Nội dung

f (a1)  b1  b2 f (a2 )  b1  3b2 f (a3 )  3b1  b2 Nên 1 1 3 M ( f ,(ai ),(b j ))    1 3 1 c. GHI AXTT BẰNG MA TRẬN L Cho f  (E, F ) và (a) : a1,..., an là một cơ sở của E, (b) : b1,..., bm là một cơ sở của F. Giả sử ma trận của f đối với cơ sở (a ) và cơ sở (b) là  t11 t12  t1n  t  21 t22  t2n   A         tm1 tm 2  tmn   x1  Cho x  E và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở (a ) là X        xn   y1  Cho y  F có tọa độ đối với cơ sở (b) là Y        ym  Khi đó ta có : Mệnh đề 13 : y  f ( x)  Y  AX Chứng minh: 10 Với các giả thiết ở trên :  t11 t12  t1n   x1   y1  t   t t 2n  , X    , Y    , A   21 22            xn   ym     t t t mn   m1 m 2 ta có : m n n i 1 j 1 j 1  yibi  y  f ( x)  f (  x j a j )   x j f (a j )    x j  tij bi     x j tij  bi  j 1 i 1 i 1 j 1  n  yi  n m m n  x j tij , i  1,..., m  Y  AX . j 1 Thí dụ : Cho phép biến đổi tuyến tính f của 3 có ma trận đối với cơ sở chính tắc của 3 là : 1 0 1 A  2 1 0    1 0 0  a) Tính f (2,3,1) b) Xác định f ( x, y, z ) c) Tìm 1 cơ sở của Im f Bài làm : 2 a) Tọa độ của u đối với cơ sở chính tắc là X   3     1  Suy ra tọa độ của y  f (u ) đối với csct là  1 0 1  2  1  Y  AX   2 1 0   3   7        1 0 0   1   2  11 Vậy f (u )  (1,7, 2) . Tương tự, tọa độ của ( x, y, z ) đối với cơ sở chính tắc x là X   y     z  Suy ra tọa độ của f ( x, y, z ) đối với csct là  1 0 1  x   x  z  Y  AX   2 1 0   y    2 x  y        1 0 0   z   x  Vậy f (u )  ( x  z , 2 x  y, x) . b) c) Họ vectơ f (e1 )  (1, 2,1) f (e2 )  (0,1,0) f (e3 )  (1,0,0) là họ sinh của Im f . Và vì f (e1), f (e2 ), f (e3 ) độc lập tuyến tính nên đó là cơ sở của Im f . d. THAY ĐỔI CỦA MA TRẬN CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH KHI ĐỔI CƠ SỞ. Cho phép biến đổi tuyến tính f của không gian vectơ E. Xét 2 cơ sở ( ) : a1,..., an và (  ) : b1,..., bn của E. Giả sử : o ma trận chuyển từ ( ) sang (  ) là T o ma trận của f đối với cơ sở ( ) là A. o ma trận của f đối với cơ sở (  ) là B. Khi đó, ta có : Mệnh đề 14 : B  T 1AT 12 Thí dụ : Viết ma trận của phép biến đổi tuyến tính  3 f : 3  ( x , y , z )  ( x  y  z , y  z  x, y ) đối với cơ sở a1  (1,1, 2), a2  (1, 1, 1), a3  (0,1,1) . Bài làm : Cách 1 : Ta có : f (a1 )  (0, 2,1) f (a2 )  (1, 3, 1) f (a3 )  (0, 2,1) Tọa độ của ( x, y, z ) đối với cơ sở a1, a2 , a3 : ( x, y, z )  ( z  y )a1  ( x  y  z )a2  ( x  3 y  2 z )a3 Do đó :  1 2 1 Vậy M ( f ,(a))   1 1 1     4 6 4  Cách 2 : Xét cơ sở chính tắc e1, e2 , e3 . Ta có f (e1 )  (1, 1,0) f (e2 )  (1,1,1) f (e3 )  (1,1,0) Suy ra  1 1 1 M ( f ,(ei ))  A   1 1 1     0 1 0  Ma trận chuyển từ cơ sở (ei ) sang cơ sở (ai ) là 13 1 1 0  0 1 1  T  1 1 1   T 1  1 1 1      2 1 1  1 3 2   1 2 1 Do đó : M ( f ,(ai ))  B  T 1 AT   1 1 1     4 6 4  L 6. KHÔNG GIAN VECTƠ (E, F ) . Mệnh đề 15 : Tập hợp ( E , F ) có cấu trúc của một không gian vectơ với 2 phép toán sau: L   f , g  f  L L (E, F ) f  g : E  F x  f ( x)  g ( x) ( E , F )   K  f : E  F x   f ( x) Mệnh đề 16 : Cho 2 không gian vectơ E và F trên trường K, với dim E  n , dim F  m . Khi đó: L ( E , F )  Mat K (m, n) Chứng minh: Chọn 1 cơ sở (a) : a1,..., an của E và 1cơ sở (b) :b1,..., bm của F. Ta xét tương ứng: : L ( E , F )   Mat K (m, n) f  M ( f ,(a),(b)) Dễ thấy  là ánh xạ.   là ánh xạ tuyến tính vì M ( f   g ,(a),(b))   M ( f ,(a),(b))   M ( g ,(a ),(b)) 14  A  tij   Mat K (m, n) m Đặt u j   tij bi , j  1,..., n . i 1 Khi đó ! f  L ( E , F ) f (a j )  u j , j , Hiển nhiên M ( f ,(a),(b))  A , nên  ( f )  A . Vậy  song ánh. Do đó L ( E , F )  Mat K (m, n) 7. VECTƠ RIÊNG – GIÁ TRỊ RIÊNG – CHÉO HÓA MA TRẬN a. ĐỊNH NGHĨA 1 : Cho phép biến đổi tuyến tính f  Hom( E ) . Cho vectơ u  E \ 0 và số   K . Vectơ u được gọi là vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng  nếu f (u )   u . Thí dụ :  Cho f : 3  3 ( x, y , z )  ( x  y , y  z , z  x ) Ta thấy : f (1,1,1)  0  0(1,1,1) . Vậy u  (1,1,1)  3 là 1 vectơ riêng của f ứng với giá trị riêng   0 .  Cho g :  2   2 ( x, y )  ( x  y , 2 x  2 y ) Ta thấy : v  (1, 2) là 1 vectơ riêng của g vì g (v)  g (1, 2)  (3,6)  3(1, 2)  3v . Giá trị riêng tương ứng là   3. 15