Nội dung

1. Tổng của hai vectơ:  F 1. Tổng của hai vectơ: Định nghĩa: (Xem SGK) B  a  a  b  b A   a b      a  b  AB  BC  AC     AB  BC  AC C 2. Quy tắc hình bình hành:    Nếu ABCD là hình bình hành thì AB  AD  AC. B D A  C     AB  AD  AB  BC  AC 3. Tính chất của phép cộng các vectơ: B  a  b   a b   ba  a A  b C E      a  b AB  BC AC   b  a  AE  EC  AC 3. Tính chất của phép cộng các vectơ: B  a   a b   ba A  b  b   bc  a C  c D E          a  b  c ( AB  BC )  CD  AC  CD  AD          a  b  c  AB  ( BC  CD )  AB  BD  AD     3. Tính chất của phép cộng các vectơ:    Với ba vectơ a, b, c tùy ý ta có     a  b b  a ( tính chất giao hoán)       a  b  c a  b  c ( tính chất kết hợp)      a  0 0  a a ( tính chất của vectơ - không)     4. Hiệu của hai vectơ: 4. Hiệu của hai vectơ: a) Vectơ đối: Hai vectơ đối nhau nếu chúng có cùng độ dài và ngược hướng. B A     a và b đối nhau, ta viết: a =  b   Ví dụ 1: AB  BA   MP  NB   NP  AM   PA  PC D C A M P B N C      Bài tập a: Chứng minh rằng AB  BC 0  AB  BC Giải:        AB  BC 0  AC 0  A C  AB  BC     AB  BC  AB CB      AB  BC CB  BC        AB  BC CC  AB  BC 0  Ghi nhớ: Hai vec tơ đối nhau có tổng bằng 0 và ngược lại. 4. Hiệu của hai vectơ: b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ: (Xem SGK) B  a  b A   a b  a  b O        a  b a   b OA  AB OB       OB  OA  AB Chú ý: Với ba điểm A, B, C tùy ý ta luôn có:    AB  BC  AC    AB  AC CB (quy tắc ba điểm) (quy tắc trừ)     Ví dụ 2: Cho A, B, C, D bất kỳ. Chứng minh AB  CD  AD  CB Giải: Lấy O tùy ý       VT  AB  CD  OB  OA  OD  OC        OD  OA  OB  OC  AD  CB VP       Cách 2: VT  AB  CD  AD  DB  CB  BD      AD  CB  DB  BD     AD  CB  0 VP                 5. Áp dụng:    a) I là trung điểm của AB  IA  IB 0     b) G là trọng tâm của ΔABC  GA  GB  GC 0 Chứng minh:      a) I là trung điểm của AB  IA  IB  IA  IB 0 b) Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm ΔABC nên GA=2GI. Lấy D đối xứng với G qua I. Khi đó, GADC là hình bình hành và G là trung điểm AD.        GB   GC  GD và GA  GD 0  GA  GB  GC    0  Ngược lai, nếu GA  GB  GC 0 thì ta cũng dựng được hình như bên và suy ra G là trọng tâm ΔABC. I A B A G B C I D Bài 1/12:  Cho  và  M nằm giữa AB sao cho MA>MB. Vẽ  đoạn AB các vectơ MA  MBvà MA  MB. Giải:   Lấy N trên AB sao cho AN MB. N M A B Vì MA>MB nên N nằm giữa AM. Ta có:      MA  MB MA  AN MN M    A B MA  MB BA Bài 2/12: Cho hình bình  hành   ABCD và một điểm M tùy ý. Chứng minh rằng: MA  MC MB  MD. Giải:   Cách 1: ABCD là hbh nên BA  DC B       VT MA  MC  MB  BA  MD  DC      MB  MD  BA  DC    A D MB  MD 0 VP  Cách 2: ABCD là hbh nên BC  DA     MA  MC  MB  MD      MA  MD  MC  MB      DA   BC 0  MA  MC MB  MD.             C Bài 3/12: Chứng minh rằng với tứ giác ABCD bất kỳ la luôn có:          a) AB  BC  CD  DA 0 b) AB  AD CB  CD Giải:     a) VT= AB  BC  CD  DA    = AC  CA =0 VP        b) VT= AB  AD DB b) AB  AD  CB  CD           VP=CB  CD DB  VP=VT      = DB  DB 0    AB  AD CB  CD Bài 4/12: Cho ΔABC. Bên ngoài tam giác bình hành  vẽ các  hình  ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: RJ  IQ  PS 0. Giải:    Ta có: R J RA AJ IQ IB  BQ    PS PC  CS R J A S I B mà ABIJ, BCPQ, CARS là các hình bình hành nên Q       RA  CS ; AJ  IB; BQ  PC           RJ  IQ  PS  RA  AJ  IB  BQ  PC  CS       RA  CS  AJ  IB  BQ  PC      C P   =0 Bài 5/12: Cho ΔABC đều cạnh a. Tính độ dài các vectơ     AB  BC và AB  BC Giải:    *) Ta có: AB  BC  AC    AB  BC = AC nên A I a  AC a E B **) Lấy E đối xứng với C qua B, I là trung điểm AE. a 3 ΔABI là nửa tam  giác đềucạnh a nên AI  2  AE a 3  CB Ta có: AB  BC  AB        AB  BE  AE AB  BC = AE  AE a 3 nên C Bài 6/12: Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Chứng minh rằng:       b) AB  BC DB a ) CO   OB  BA    c) DA  DB OD  OC d ) DA  DB  DC 0. Giải:   B CO OA a) Ta có:      O  OA  OB  BA nên CO OB  b) Ta có: BC  AD   A   D nên AB  BC  AB  AD DB   c) Ta có: BA CD          và DA  DB BA; OD  OC CD nên DA  DB OD  OC.         d) Ta có: BA  DC nên DA  DB  DC BA  DC 0. C  Bài 8/12: So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ a, b nếu:   a  b 0 Giải:      a  b 0  a  b 0    a  b   a, b cùng độ dài và ngược hướng.   Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:         b) a  b  a  b a) a  b  a  b Giải:     Dựng AB a và BC b a) Ta có:        a  b  AB  BC  AC  a  b  AC   và a  b  AB  BC     a  b  a  b  AB  BC  AC B  a  a  b  b A A Suy ra A,B, C thẳng hàng, B nằm giữa A,C.  Suy ra a, b cùng phương.  a C   a b B  b C   Bài 7/12: Cho hai vectơ a, b khác vectơ 0. Khi nào có đẳng thức:         b) a  b  a  b a) a  b  a  b Giải:     Dựng OA a và OB b , lấy C để OACB là hbh b) Ta có:         a  b OA  OB OC  a  b OC         và a  b OA  OB BA  a  b  AB     a  b  a  b  AB OC A  a  a O  b   a b   a b C  b B  Suy ra OABC là hình chữ nhật. Suy ra giá của a, b vuông góc với nhau.  *) Nếu a, b cùng phương thì đẳng thức trên không xảy ra.