Nội dung

Nội dung • • • • • • • Gíơi thiệu Ôn lại về chuyển động Bảo toàn khối lượng Hàm dòng Động lượng tuyến tính Chất lỏng chảy không nhớt Ví dụ Phân tích vi phân: giới thiệu • Một số bài toán yêu cầu phân tích chi tiết. • Chúng ta áp dụng kết quả phân tích đối với • • • • một thể tích kiểm tra vô cùng nhỏ hay tại một điểm. Những PT chi phối là các PT vi phân & cung cấp những phân tích chi tiết. Có khoảng 80 lời giải chính xác cho các PT vi phân này. Chúng ta xem xét các giả thiết đơn giản để giải quyết các PT này . Nhũng PP số cung cấp các lời giải gần đúng (Computational Fluid Dynamics) Trường vận tốc chuyển động Gỉa thiết liên tục: Dòng chảy được tạo bởi các phần tử lỏng liên kết với các phần tử khác . Mỗi phần tử bao gồm các phân tử & chúg ta có thể biễu diễn vận tốc, áp suất, gia tốc và khối lượng riêng theo thời gian. Trường gia tốc chuyển động Theo Lagrangian : Theo Eulerian : chúng ta mô tả gia tốc thành những số hạng của vận tốc & thời gian Một phần tử lỏng có thể có gia tốc vì sự thay đổi vận tốc theo thời gian hay không gian . phụ thuộc thời gian Chú ý: Suy ra : Tổng quát : phụ thuộc không gian Viết lại các số hạng này theo vector : Theo X: Theo Y: Theo Z: Dạng ngắn gọn : Với , ()   ˆ  ˆ  ˆ i j k , x y z Chuyển động: biến dạng của PT lỏng Biến dạng tổng quát của PT lỏng thì phức tạp hơn. Tuy nhiên chúng ta cũng có thể phân chia các dạng này thành biến dạng hay sự dịch chuyển theo nguyên lý chồng chất. Chuyển động tổng quát Tịnh tiến Chuyển động quay Biến dạng dtuyến tính Biến dạng góc Chuyển động: Tịnh tiến và biến dạng Tịnh tiến theo các vận tốc u & v : Hình thức này là dạng đơn giản nhất, giống như chuyển động của một vật rắn. Đây không phải là dạng chuyển động của 1 phần tử lỏng Biến dạng: biến thiên vận tốc là nguyên nhân gây biến dạng, “kéo dãn” là nguyên nhân thay đổi thể tích của phần tử lỏng. Thay đổi theo 1 phương Theo tất cả 3 phương Hình dạng không thay đổi, “biến dạng tuyến tính” Biến dạng tuyến tính bằng 0 đối với chất lỏng không nén được =0 Chuyển động : Biến dạng góc và biến dạng Chuyển động: Thay đổi góc và biến dạng Sự quay của phần tử quanh trục z là trị trung bình của những vận tốc góc : Quay ngược chiều kim đồng hồ là dương. Tương tự, cho trục y & x: and 3 thành phần này tạo thành vector quay: Theo xác định vector: Chuyển động: Thay đổi góc và biến dạng Ta có : Vector xoáy: Vector xoáy dùng để mô tả đặc tính quay của phần tử lỏng Nếu , không quay, chuyển động được gọi là chuyển động thế. , Chuyển động: Thay đổi góc và biến dạng Biến dạng góc: sự quay tạo ra biến dạng góc, kết quả là thay đổi hình dạng của phần tử lỏng Trạng thái trượt: Tốc độ trượt: Tốc độ của biến dạng góc phụ thuộc vào ứng suất cắt Nếu , tốc độ trượt bằng 0. Bảo toàn khối lượng: Toạ độ đềcác Hệ: Thể tích kiểm tra: Bây giờ, chúng ta áp dụng đối với một thể tích kiểm tra vô cùng nhỏ Ta có: Thay đổi khối lượng theo x Bên ngoàit: Bên trong: Theo tất cả các phương : Cộng lại các phần : + Rút gọn =0 Dạng vi phân của định luật bảo toàn khối lượng “PT liên tục ” Dạng vector : Nếu dòng chảy là ổn định và nén được Nếu dòng chảy là ổn định và không nén được Bảo toàn khối lượng: Toạ độ trụ Nếu dòng chảy là ổn định và nén được Nếu dòng chảy là ổn định và không nén được Bảo toàn khối lượng: Hàm dòng Hàm dòng được xác định là ổn định, không nén được, trong không gian 2 chiều Liên tục: Thì, chúng ta xác định hàm dòng như sau : Thay thế các kết quả vào PT liên tục Nó thỏa mãn điều kiện liên tục. Độ dốc tại một điểm bất kỳ dọc theo đường dòng: Những đường dòng là không đổi d = 0: Bây giờ, chúng ta xét lưu lượng giữa các đường dòng Trong tọa độ cực Bảo toàn động lượng Hệ: P là động lượng , Thể tích kiểm tra: m là hằng số Các lực tác dụng Lực : Bao gồm lực khối & lực mặt Lực khối: Lực mặt: Ứng suất pháp: Ứng suất tiếp: Đối với các mặt khác của phần tử lỏng, ta có : Xét 1 vi phân phần tử lỏng dạng lập phương Thì tổng tất cả các lực: Phương trình chuyển động Ta có: Chiếu lên các trục: Viết lại phương trình chuyển động tổng quát : Gia tốc a Các thành phần lực Chất lỏng không nhớt Chất lỏng không nhớt thì ảnh hưởng của ứng suất tiếp hay lực cắt bằng 0. Ta có, Và chúng ta xác định Lực nén cho áp suất dương PT chuyển động trở thành : PT Euler PT Euler Dạng vector : Leonhard Euler (1707 – 1783) PT ở trên thì đơn giản hơn PT tổng quát, nhưng vẫn là các PT vi phân tửng phần không tuyến tính: Không có một phương pháp giải tích để giải các PT này, để có lời giải chính xác PT Euler, đối với một số trường hợp đặc biệt, có thể cho những thông tin hữu ích về chất lỏng không nhớt. PT Bernoulli Ta có thể rút ra PT Bernoulli từ một áp dụng trực tiếp của định luật II Newton áp dụng đối với một phần tử lỏng dọc theo đường dòng. Daniel Bernoulli (1700-1782) Bây giờ, chúng ta rút ra từ PT Euler Gỉa sử chuyển động ổn định Trọng lực: Sử dụng biến đổi vector: Bây giờ, ta viết lại PT Euler : Suy ra: Lấy tích vô hướng với vector vi phân chiều dài : ds & V thì song song, , thì vuông góc với V, suy ra. Chú ý, Bây giờ, liên kết các số hạng Tích phân Hay, 1) Không nhớt 2) chảy ổn định 3) Không nén được 4) dọc theo 1 đường dòng Chất lỏng không nhớt: chuyển động thế Chuyển động thế =0 Các thành phần vector vân tốc quay phải bằng 0: Theo phương z: Phương x: Phương y: Dòng chảy đều thõa mãn các điều kiện này Không có lực cắt trong chuyển động thế Ví dụ, lý thuyết chảy không nhớt có thể được sử dụng : Vùng không nhớt Vùng nhớt PT Bernoulli cho chảy thế PT Bernoulli , Tuy nhiên, chảy thế : Suy ra : Hay, .