Nội dung

Trường ĐHQN Khoa Toán BÀI GIẢNG GIẢI TÍCH 4 (Số tín chỉ: 3) Dành cho sinh viên : Hệ : Khóa : Năm học : Giảng viên : Khoa Toán Tổng hợp 33 2011-2012 Nguyễn Thị Phương Lan 1 Chương I: TÍCH PHÂN BỘI $1 TÍCH PHÂN 2-LỚP 1.1 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.1.1 Khái niệm về miền đo được: Miền đa giác là miền đo được (có diện tích). Giả sử D là một miền phẳng bị chặn, được giới hạn bởi một hay một số hữu hạn đường cong Jordan đóng. Gọi Q là một miền đa giác chứa trong D, S(Q) là diện tích của nó. Gọi Q’ là một miền đa giác chứa D, S(Q’) là diện tích của nó. Giả thiết thêm biên của D và biên của Q, Q’ không có điểm chung. Tập hợp các miền đa giác Q, Q’ là khác rỗng và vô hạn. Do đó tập hợp các giá trị S(Q), S(Q’) là khác rỗng và vô hạn. {S(Q)} bị chặn trên bởi diện tích của một đa giác Q’ nào đó ⇒ ∃P+ = sup {S ( Q )} . {S(Q’)} bị chặn dưới bởi diện tích của một đa giác Q nào đó ⇒ ∃P− = inf {S ( Q')} . P+ , P− lần lượt gọi là diện tích trên, dưới của D. Ta có ∀Q,Q': S ( Q ) ≤ P+ ≤ P− ≤ S ( Q') . 1. Định nghĩa. Nếu P+ = P− = S ( D ) thì D được gọi là miền đo được (có diện tích) và số S(D) được gọi là độ đo (diện tích) của D. Từ định nghĩa về miền đo được ta có các kết quả sau: a) D đo được ⇔ ∀ε > 0 bé tùy ý, tồn tại các miền đa giác Q ⊂ D,Q' ⊃ D sao cho S ( Q') − S ( Q ) < ε . b) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đa giác {Q n } ,{Q'n } ; Q n ⊂ D,Q'n ⊃ D, ∀n sao cho limS ( Q'n ) = limS ( Q n ) ( = S ( D ) ) . n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ c) D đo được ⇔ tồn tại hai dãy các miền đo được {D n } ,{D'n } ; D n ⊂ D , D'n ⊃ D , ∀n sao cho limS ( D'n ) = limS ( D n ) ( = S ( D ) ) . 2. Tính chất của miền đo được. Giả sử D1 ⊂ D,D 2 ⊂ D, D = D1 ∪ D 2 ;D1 , D 2 không có điểm trong chung. Nếu D1 , D 2 đo được thì D đo được và S ( D ) = S ( D1 ) + S ( D 2 ) . 3. Ví dụ về miền đo được. Định nghĩa. Đường cong (C) được gọi là đường cong có diện tích - không (đường cong đo được) nếu ∀ε > 0 bé tùy ý , tồn tại miền đa giác Q chứa (C) sao cho S(Q ) < ε . 2 Đối với miền phẳng D ta có các kết quả sau: D đo được ⇔ biên ∂D của nó có diện tích – không. Định lý. Nếu đường cong (C) có một trong các dạng dưới đây thì (C) là đường cong có diện tích - không. a) y = f(x), x ∈ [a ;b ] , trong đó f(x) có đạo hàm liên tục trên [a ; b]. b) x = g(y), y ∈ [c;d ] , trong đó g(y) có đạo hàm liên tục trên [c ; d]. c) x = x(t), y = y(t), t ∈ [a ;b ] , trong đó x(t), y(t) có đạo hàm liên tục trên [a ; b] và thỏa mãn điều kiện x '2 ( t ) + y '2 ( t ) ≠ 0, ∀t ∈ [ a ;b ] . Hệ quả. Nếu biên của D gồm một số hữu hạn các đường có dạng a), b), c) thì D là miền đo được. 4. Tương tự, có thể xây dựng được khái niệm độ đo (thể tích) của miền T ⊂ R 3 dựa vào thể tích khối đa diện. Nếu T được giới hạn bởi một số hữu hạn các mặt z = z(x,y), ( x, y ) ∈ D trong đó z(x,y) là hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong D thì miền T đo được. 1.