_dai_cuong_ly_4

pdf
Số trang _dai_cuong_ly_4 9 Cỡ tệp _dai_cuong_ly_4 234 KB Lượt tải _dai_cuong_ly_4 0 Lượt đọc _dai_cuong_ly_4 0
Đánh giá _dai_cuong_ly_4
4.7 ( 19 lượt)
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chủ đề liên quan

Nội dung

 A  tij   Mat K (m, n) m Đặt u j   tij bi , j  1,..., n . i 1 Khi đó ! f  L ( E , F ) f (a j )  u j , j , Hiển nhiên M ( f ,(a),(b))  A , nên  ( f )  A . Vậy  song ánh. Do đó L ( E , F )  Mat K (m, n) 7. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN a. ĐỊNH NGHĨA 1 : Cho phép biến đổi tuyến tính f  Hom( E ) . Cho vectơ u  E \ 0 và số   K . Vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  nếu f (u )   u . Thí dụ :  Cho f : 3  3 ( x, y , z )  ( x  y , y  z , z  x ) Ta thấy : f (1,1,1)  0  0(1,1,1) . Vậy u  (1,1,1)  3 là 1 vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng   0 .  Cho g :  2   2 ( x, y )  ( x  y , 2 x  2 y ) Ta thấy : v  (1, 2) là 1 vectơ riêng của g vì g (v)  g (1, 2)  (3,6)  3(1, 2)  3v . Giá trị riêng tương ứng là   3. 15 NHẬN XÉT : Giả sử (a) : a1,..., an là 1 cơ sở của E và A  M ( f ,(a )) . Nếu u  E là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  và tọa độ của u đối với (a ) là U, thì f (u )   u  AU  U b. ĐỊNH NGHĨA 2 : Cho ma trận vuông A cấp n trên trường K. Ta gọi vectơ u  (u1,..., un )  K n là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  nếu :  u0  u1   u1  A        .    K     un  un  Thí dụ : 2 1 1 Cho A   0 2 0  , vectơ u  (1, 1,1)  3 là vectơ   1 1 2  riêng của A vì : 1 2 1 A  1   2   2  1        1   2   1  MỆNH ĐỀ 17: Nếu u1,..., uk là các vectơ riêng của A ứng với các giá trị riêng khác nhau đôi một 1,..., k thì u1,..., uk độc lập tuyến tính. c. ĐA THỨC ĐẶC TRƯNG CỦA MA TRẬN VUÔNG  Cho ma trận vuông A cấp n. Khi đó : Đa thức P ( )  det( A   I n ) được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. 16 Thí dụ : 1 Đa thức đặc trưng của A    1 1  2  2    2 . P ( )  1  2 là 0   Nếu u là vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng  thì AU  U  ( A   I n )U  0 . Vậy hệ phương trình thuần nhất ( A   I n )U  0 có nghiệm không tầm thường (vì u  0 ), suy ra det( A   I n )  0 , nghĩa là  là nghiệm của đa thức đặc trưng P( )  det( A   I n ) của A. d. PHƯƠNG PHÁP TÌM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRị RIÊNG :  Tìm giá trị riêng : o Tính đa thức đặc trưng P( )  det( A   I n ) của A. o Giải phương trình P ( )  0 tìm nghiệm thực (nếu có), đó là các giá trị riêng cần tìm.  Tìm vectơ riêng : o Giả sử  là giá trị riêng của A. o Giải hệ thuần nhất ( A   I n )U  0 . Nghiệm khác 0 của hệ này là vectơ riêng của A. Tất nhiên, ta chỉ cần xác định họ nghiệm cơ bản của hệ là đủ để xác định tất cả vectơ riêng của A. Thí dụ : 0 0 1  Tìm vectơ riêng của A   0 1 0  .   1 0 0  Giải : 17 Đa thức đặc trưng  0 1 p ( )  0 1   0  (  1)2 (  1) . 1 0  Các giá trị riêng là   1 hay   1 .    1: Xét hệ phương trình  1 0 1   x   0 0 0   y  0 (I )     1 0 1  z  x  t  (I )   y  r   . z  t    Vậy các vectơ riêng ứng với   1là u  (t , r , t )  3 với r2  t2  0. Một họ nghiệm cơ bản là u1  (1,0,1), u2  (0,1,0) .    1: Xét hệ phương trình 1 0 1   x   0 2 0   y   0 ( II )    1 0 1   z   x  t  ( II )   y  0 z  t    Vậy các vectơ riêng ứng với   1 là u  (t ,0, t )  3 với t  0 . Một họ nghiệm cơ bản là u3  (1,0, 1) . 18 e. CHÉO HÓA MA TRẬN VUÔNG  MA TRẬN ĐỒNG DẠNG : Hai ma trận vuông A, B cấp n gọi là đồng dạng nếu có ma trận không suy biến T sao cho : B  T 1 AT . Như vậy 2 ma trận của cùng 1 phép biến đổi tuyến tính luôn luôn đồng dạng.  MA TRẬN CHÉO : Ma trận chéo là một ma trận vuông có dạng  a11 0  0 a 22      0  0 0   0        ann   Thí dụ : 1 0 0   2 0 0   0 1 0  ,  0 3 0       0 0 1   0 0 0   Nếu ma trận A đồng dạng với một ma trận chéo thì ta nói ma trận A chéo hóa được, và ma trận chéo đó gọi là dạng chéo của A.  