới hạn tồn tại với x = a, thì hàm số y = f(x) được gọi là khả vi tại a. + Hàm khả vi là hàm số khả vi tại mọi điểm trong tập xác định của nó. y = f(x) y Q f(x0 +∆x) - f(x 0) P ∆x x0 x0 + ∆x x ● Chú ý : + f’(x) là độ dốc của tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại P. + Có nhiều cách ký hiệu khác nhau của đạo hàm hàm số y = f ( x ) : dy df ( x ) d f '( x ) , y’ , , , f ( x ). dx dx dx dy + Nếu y = f ( x ) thì còn được gọi là suất biến đổi của y theo x . dx + Nếu ta muốn viết giá trị số của đạo hàm tại một điểm cụ thể x = 3, ta viết :  dy  dy   ho ặ c , hoặc f’(3) .  dx  dx x =3 x =3 f ( x ) − f ( x0 ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lim . ∆x → 0 x → x0 ∆x x − x0 + ∆x = x − x0 nên f '( x ) = lim 2. Quy tắc tìm đạo hàm tại một điểm theo định nghĩa: ● B
c 1. Tìm số gia f(x + ∆x) - f(x) và tiến hành rút gọn f ( x 0 +∆x ) − f ( x0 ) ● B
c 2. Thiết lập tỷ số: ∆x ● B
c 3. Tính giới hạn của tỷ số trên khi ∆x→0. Nếu giới hạn đó tồn tại thì đó chính là đạo hàm của hàm số tại điểm cần tìm :