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: 1.2.1 Giả sử D là miền phẳng, đo được, bị chặn. Ta gọi đường kính của miền D là supremum của các khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ thuộc D. d ( D ) = sup dist ( M,M') M,M '∈D Định nghĩa. Tập hợp các miền phẳng đo được D1 , D 2 ,...,D n được gọi là một phép phân hoạch π của miền D, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: a) D = U Di , Di ⊂ D , ∀i = 1,n . n i =1 b) Với ∀i ≠ j, Di và D j không có điểm trong chung. Ta thấy π chia D thành n miền con đôi một không có điểm trong chung. 1.2.2 Định nghĩa tích phân 2-lớp: Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được D. Thực hiện một phép phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung D1 ,D 2 ,...,D n . Gọi ∆Di là diện tích của mỗi miền con Di i = 1,n , ( ) d ( Di ) là đường kính của Di , d (π ) = max d ( Di ) là đường kính phân hoạch. Trong 1≤ i ≤ n mỗi miền con Di chọn một cách tùy ý điểm N i (ξi ,ηi ) . Lập tổng tích phân: n n i =1 i =1 σ π = ∑ f ( N i ) ∆Di = ∑ f (ξi ,ηi ) ∆Di . Ta thấy σ π phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i (ξi ,ηi ) . Định nghĩa: Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn I = lim σ π d ( π ) →0 3 mà giới hạn đó không phụ thuộc vào π và các điểm chọn N i (ξi ,ηi ) thì I được gọi là tích phân 2-lớp (tích phân Riemann) của hàm số f(x,y) lấy trong miền D và ký hiệu là ∫∫ f ( x, y ) dxdy . D Khi đó hàm số f(x,y) được gọi là khả tích (Riemann) trong miền D. Chú ý. Tương tự như hàm một biến, tính bị chặn của hàm số f(x,y) là điều kiện cần để nó khả tích. 1.2.3 Tổng Darboux. Cho hàm số bị chặn f(x,y) trong miền D. Đối với mỗi phân hoạch π chia D thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung D1 , D 2 ,...,D n . Đặt n n n i =1 i =1 i =1 s (π ) = ∑ mi ∆Di ; S (π ) = ∑ M i ∆Di và ω (π ) = S (π ) − s (π ) = ∑ ω i ∆Di trong đó mi = inf f ( x, y ) ; M i = sup f ( x, y ) , i = 1,n ( x,y )∈Di ( x,y )∈Di ω i = M i − mi , i = 1,n và gọi là dao độ (dao động) của hàm số f(x,y) trong miền Di . Các tổng s (π ) , S (π ) lần lượt được gọi là tổng dưới và tổng trên Darboux của f(x,y) ứng với phân hoạch π . Tập hợp các tổng dưới {s (π )} và tổng trên {S (π )} Darboux là các tập khác rỗng và bị chặn trên và dưới. Định nghĩa. Đại lượng I* = sup {s (π )} được gọi là tích phân dưới Darboux. Đại lượng I* = inf {S (π )} được gọi là tích phân trên Darboux. Định lý. Nếu I* = I* = I thì f(x,y) khả tích trong miền D. 1.2.4 Tiêu chuẩn khả tích. Định lý 1. Giả sử D ⊂ R 2 là miền đóng, bị chặn và đo được. Hàm số bị f(x,y) bị chặn trong D là khả tích nếu và chỉ nếu lim