Việc tìm ma trận chéo đồng dạng với A được gọi là chéo hóa ma trận A.  MỆNH ĐỀ 18 : Nếu trong không gian  n có 1 cơ sở gồm toàn vectơ riêng của A thì A chéo hóa được.  Thí dụ : 0 0 1  Ma trận A   0 1 0  là chéo hóa được, vì theo trên   1 0 0  19 ta có u1  (1,0,1), u2  (0,1,0) , u3  (1,0, 1) là 3 vectơ riêng của A tạo thành 1 cơ sở của 3 . Dạng chéo của A là : 1 0 1  0 0 1 1 0 1   1 0 0  2  2 B  T 1 AT   0 1 0   0 1 0  0 1 0   0 1 0      1  1         1 0 0 1 0 1 0 0 1     2 0  2    20 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 1. Cho E và F là các không gian vectơ trên trường K và ánh xạ f : E  F . Chứng minh 3 mệnh đề sau tương đương: a. f là ánh xạ tuyến tính. b. x, x  E  ,   K f ( x   x)   f ( x)   f ( x) . c. x, x  E   K f ( x  x)   f ( x)  f ( x) 2. Chứng minh các ánh xạ sau là ánh xạ tuyến tính: a. f : 3   2 ( x, y, z ) |  ( x  y  z , x  z ) b. f : 3   4 ( x, y, z ) |  ( z , y  z ,  x, x  y ) c. f : 3   3 ( x, y, z ) |  ( x  y, y  z , z  x) d. g : Mat (2)   Mat (2) a  b a b   0 |   c d  c  d 0     Trong các ánh xạ trên, cái nào là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu? 3. Cho các vectơ a1  (1,1,1), a2  (2, 1,1), a3  (0,3,1), a4  (0,1,1) và các vectơ b1  (2,1,1), b2  (5,2,0), b3  (1,0,2), b4  (1,2,0) trong 3 . Chứng minh có một phép biến đổi tuyến tính duy nhất f của 3 mà: f (ai )  bi , i  1, 2,3, 4 . 4. Tìm hạng của các ánh xạ tuyến tính ở câu 2). 5. Cho ánh xạ f : 3   3 ( x, y, z ) |  ( x  y, x  y, x) 21 a. Chứng minh f là phép biến đổi tuyến tính của 3 . b. Tìm một cơ sở của Imf và kerf. c. Cho u  ( x, y, z )  3 . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để u  Im f . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x,y,z để u  ker f . d. Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . e. Viết ma trận của f đối với cơ sở a1  (1,1,0), a2  (0, 1,1), a3  (1,0,1) của 3 . 6. Cho phép biến đổi tuyến tính f của  4 . Biết f biến cơ sở chính tắc e1, e2 , e3 , e4 của  4 thành các vectơ f (e1 )  (1,0, 1,0), f (e2 )  (1, 1,1, 1) , f (e3 )  (0,1,0,1) và f (e4 )  (2,1,0,1) . a. Tìm hạng của f. b. Cho u  ( x, y, z , t )   4 . Hãy xác định f (u ) theo x, y, z , t . c. Tìm cơ sở của Im f và ker f . d. Cho u  ( x, y, z , t )   4 . Tìm điều kiện cần và đủ đối với x, y, z , t để u  Im f , u  ker f . e. Viết ma trận của f đối với cơ sở a1  (1,1,0,0), a2  (0, 1,1,0), a3  (1,0,1,0), của  4 . a4  (1,1,0,1) 7. Cho phép biến đổi tuyến tính f : 3  3 ( x  y  z , x  my  z , x  y  m2 z ) trong đó m là một tham số thực. ( x, y , z ) |  A) a. Viết ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 . b. Tìm giá trị của m để hạng của f bằng 1. B) Trong phần sau, ta cho m  1 . a. Hãy tìm một cơ sở của Im f và một cơ sở của ker f . b. Viết ma trận của f đối với cơ sở a1  (1,1,0), a2  (0,1, 2), a3  (0,1, 1) . 22 8. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ 3 mà ma trận của f đối với cơ sở chính tắc của 3 là  1 3 1 A   3 5 1 .    3 3 1  1. Tính f ( x, y, z ) . 2. Chứng minh f là một đẳng cấu. 3. Viết ma trận của f đối với cơ sở a  (1,1,1), b  (1,1,0), c  (1,0, 3) . Có nhận xét gì về các vectơ a, b, c ? 9. Cho 2 phép biến đổi tuyến tính f và g của không gian vectơ E thỏa f  g  g  f . Chứng minh: a. g ( Kerf )  Kerf và g (Im f )  Im f . b. Nếu u là vectơ riêng của f và g (u )  0 thì g (u ) cũng là vectơ riêng của f. 10. Xét sự chéo hóa các ma trận sau, nếu được hãy chỉ ra cơ sở mà trong cơ sở đó ma trận có dạng chéo:  0 8 6   2 0 1   5 17 25  7 12 6   1 8 7  ,  1 1 0  ,  2 9 16  , 10 19 10  ,          1 14 11  1 1 3   1 5 9  12 24 13 1 1   0  a  1 a a  1 (a  ) .    a a a  1 23
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.