Nội dung

NHẬN XÉT: f toàn ánh  Im f  F Thí dụ: Cho phép biến đổi tuyến tính f : 3   3 ( x, y , z )  ( x  2 y , y  z , x  y  z ) Tìm một cơ sở của Im f . Giải: Vì cơ sở tự nhiên e1  (1,0,0), e2  (0,1,0), e3  (0,0,1) là 1 họ sinh của 3 nên f (e1 )  (1,0,1), f (e2 )  (2,1, 1), f (e3 )  (0,1,1) là một họ sinh của Im f . Do đó, một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của f (e1 )  (1,0,1), f (e2 )  (2,1, 1), f (e3 )  (0,1,1) sẽ là 1 cơ sở của Im f . Ta có: f (e1 )  1 0 1  1 0 1 1 0 1  f (e2 )  2 1 1  0 1 1  0 1 1  ,       f (e3 )  0 1 1  0 1 1 0 0 0  suy ra một bộ phận độc lập tuyến tính tối đại của f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ) là f (e1 ), f (e2 ) . Đây là 1 cơ sở của Im f .  HẠNG CỦA AXTT: Cho f  Hom( E , F ) . Số chiều của Im f được gọi là hạng của f. Ký hiệu rank( f ) . Tóm lại: rank( f )  dim Im f b. Hạt nhân của ánh xạ tuyến tính. Cho ánh xạ tuyến tính f  Hom( E , F ) . 5 Tập hợp { x  E / f ( x)  0 } được gọi là hạt nhân của ánh xạ tuyến tính f. Ký hiệu: ker f Thí dụ: i) ker 0  E , kerId E  0 ii) Cho ánh xạ tuyến tính  : 3   2 ( x, y , z )  ( x  y , z  y )  (0,0,0)  (0,0)  0  (0,0,0)  ker   (1, 1, 1)  (0,0,0)  (1, 1, 1)  ker   Mệnh đề 7: ker f là một không gian con của E.  Mệnh đề 8: Cho ánh xạ tuyến tính f  Hom( E , F ) . f đơn ánh  ker f  0 . Chứng minh: (  ):  0  ker f  x  ker f f ( x)  0  f (0)  x  0 . Suy ra ker f  0 () x, x  E f ( x)  f ( x)  f ( x  x)  0  x  x  ker f  0  x  x  0  x  x .  Hệ quả 9: Cho f  Hom( E , F ) là một đơn cấu. Nếu a1,..., an  E độc lập tuyến tính thì f (a1),..., f (an ) độc lập tuyến tính. Chứng minh: n Xét i f (ai )  0 , suy ra i 1 n n n i 1 i 1 i 1 f (  i ai )  0    i ai  ker f  0    i ai  0   i  0 i . 6 Vậy f (a1),..., f (an ) độc lập tuyến tính.  Mệnh đề 10: Cho f  Hom( E , F ) và dim E  n . Ta có: dim E  dim Im f  dim ker f Chứng minh: Giả sử dim ker f  p  n và gọi a1,..., a p là một cơ sở của ker f . Bổ sung a1,..., a p đến một cơ sở a1,..., a p , b p 1,..., bn của E. Ta cần chứng minh f (b p 1),..., f (bn ) là cơ sở của Im f . Thật vậy:  Vì a1,..., a p , b p 1,..., bn là họ sinh của E nên ảnh của chúng: f (a1 ),..., f (a p ), f (b p 1 ),..., f (bn ) là họ sinh của Im f , nhưng vì f (a1)  ...  f (a p )  0 nên f (b p 1),..., f (bn ) sinh Im f .  Nếu 0   p 1 f (b p 1)     n f (bn ) ( i  K ) thì 0  f (  p 1b p 1     nbn ) . Suy ra  p 1b p 1     nbn  ker f   p 1b p 1     nbn  1a1   p a p  1a1   p a p   p 1b p 1     nbn  0  1     p   p 1   n  0 Do đó dim Im f  dim ker f  n  p  p  n  dim E . Mệnh đề 11: Cho f  Hom( E , F ) và dim E  dim F  n . Khi đó, 3 điều sau tương đương: i) f đơn cấu f toàn cấu ii) f đẳng cấu. iii) 7 Chứng minh: Ta biết dim Im f  dim E  dim ker f , do đó: o Nếu f đơn cấu thì dim ker f  0  dim Im f  dim E  Im f  F , vậy f toàn ánh. o Nếu f toàn ánh thì Im f  F  dim Im f  dim E  dim ker f  0 , vậy f đơn ánh. Thí dụ: Tìm cơ sở của ker  với  : 3   2 ( x, y , z )  ( x  y , z  y ) Giải: u  ( x, y, z )  3 u  ker    ( x, y, z )  0 x  y  0    yz0 x   y    y    u  ( y, y, y ), y   z  y  Suy ra một cơ sở của ker  là u1  (1,1,1) . 4. KHÔNG GIAN VECTƠ ĐẲNG CẤU a. ĐỊNH NGHĨA: Không gian vectơ E gọi là đẳng cấu không gian vectơ F nếu có một ánh xạ đẳng cấu từ E đến F. Ký hiệu: E  F b. TÍNH CHẤT: EE EFFE  E  F F GE G 8 c. Mệnh đề 12: Cho 2 không gian vectơ E và F. E  F  dim E  dim F . 5. MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH. a. Định nghĩa: Cho f  (E, F ) . Giả sử (a ) : a1,..., an là một cơ sở của E. (b) : b1,..., bm là một cơ sở của F. Giả sử m   f (a j )   tij bi  i 1   j  1,..., n Khi đó, ma trận L  t11 t12  t1n  t t22  t2n  21  A         tm1 tm 2  tmn  được gọi là ma trận của f đối với cơ sở (a) và cơ sở (b) . Ký hiệu M ( f ,(a ),(b)) . b. Thí dụ : Cho ánh xạ tuyến tính f : 3   2 ( x, y , z )  ( x  y  z , x  y ) Viết ma trận của f đối với cơ sở a1  (1,1,0), a2  (0, 2, 2), a3  (2,0, 2) của 3 và cơ sở b1  (1,1), b2  (1, 1) của  2 . Bài làm: Ta có : f (a1)  (2,0), f ( a2 )  (4, 2), f (a3 )  (4, 2) Và 9 f (a1)  b1  b2 f (a2 )  b1  3b2 f (a3 )  3b1  b2 Nên 1 1 3 M ( f ,(ai ),(b j ))    1 3 1 c. GHI AXTT BẰNG MA TRẬN L Cho f  (E, F ) và (a) : a1,..., an là một cơ sở của E, (b) : b1,..., bm là một cơ sở của F. Giả sử ma trận của f đối với cơ sở (a ) và cơ sở (b) là  t11 t12  t1n  t  21 t22  t2n   A         tm1 tm 2  tmn   x1  Cho x  E và giả sử tọa độ của x đối với cơ sở (a ) là X        xn   y1  Cho y  F có tọa độ đối với cơ sở (b) là Y        ym  Khi đó ta có : Mệnh đề 13 : y  f ( x)  Y  AX Chứng minh: 10