ω (π ) = lim d(π )→0 d(π )→0 n ∑ω ∆D i =1 i i = 0. Chứng minh. ( ⇒ ) Vì f(x,y) khả tích nên I* = I* = I ⇔ ∀ε > 0 bé tùy ý đều ∃δ > 0 : ∀π mà d (π ) < δ thì ε ε S (π ) < I + và s (π ) > I − (tính chất của infimum và supremum) 2 2 Vậy ω (π ) = S (π ) − s (π ) < ε ⇒ lim ω (π ) = 0 . d (π )→ 0 4 ω (π ) = 0 . Khi đó từ các bất đẳng thức s (π ) ≤ I* ≤ I* ≤ S (π ) , ∀π ( ⇐ ) Giả sử có d(lim π )→0 mà d (π ) < δ ⇒ I* − I* ≤ S (π ) − s (π ) < ε với mọi d (π ) < δ . W Vậy I* = I* = I và f(x,y) khả tích trong D. 1.2.5 Các lớp hàm khả tích. Định lý 2. Giả sử D ⊂ R 2 là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích. Vì f(x,y) liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D nên f(x,y) bị chặn và liên tục đều trong D ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ ( ε ) > 0 sao cho trong miền con bất kỳ của D ε có đường kính bé hơn δ thì dao độ ω i< , trong đó S(D) là diện tích của D. S( D ) Khi đó với mỗi phân hoạch π mà d (π ) < δ ta có n ∑ ω i ∆Di < i =1 ε n ε S( D ) = ε ∆Di = ∑ S ( D ) i=1 S( D ) ⇒ lim ω (π ) = lim d(π )→0 n d(π )→0 ∑ω ∆D i =1 i i = 0. W Vậy f(x,y) khả tích trong D. Định lý 3. Giả sử D ⊂ R 2 là miền đóng, bị chặn và đo được, f(x,y) liên tục trong D, chỉ gián đoạn trên một số hữu hạn đường có diện tích – không khi đó f(x,y) khả tích trong D. Chứng minh. Dùng tiêu chuẩn khả tích. Lấy ε > 0 bé tùy ý. Do f(x,y) bị chặn trong D nên ∃K > 0 : f (x, y) ≤ K, ∀ ( x, y ) ∈ D . Giả sử f(x,y) chỉ gián đoạn trên một đường (C) có diện tích – không. Phủ (C) ε . bởi hình đa giác Q có diện tích S ( Q ) < 4K ° = D \ int Q ⇒ D ° là miền đóng, bị chặn và đo được, nên f(x,y) liên tục Đặt D ° có đường kính ° . Chọn δ > 0 đủ bé sao cho với mỗi miền con D ⊂ D đều trong D i d ( Di ) < δ thì dao độ của f(x,y) trong miền đó là ε ° là diện tích của D °. ω i< ,S D ° 2S D ( ) ( ) ° có đường Xét phân hoạch π sao cho D1 ≡ Q , các miền con D 2 ,D3 ,...D n ⊂ D kính d ( Di ) < δ , i = 2,n . Khi đó n n i=2 i=2 ω (π ) = ω 1∆D1 + ∑ ω i ∆Di < ( M1 − m1 ) S ( Q ) + ∑ 5 ε ( ) ° 2S D ∆Di < 2K ε ε ° =ε . + S D ° 4K 2S D ( ) ( ) W Vậy f(x,y) khả tích trong miền D. Ví dụ. Dùng định nghĩa tính tích phân I = ∫∫ xydxdy,D = {( x, y ) : 0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} . D 1.2.6 Các tính chất của tích phân 2-lớp. (tích phân 2-lớp có các tính chất tương tự như tích phân xác định). Giả sử các hàm dưới dấu tích phân khả tích trong miền lấy tích phân. 1. ∫∫ dxdy = S ( D ) , trong đó S(D) là diện tích miền D. D 2. ∫∫ α f ( x, y ) ± β g ( x, y )dxdy = α ∫∫ f ( x, y ) dxdy ± β ∫∫ g ( x, y )dxdy; α , β = const . D D D 3. Giả sử D1 ⊂ D,D 2 ⊂ D, D = D1 ∪ D 2 ;D1 , D 2 không có điểm trong chung, f(x,y) khả tích trong các miền D1 , D 2 khi đó f(x,y) khả tích trong D và ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫ f (x, y)dxdy + ∫∫ f (x, y)dxdy . D D1 D2 4. Nếu f(x,y) khả tích trong D thì f ( x, y ) cũng khả tích trong D và ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ f (x, y) dxdy . D D 5. Nếu f ( x, y ) ≥ 0 , ∀ ( x, y ) ∈ D ⇒ ∫∫ f (x, y)dxdy ≥ 0 . D Nếu f ( x, y ) ≤ g ( x, y ) , ∀ ( x, y ) ∈ D ⇒ ∫∫ f (x, y)dxdy ≤ ∫∫ g(x, y)dxdy . D D 6. (Định lý giá trị trung bình) Nếu f(x,y) liên tục trong D thì ∃(ξ ,η ) ∈ D : ∫∫ f (x, y)dxdy = f (ξ ,η ).S ( D ) . D $2 CÁCH TÍNH TÍCH PHÂN 2-LỚP 2.1 Tích phân 2-lớp trong hệ Đề các. Để tính tích phân 2-lớp ta có thể đưa tích phân 2-lớp về tích phân lặp. 2.1.1 Các tích phân lặp. Các tích phân dưới đây được gọi là các tích phân lặp. b d a c b y2 ( x ) a y1 ( x ) 1. ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy 3. ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy (1) d b c a 2. ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx ( 3) d x2 ( y) c x1 ( y ) 4. ∫ dy 6 ( 2) ∫ f ( x, y ) dx ( 4 ) trong đó các hàm y1 ( x ) , y 2 ( x ) liên tục trên [a;b], các hàm x1 ( y ) , x 2 ( y ) liên tục trên [c;d]. Điều kiện để các tích phân lặp tồn tại: - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} thì các tích b d d b a c c a phân (1) và (2) tồn tại và ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )} thì tích phân (3) tồn tại. - Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : c ≤ y ≤ d, x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y )} thì tích phân (4) tồn tại. 2.1.2 Định lý Fubini. (1870 – 1943 nhà toán học Ý) Định lý 1. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b, y1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x )} và nếu các hàm y1 ( x ) , y 2 ( x ) liên tục trên [a;b] thì tồn tại tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy và D b y2 ( x ) a y1 ( x ) ∫∫ f ( x, y ) dxdy = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy . D Để chứng minh định lý ta cần bổ đề sau. b y2 ( x ) a y1 ( x ) Bổ đề. Nếu m ≤ f ( x, y ) ≤ M , ∀ ( x, y ) ∈ D thì m.S ( D ) ≤ ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ≤ M.S( D ) , trong đó S(D) là diện tích của D. Chứng minh Định lý1. b y2 ( x ) a y1 ( x ) Đặt I = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy , I tồn tại. Vì f (x,y) liên tục trong D nên tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy cũng tồn tại. Ta cần D chứng minh I = ∫∫ f ( x, y )dxdy . D Chọn phân hoạch π xác định bởi các phương trình: x = x 0 , x = x1 ,..., x = x n ( a = x 0 < x1 < ... < x n = b ) và y = ϕ0 ( x ) , y = ϕ1 ( x ) ,..., y = ϕn ( x ) 1 trong đó ϕ0 ( x ) = y1 ( x ) ,ϕ1 ( x ) = y1 ( x ) +  y 2 ( x ) − y1 ( x )  ,..., n n ϕ n ( x ) = y1 ( x ) +  y 2 ( x ) − y1 ( x )  = y 2 ( x ) . n b y2 ( x ) a y1 ( x ) Xét I = ∫ dx n xk y2 ( x ) n n xk ϕ j( x ) ∫ f ( x, y ) dy = ∑ ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∑∑ ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy . k =1 x k −1 y1 ( x ) 7 k =1 j=1 x k −1 ϕ j−1 ( x ) Vì f(x,y) liên tục trong các miền con D k j = {( x, y ) : x k −1 ≤ x ≤ x k ,ϕ j−1 ( x ) ≤ y ≤ ϕ j ( x )} nên nó đạt giá trị lớn nhất M kj và bé nhất m kj trong miền đó ⇒ m kj ≤ f ( x, y ) ≤ M kj , ∀ ( x, y ) ∈ D kj . Từ bổ đề xk ϕ j( x ) x k −1 ϕ j−1 ( x ) ∫ dx ∫ f ( x, y )dy ≤ M ⇒ m kj∆D kj ≤ kj ∆D kj , ( ∆D kj là diện tích của D kj ) . Vậy n n n n ∑∑ mkj∆Dkj ≤ I ≤ ∑∑ M kj∆Dkj ⇔ s (π ) ≤ I ≤ S(π ) . k =1 j=1 (*) k =1 j=1 Mặt khác vì f(x,y) khả tích trong D nên lim s (π ) = lim S (π ) = ∫∫ f ( x, y ) . d(π )→0 Vậy từ (*) ta có b y2 ( x ) a y1 ( x ) I = ∫ dx d (π )→ 0 D ∫ f ( x, y ) dy = ∫∫ f ( x, y ) dxdy . W D Nhận xét. Trong định lý nếu thay đổi vai trò của x và y cho nhau thì ta có 1. Định lý 1’. Nếu hàm f(x,y) liên tục trong D = {( x, y ) : c ≤ y ≤ d, x1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y )} và nếu các hàm x1 ( y ) , x 2 ( y ) liên tục trên [c;d] thì tồn tại tích phân ∫∫ f ( x, y )dxdy và D d x2 ( y) c x1 ( y ) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . D 2. Trong trường hợp miền D không thỏa mãn các điều kiện của định lý thì cần chia D thành hợp hữu hạn miền, đôi một không có điểm trong chung, thỏa mãn các điều kiện của định lý. 3. Nếu D là hình chữ nhật D = {( x, y ) : a ≤ x ≤ b,c ≤ y ≤ d} và hàm f(x,y) liên tục trong D thì b d d b a c c a ∫∫ f ( x, y ) dxdy =∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . D Đặc biệt nếu f ( x, y ) = f1 ( x ).f 2 ( y ) và D là hình chữ nhật thì b d a c ∫∫ f ( x, y ) dxdy =∫ f1 ( x ) dx.∫ f 2 ( y ) dy . D 2.1.3 Các ví dụ. Ví dụ 1. Đưa tích phân 2-lớp I = ∫∫ f ( x, y )dxdy về tích phân lặp theo các thứ tự khác D nhau trong đó : a) D là hình thang với các đỉnh O(0;0),A(2;0),B(1;1) và C(0;1). 8 1 . x Ví dụ 2. Đổi thứ tự lấy tích phân trong các tích phân lặp sau : b) D giới hạn bởi: x = 2, y = x, y = 2 4− x 2 1 0 a) I = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy , Ví dụ 3. Tính tích phân sau: ∫∫ ( x 2 0 y2 −1 −2 y −1 b) I = ∫ dy ∫ f ( x, y ) dx . + y ) dxdy , D giới hạn bởi: 2 D y = x, y = x + 1, y = 1, y = 3. 2.2 Đổi biến số trong tích phân 2-lớp. 2.2.1 Công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp. Giả sử D ⊂ Oxy là miền đóng, bị chặn và đo được. Xét tích phân I = ∫∫ f ( x, y )dxdy , trong đó f(x,y) liên tục trong D. D Thực hiện một phép đổi biến số x = x(u,v), y = y(u,v), ( u, v ) ∈ D* (5) thỏa mãn các điều kiện sau : 1. Các hàm x(u,v), y(u,v) liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong miền đóng, bị chặn và đo được D* ⊂ O'uv . 