Nội dung

CHƯƠNG 2 ĐỊNH THỨC VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH ----- 1 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT 1. Định nghĩa định thức cấp n: Định nghĩa 1: Cho A là ma trận vuông cấp n, định thức của A là một số thực bằng ∑ ( −1) n Ký hiệu định thức: 1+ j a1 j M1 j j =1 ∆ = det A = aij = a11 a21 a12 ⋯ a1n a22 ⋯ a2 n ⋮ an1 ⋮ ⋱ ⋮ an 2 ⋯ ann Định thức con M1j là định thức của ma trận có được từ A bằng cách xóa đi dòng 1 và cột j Ví dụ: 1 2 3 A =  4 5 6  7 8 9  M13 = 4 5 7 8 2 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định nghĩa 2: Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức: 1+ j A1 j = ( −1) M1 j Khi đó định thức của ma trận vuông cấp n của A là: ∆ = ∑ a1 j A1 j n j =1 3 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Định lý 1 (Định lý Laplace) Phần phụ đại số của các phần tử dòng 1, ký hiệu là A1j, được định nghĩa qua các định thức con M1j bằng công thức: a) dòng i: (công thức khai triển định thức theo dòng i) ∆ = det A = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + ... + ain Ain = ∑ aij Aij n b) cột j: (công thức khai triển định thức theo cột j) j= =1 ∆ = det A = a1 j A1 j + a2 j A2 j + ... + anj Anj = ∑ aij Aij n Trong đó Aij là phần phụ đại số: i =1 Aij = ( −1) i+ j M ij 4 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT • Công thức tính định thức MT cấp 2 và 3 a) Định thức MT cấp 2: ∆ = det A = a b c d b) Định thức MT cấp 3: a11 a12 a13 ∆ = det A = a21 a22 a23 a31 a32 a33 a b  A=  c d   = ad − bc  a11 a12 A =  a21 a22  a31 a32 a11 a12 a21 a22 = a31 a32 a13  a23  a33  = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a13a22 a31 − a11a23a32 − a12 a215a33 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT Ví dụ: Tính định thức của ma trận  0 −a −b −d   a 0 − c −e   A= b c 0 0   0 0 d e Để giảm chi phí tính toán khi áp dụng định lý Laplace thường ta sẽ chọn khai triển theo dòng (cột) có nhiều số không nhất. Khai triển theo dòng 3. ∆ = det A = a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 + a34 A34 6 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT A31 = ( −1) 3+1 M 31 = e [be − cd ] − a −b − d M 31 = 0 e −c 0 −e = ( −1) 0 3+1 −b − d e = −c −e = e ( −b )( −e ) − ( −c )( − d )  = e [be − cd ] 7 A32 = ( −1) 3+ 2 0 M 32 = a d M 32 = −d [be − cd ] −b − d −c 0 −e = ( −1) 0 3+1 −b − d d = −c −e = d ( −b )( −e ) − ( −c )( − d )  = d [be − cd ] • Vậy ∆ = be ( be − cd ) − cd ( be − cd ) = ( be − cd ) 2 8 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 2. Tính định thức của các ma trận sau:  1 2 −1  3 −2    A= , B = 3 −2 1 .    1 4   2 1 1    Giải 3 −2 det A = = 3.4 − 1(−2) = 14 . 1 4 1 2 −1 det B = 3 −2 1 = [1.( −2).1 + 2.1.2 + 3.1.( −1) ] 2 1 1 9 − [ 2.( −2)( −1) + 3.2.1 + 1.1.1] = −12. 
Chương 2. Định thức – Hệ PT ĐSTT VD 3. Tính định thức của ma trận  0 0 3 −1  4 1 2 −1 . A= 3 1 0 2    2 3 3 5  Giải. det A = 0. A11 + 0. A12 + 3. A13 + (−1). A14 1+ 3 1+ 4 = 3( −1) det M 13 − ( −1) det M 14 4 1 −1 4 1 2 = 3 3 1 2 + 3 1 0 = −49 . 2 3 5 2 3 3 10