Nội dung

Bài 3 : Giáo viên : Phạm Quốc Khánh Chương trình thay sách Toán THPT của Bộ GD-ĐT I - ĐỊNH NGHĨA Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên tập D , nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x 0  D sao cho f(x0) = M kí hiệu : M = max f(x) D b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) trên tập D , nếu f(x) ≥ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0  D sao cho f(x0) = m kí hiệu : m = min f(x) D Ví dụ 1 . Giải : 1 Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y  x  5  x trên khoảng ( 0 ; + ∞) 1 x 2  1 ; y ' 0  x 2  1 0  x 1 Trên (0 ; + ∞) có : y ' 1  2  2 x Bảng biến thiên : x y’ y 1 0  0 +∞ +∞ + Từ bảng biến thiên trên khoảng (0 ; + ∞) hàm số có giá trị cực tiểu duy nhất đó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số Vậy min f(x) = - 3 ( tại x = 1) +∞ -1 x (0 ; + ∞) Không tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số trên (0 ; + ∞) II - CÁCH TÍNH GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN Đặt vấn đề : Xét tính đồng biến , nghịch niến và Tính giá trị nhỏ nhất , giá trị lớn nhất của hàm số : a) y = x2 trên [-3 ; 0] a) y = x2 trên [-3 ; 0] Giải : b) y  Trên [-3 ; 0]) có : y’ = 2x và y’ = 0  x = 0 Bảng biến thiên : x y 0 -3  y’ b)  0 9 y x 1 x 1 x 1 trên [3 ; 5] x 1 trên [3 ; 5] Trên [3 ; 5]) có : y’ = Bảng biến thiên : x  x  1  y  /   3;0   3;0 min y 0   3;0  2 3/2 0 max y 9 y’ < 0 2 5 3 y’ y 2 y  /  3;5 max y 2  3;5 min y   3;5 3 2 1. Định lý : Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó . Thừa nhận định lý này Ví dụ 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số : y = sin x trên   7    a)  ;  b)  ; 2  6 6  Giải : a) Vẽ đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn   ; 2  Tính các giá trị hàm số  6  y  7 Trên D  ;  Có : 1  6 6  1 7   1    7 y   y   1 y  2 6 6 2  2  6 O 1  2 |  6 |  2 |  | 6  | | 3 2 2 x Từ đó có : max y 1 D -1    1   y b) Tương tự xét trên E  ; 2  Có :  6   2   6    y   1 2 max y 1 E  3  y   1 2   min y  1 E min y  D y  2  0 1    2  1 2 2. Quy tắc tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tục trên một đoạn  x 2  2 y  x Cho hàm số : neu  2  x 1 neu 1  x 3 Có đồ thị như hình vẽ . Hãy chỉ ra giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-2 ; 3] và nêu cách tính . max y 3 y   2;3 min y  2   2;3 Nêu cách tính 3 -- y   2   2 2 -- y  0  2 y  1 1 1 -| | -1 -2 O -1 -- -2 -- | 1 y  3 3 | 2 3 x Có nhận xét (Đọc sgk trang 21 ) QUY TẮC : 1) Tìm các điểm x1 ; x2 ; … xj trên khoảng (a ; b) tại đó f’(x) = 0 hoặc f’(x) không xác định 2) Tìm f(a) ; f(x1) ; f(x2) ; … ; f(xj) ; f(b) 3) Tìm số lớn nhất M ; số nhò nhất m các số trên và có M max f  x  m min f  x   a ;b  Chú ý :  a ;b  Hàm số liên tục trên một khoảng có thể không có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên khoảng đó . Ví dụ : f  x   1 x Không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên khoảng ( 0 ; 1) Tuy nhiên cũng có những hàm số có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên 1 khoảng như ví dụ sau : Ví dụ 3 . Cho tấm tôn nhôm hình vuông cạnh a . Người ta cắt ở 4 góc 4 hình vuông bằng nhau , rồi gấp tấm nhôm như hình vẽ để được cái hộp không nắp . Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất .  a Giải : Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt bỏ  Thể tích khối hộp là :  a Ta phải tìm x0   0;   2 a  0  x    2  sao cho V(x0) có giá trị lớn nhất . V  x  x  a  2 x    a Có V’(x) = (a-2x)(a-6x) và trên  0;  2 Bảng biến thiên : x a 6 0 + V’(x) 0 a 2 ─ 2a 27 0  ; V’(x) = 0  x  a 6 Hàm số có 1 điểm cực trị duy nhất nên tại đó V(x) có giá trị lớn nhất .   0 a 2 2 2a 3 max V  x   27  a 0; 3 V(x) 0x  2 x a 6 *Ví dụ . Giải : f  x   Lập bảng biến thiên của hàm số 1 1  x2 Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định 2x Hàm số xác định với mọi x  R ; f ' x  2 2 x  1   f’ (x)= 0  x 0 Bảng biến thiên : x 0 -∞ ─ f’ +∞ 0 Vậy hàm số : + min f  x   1 R 0 0 x 0 f 1 Bài trắc nghiệm : A Bài tập về nhà : Giá trị lớn nhất của hàm số : y = x4 - 3x2 + 2 trên đọan [ 0 ; 3 ] 16 B 26 C 36 D Bài 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 trang 23 và 24 sgk GiẢI TÍCH 12 56