Nội dung

Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bài 4 : GIÁ TRỊ LỚN NHẤT GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ. 4.1 TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Định nghĩa: Cho hàm số xác định trên D • Số M gọi là giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = f (x ) trên D  f (x ) ≤ M ∀x ∈ D nếu  , ta kí hiệu M = max f (x ) . ∃ x ∈D  x 0 ∈ D : f (x 0 ) = M • Số m gọi là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số y = f (x ) trên D  f (x ) ≥ M ∀x ∈ D nếu  , ta kí hiệu m = min f (x ) . ∃ x ∈D  x 0 ∈ D : f (x 0 ) = m 2. Phương pháp tìm GTLN, GTNN của hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f (x ) trên D ta tính y ' , tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN. Chú ý: • Nếu hàm số y = f (x ) luôn tăng hoặc luôn giảm trên a; b    thì max f (x ) = max{f (a ), f (b)}; min f (x ) = min{f (a ), f (b)} . [a;b] [a;b] Nếu hàm số y = f (x ) liên tục trên a; b  thì luôn có GTLN, GTNN trên   đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau * Tính y ' và tìm các điểm x1, x 2 , ..., x n mà tại đó y ' triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm. * Tính các giá trị f (x1 ), f (x 2 ),..., f (x n ), f (a ), f (b ) .Khi đó • { ( ) ( ) ( ) ( ) ( )} min f ( x ) = min { f (a ) , f ( x ) , f ( x ) ...f ( x ) , f (b )} ( ) + max f x = max f a , f x 1 , f x 2 ...f x i , f b x ∈a ;b  + x ∈a ;b  x ∈a ;b  x ∈a ;b  1 2 i • Nếu hàm số y = f (x ) là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T . * Cho hàm số y = f (x ) xác định trên D . Khi đặt ẩn phụ t = u(x ) , ta tìm được t ∈ E với ∀x ∈ D , ta có y = g (t ) thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E . 95 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt * Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số. * Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min. 4.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 3x − 1 1. y = trên đoạn 0;2  . x −3 2. y = (x − 6) x 2 + 4 trên đoạn 0; 3  . ( 3. y = x 6 + 4 1 − x 2 ) 3 trên đoạn  −1;1 . −x 2 + 5x + 6 trên đoạn [ −1; 6] . Giải : 3x − 1 1. y = x −3 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0;2  . −8 * Ta có y ' = < 0, ∀x ∈  0;2  2 x −3 4. y = ( ) * Bảng biến thiên x y' y 0 2 − 1 3 −5 Từ bảng biến thiên suy ra : 1 max f x = khi x = 0 0;2 3 ( ) ( ) min f x = −5 khi x = 2  0;2  2. y = (x − 6) x 2 + 4 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn 0; 3  . 2x 2 − 6x + 4 * Ta có : y ' = , x ∈ 0; 3  2 x +4 96 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x = 1 y' = 0 ⇔  x = 2 y(1) = −5 5   y(0) = −12  ⇒ y(2) = −8 2  y(3) = −3 13    max y = −3 13 x ∈0;3    y = −12 xmin  ∈0;3 Vậy max y = −3 13 khi x = 3 , min y = −12 khi x = 0 . x ∈0;3  x ∈ 0;3  ( 3. y = x 6 + 4 1 − x 2 ) 3 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  −1;1 . Đặt t = x 2 , x ∈  −1;1 ⇒ t ∈ 0;1 3 Hàm số đã cho viết lại f t = t 3 + 4 1 − t , t ∈ 0;1 () * Ta có f ' t = 3t 2 () ( ) − 12 (1 − t ) = 3 ( −3t + 8t − 4 ) 2  2 t = , f f' t =0⇔ 3 t = 2  () () 2 2 4  = 3 9 () f 0 = 4, f 1 = 1 * Bảng biến thiên t 2 3 0 0 () − f' t 4 1 + 1 () f t 4 9 Từ bảng biến thiên suy ra : ( ) max f x = 4 khi x = 0  −1;1 4. y = ( ) min f x =  −1;1 4 2 khi x = ± 9 3 −x 2 + 5x + 6 97 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn [ −1; 6] . −2x + 5 * Ta có y ' = 2 −x 2 + 5x + 6 5 y ' = 0 ⇔ x = ∈ [ −1; 6] 2 5 7 y(−1) = y ( 6 ) = 0, y   = . 