2. Các công thức (5) xác định một song ánh từ miền D* lên miền D. 3. Định thức hàm Jacobi D ( x, y ) x 'u y'u J= = ≠ 0, ∀ ( u, v ) ∈ D* (có thể trừ một số điểm). D ( u, v ) x 'v y'v Khi đó ta có công thức đổi biến số trong tích phân 2-lớp ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f  x ( u, v ) , y ( u, v ) J dudv . (6) D* D Ví dụ. Tính các tích phân a) ∫∫ ( 2x + 3y ) dxdy , D giới hạn bởi: D y = -x +1, y = -x + 3, y = 2x-1, y =2x-3. b) ∫∫ e x−y x+ y dxdy,D : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1 . D 2.2.2 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực. Công thức liên hệ của điểm M trong hệ tọa độ Đề các (x,y) và hệ tọa độ cực ( r,ϕ ) là x = r cosϕ , y = r sin ϕ , r ≥ 0,0 ≤ ϕ ≤ 2π . Nếu r > 0,0 ≤ ϕ < 2π thì các công thức trên là một song ánh giữa tọa độ Đề các và tọa độ cực nên có thể xem chúng như một phép đổi biến số, ta có cosϕ sin ϕ D ( x, y ) x 'r y'r J= = = = r ≠ 0, ∀ ( r,ϕ ) ∈ D* (trừ tại gốc O(0,0)). D ( r,ϕ ) x 'ϕ y'ϕ − r sin ϕ rcosϕ 9 Từ công thức đổi biến số tổng quát (6) ta có công thức tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực (7) ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫∫ f ( r cosϕ ,r sin ϕ ) rdrdϕ D* D Chú ý. - Công thức (7) vẫn đúng trong trường hợp D có chứa gốc tọa độ. - Nếu D có chứa gốc tọa độ hoặc bao quanh gốc tọa độ thì 0 ≤ ϕ ≤ 2π . - Công thức (7) thích hợp khi D là hình tròn, vành tròn hoặc một phần của hình tròn, vành tròn và hàm số dưới dấu tích phân có chứa biểu thức x 2 + y 2 . Ví dụ 1. Chuyển sang tọa độ cực, rồi thay đổi thứ tự lấy tích phân trong tích phân lặp: 1 1− x 2 0 1− x I = ∫ dx ∫ f (x, y)dy . Ví dụ 2. Tính các tích phân : dxdy a) ∫∫ ,D :1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4, x ≥ 0, y ≥ 0 , 1 + x 2 + y2 D b) ∫∫ ( x 2 + y 2 ) dxdy, D : x 2 + y 2 ≤ 2x . D c) ∫∫ x 2 + y 2 dxdy, D : x 2 + y 2 ≥ 2y, x 2 + y 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0 . D 2.2.3 Tích phân 2-lớp trong hệ tọa độ cực mở rộng. x 2 y2 - Trong trường hợp D là hình elip 2 + 2 ≤ 1 , vành elip hoặc một phần của a b hình elip, vành elip có thể đổi biến số x = a r cos ϕ , y = b r sin ϕ . - Trong trường hợp D là hình tròn tâm I(a,b) bán kính R, có thể đổi biến số x = a + r cos ϕ , y = b + r sin ϕ . Ví dụ 4. Tính tích phân: ∫∫ D x 2 y2 x 2 y2 1 − 2 − 2 dxdy,D : 2 + 2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0;a,b > 0 . a b a b $3 TÍCH PHÂN 3-LỚP 3.1 Định nghĩa tích phân 3-lớp. Cho hàm số f(x, y, z) xác định trong miền đóng, bị chặn và đo được T ⊂ R 3 . Thực hiện một phép phân hoạch π chia T thành n miền con, đo được tùy ý đôi một không có điểm trong chung T1 ,T2 ,...,Tn . Gọi ∆Ti là thể ( ) tích của mỗi miền con Ti i = 1,n , d ( Ti ) là đường kính của Ti , d (π ) = max d ( Ti ) là 1≤ i ≤ n đường kính phân hoạch. Trong mỗi miền con Ti chọn một cách tùy ý điểm N i ( x i , yi ,z i ) . Lập tổng tích phân 10