2 2 Vậy : min y = 0 khi x = −1, x = 6 và max y = x ∈  −1;6  x ∈  −1;6  Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số: y = 7 5 khi x = . 2 2 x + 1 + 9x 2 ,x > 0 . 8x 2 + 1 Giải : ( * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng 0; +∞ y= x + 9x 2 + 1 9x 2 + 1 − x 2 = = 8x 2 + 1 (8x 2 + 1) 9x 2 + 1 − x ( ) ) 1 9x 2 + 1 − x ( 0; +∞ ) khi hàm số đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng ( 0; +∞ ) . Hàm số đạt giá trị lớn nhất trên khoảng f (x ) = 9x 2 + 1 − x ( ) f' x = 9x 9x 2 + 1 −1 x > 0 1 f ' x = 0 ⇔ 9x 2 + 1 = 9x ⇔  ⇔x = 2 6 2 72x = 1 ( ) 2 2 1 1 3 2 1 khi x = ⇒ maxy = = khi x = . x >0 x >0 3 4 6 2 2 2 6 2 3 Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: ( ) min f x = 1. y = x + 4 − x 2 trên đoạn  −2;2  . x +1 2. y = trên đoạn x ∈  −1;2  . x2 + 1 Giải : 1. y = x + 4 − x 2 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  −2;2  . 98 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt x * Ta có y ' = 1 − 4 − x2 − x ( , x ∈ −2;2 4 − x2  4 − x 2 − x = 0  4 − x 2 = x y' = 0 ⇔  ⇔ x ∈ −2;2 x ∈ −2;2   = 4 − x2 ( ) ( ) ) 0 < x < 2 0 < x < 2 ⇔ ⇔x = 2 2 2 ⇔  2 4 − x = x x = 2   Bảng biến thiên x −2 2 y' y 2 0 − + −2 2 2 2 Từ bảng biến thiên , ta được ( ) max f x = 2 2 khi x = 2 x ∈ −2;2  ( ) min f x = −2 khi x = −2 x ∈ −2;2 x +1 trên đoạn x ∈  −1;2  . x2 + 1 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  −1;2  . −x + 1 * Ta có y ' = ⇒y' = 0 ⇔ x =1 3 2 x +1 2. y = ( ) * Bảng biến thiên . x −1 y' 1 0 + 2 − 2 y 3 5 5 0 Từ bảng biến thiên , ta được max y = 2 khi x = 1 x ∈ −1;2  min y = 0 khi x = −1 x ∈ −1;2 Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 trên đoạn  −2;1 .   99 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  −2;1 . Đặt g x = x − 3x + 1, x ∈  −2;1 ( ) 3 2 ( ) g ' x = 3x 2 − 6x . x = 0 g' x = 0 ⇔  x = 2 ∉  −2;1 g −2 = −19, g 0 = 1, g 1 = −1 , suy ra max g x = 1, min g x = −19 . ( ) ( ) () ()  −2;1   ( )  −2;1   ( ) x ∈  −2;1 ⇒ g x ∈  −19;1 ⇒ f x = g x ∈ 0;19  .     ( ) ( ) ( ) () () ( ) ( ) g 0 .g 1 < 0 ⇒ ∃ x 1 ∈ 0;1 sao cho g x 1 = 0. ( ) ( ) Vậy max f x = 19, min f x = 0.  −2;1    −2;1   Ví dụ 5: 1. Tìm a để giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 + 2x + a − 4 trên đoạn  −2;1 đạt giá trị nhỏ nhất . 2. Tìm giá trị p, q để giá trị lớn nhất của hàm số y = x 2 + px + q trên đoạn  −1;1 là bé nhất . Giải : 1. * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  −2;1 . ( 2 ) y = x 2 + 2x + a − 4 = x + 1 + a − 5 2 Đặt t = x + 1 , x ∈  −2;1 ⇒ t ∈ 0; 4  ( ) Ta có f (t ) = t + a − 5 , t ∈ 0; 4  max y ⇔ max f (t ) = max {f ( 0 ) , f {4}} = max { a − 5 , a − 1 } • a − 5 ≥ a − 1 ⇔ a ≤ 3 ⇒ max f (t ) = a − 5 = 5 − a • a − 5 ≤ a − 1 ⇔ a ≥ 3 ⇒ max f (t ) = a − 1 = a − 1 x ∈ −2;1 t ∈ 0;4  t ∈ 0;4  t ∈ 0;4  t∈ 0;4  t ∈ 0;4  100 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 5 − a ≥ 5 − 3 = 2, ∀a ≤ 3 Mặt khác  ⇒ max f t ≥ 2, ∀a ∈
t∈ 0;4  a − 1 ≥ 3 − 1 = 2, ∀a ≥ 3 () () Vậy giá trị nhỏ nhất của max f t = 2 khi a = 3 t∈ 0;4  ( ) 2. Xét hàm số f x = x 2 + px + q * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn  −1;1 ⇒ y = f x ( ) ( ) () Giả sử max y = f (α ) () f − 1 = 1 − p + q , f 0 = q, f 1 = 1 + p + q ⇒ f (1) + f (0) ≥ f (1) − f (0) = 1 + p , f (−1) + f (0) ≥ f (−1) − f (0) = 1 − p  1  f (1) > 2 ⇒f α >1 •p > 0 ⇒ 1 + p > 1 ⇒  2  f (0) > 1  2  1  f (−1) > 2⇒f α >1 •p < 0 ⇒ 1 − p > 1 ⇒  2  f (0) > 1  2   p max y = max  f (− ) ; f (−1) ; f (1)  x ∈ −1;1 2    p • p = 0 ⇒ f x = x 2 + q , f 0 = f  −  = q , f −1 = f 1 = 1 + q  2 Giá trị lớn nhất của y là một trong hai giá trị q ; 1 + q ( ) ( ) ( ) () ( ) () 1 1 1 1 ⇒ 1 + q > ⇒ f (±1) > ⇒ f (α ) > 2 2 2 2 1 1 1 1 •q < − ⇒ q > ⇒ f (0) > ⇒ f (α ) > 2 2 2 2 1 1 1 1 •q = − ⇒ f x = x 2 − ≤ ⇒ max f (x ) = ⇔ x = 0; x = ±1 2 2 2 2 •q > − ( ) ( ) cũng là giá trị nhỏ nhất của f α . Vậy p = 0, q = − 1 thoả mãn bài toán . 2 101 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Ví dụ 6 : Tìm các giá trị a, b sao cho hàm số y = ax + b có giá trị lớn nhất x2 + 1 bằng 4 và có giá trị nhỏ nhất bằng −1 . Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
. • Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 4 khi và chỉ khi ax + b ≤ 4, ∀x ∈
2  x2 + 1 4x − ax + 4 − b ≥ 0, ∀x ∈
⇔ 2  ax + b 4x − ax 0 + 4 − b = 0 : coù nghieä m x 0 ∃x 0 ∈
: 20 =4  0 x0 + 1  ∆ = a 2 − 16 4 − b ≤ 0 ⇔ ⇔ a 2 + 16b − 64 = 0 * 2 ∆ = a − 16 4 − b ≥ 0  • Hàm số có giá trị nhỏ nhất bằng 1 khi và chỉ khi ax + b ≥ −1, ∀x ∈
2  2 x + 1 x + ax + b + 1 ≥ 0, ∀x ∈
⇔ ⇔ 2 ax + b x + ax 0 + b + 1 = 0 : coù nghieä m x 0 ∃x 0 ∈
: 20 = −1  0 x0 + 1  ( ( ) ) () ∆ = a 2 − 4 b + 1 ≤ 0 ⇔ ⇔ a 2 − 4b − 4 = 0 2 ∆ = a − 4 b + 1 ≥ 0  ( ) (* *) ( ) Từ ( * ) và ( * * ) ta có hệ a + 16b − 64 = 0 ( * ) a = 16 a = −4 a = 4 ⇔⇔ ⇔ ∨    b=3 b = 3 b = 3 a − 4b − 4 = 0 ( * * )  2 2 2 a = −4 a = 4 Vậy giá trị a, b cần tìm là :  ∨ b=3 b=3   Ví dụ 7 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số: 1. y = sin 4 x + cos2 x + 2  π  2. y = x − sin 2x trên đoạn  − ; π   2  sin x + 1 3. y = 2 sin x + sin x + 1 sin 6 x cos x + cos6 x sin x 4. y = sin x + cos x 102 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Giải : 1. y = sin 4 x + cos2 x + 2 y = sin 4 x + cos2 x + 2 = sin 4 x − sin2 x + 3 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên
. Đặt t = sin2 x , 0 ≤ t ≤ 1 Xét hàm số f t = t 2 − t + 3 liên tục trên đoạn 0;1 () Ta có f ' t = 2t − 1 , t ∈ 0;1 () () f' t =0⇔t = 1 2  1  11 f 0 =f 1 =3 , f = 2 4 11 3 min y = min f t = =2 t ∈ 0;1 4 4 () () () () max y = m a x f t = 3 t ∈0;1  π  2. y = x − sin 2x trên đoạn  − ; π   2   π  * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên đoạn đoạn  − ; π   2  ( ) Ta có : f ' x = 1 − 2 cos 2x , − ( ) f' x =0⇔x =− π 2

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.