3333333333333333333333333333333333333333333333333Sáng kiến kinh nghiệm: skkn_mot_so_sai_lam_khi_tinh_tich_phan_6385

doc
Số trang 3333333333333333333333333333333333333333333333333Sáng kiến kinh nghiệm: skkn_mot_so_sai_lam_khi_tinh_tich_phan_6385 12 Cỡ tệp 3333333333333333333333333333333333333333333333333Sáng kiến kinh nghiệm: skkn_mot_so_sai_lam_khi_tinh_tich_phan_6385 219 KB Lượt tải 3333333333333333333333333333333333333333333333333Sáng kiến kinh nghiệm: skkn_mot_so_sai_lam_khi_tinh_tich_phan_6385 3 Lượt đọc 3333333333333333333333333333333333333333333333333Sáng kiến kinh nghiệm: skkn_mot_so_sai_lam_khi_tinh_tich_phan_6385 424
Đánh giá 3333333333333333333333333333333333333333333333333Sáng kiến kinh nghiệm: skkn_mot_so_sai_lam_khi_tinh_tich_phan_6385
4.2 ( 15 lượt)
Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu
Để tải xuống xem đầy đủ hãy nhấn vào bên trên
Chủ đề liên quan

Nội dung

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm phÇn I: ®Æt vÊn ®Ò I. lÝ do chän ®Ò tµi. Trong ®Ò thi tèt nghiÖp THPT , §¹i häc , Cao ®¼ng, THCN cña c¸c n¨m bµi to¸n tÝch ph©n hÇu nh kh«ng thÓ thiÕu nhng ®èi víi häc sinh THPT bµi to¸n tÝch ph©n lµ mét trong nh÷ng bµi to¸n khã v× nã cÇn ®Õn sù ¸p dông linh ho¹t cña ®Þnh nghÜa, c¸c tÝnh chÊt , c¸c ph¬ng ph¸p tÝnh cña tÝch ph©n. Trong thùc tÕ ®a sè häc sinh tÝnh tÝch ph©n mét c¸ch hÕt søc m¸y mãc ®ã lµ: t×m mét nguyªn hµm cña hµm sè cÇn tÝnh tÝch ph©n råi dïng ®Þnh nghÜa cña tÝch ph©n hoÆc ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n tõng phÇn mµ rÊt Ýt häc sinh ®Ó ý ®Õn nguyªn hµm cña hµm sè t×m ®îc cã ph¶i lµ nguyªn hµm cña hµm sè ®ã trªn ®o¹n lÊy tÝch ph©n hay kh«ng? phÐp ®Æt biÕn míi trong ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè cã nghÜa kh«ng? PhÐp biÕn ®æi hµm sè cã t¬ng ®¬ng kh«ng? v× thÕ trong qu¸ tr×nh tÝnh tÝch ph©n häc sinh thêng m¾c ph¶i nh÷ng sai lÇm dÉn ®Õn lêi gi¶i sai qua thùc tÕ gi¶ng d¹y nhiÒu n¨m t«i nhËn thÊy rÊt râ yÕu ®iÓm nµy cña häc sinh v× vËy t«i m¹nh d¹n ®Ò xuÊt s¸ng kiÕn : “ Mét sè sai lÇm thêng gÆp cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n”. Nh»m gióp häc sinh kh¾c phôc ®îc nh÷ng yÕu ®iÓm nªu trªn tõ ®ã ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n nãi riªng vµ ®¹t kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp nãi chung. XuÊt ph¸t tõ tÇm quan träng cña néi dung, tÝnh phøc t¹p hãa g©y nªn sù trë ng¹i cho häc sinh trong qu¸ tr×nh tiÕp cËn víi tÝch ph©n. Cïng víi sù tÝch luü kinh nghiÖm cã ®îc cña b¶n th©n qua mét sè n¨m gi¶ng d¹y. KÕt hîp víi nh÷ng kiÕn thøc NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 1 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm mµ t«i ®· lÜnh héi ®îc trong ch¬ng tr×nh §¹i häc To¸n mµ ®Æc biÖt lµ sù híng dÉn tËn t×nh cña c¸c thÇy c« gi¸o. T«i m¹nh d¹n chän ®Ò tµi nµy. Qua ®Ò tµi, t«i mong r»ng b¶n th©n m×nh sÏ t×m hiÓu s©u h¬n vÒ vÊn ®Ò nµy, tù ph©n lo¹i ®îc mét sè d¹ng to¸n tÝch ph©n, nªu lªn mét sè ph¬ng ph¸p gi¶i cho tõng d¹ng bµi tËp. Tõ ®ã gióp häc sinh cã thÓ dÔ dµng h¬n trong viÖc tÝnh tÝch ph©n. Qua néi dung nµy t«i hy väng häc sinh ph¸t huy ®îc kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, kh¸i qu¸t ho¸ qua c¸c bµi tËp nhá. Tõ ®ã h×nh thµnh cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy s¸ng t¹o trong häc tËp. II - NhiÖm vô nghiªn cøu : -C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n : PP ®æi biÕn sè, pp tÝch ph©n tõng phÇn, TÝch ph©n hµm sè lîng gi¸c, tÝch ph©n hµm sè v« tû... - Kü n¨ng tÝnh tÝch ph©n dïng b¶ng nguyªn hµm c¬ b¶n mµ häc sinh ®· häc. III. §èi tîng nghiªn cøu : - Häc sinh líp 12 BT.THPT - C¸c ph¬ng ph¸p tÝnh tÝch ph©n trong ch¬ng tr×nh to¸n líp 12. IV. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu : Tham kh¶o tµi liÖu, thu thËp tµi liÖu, ®óc rót, tæng kÕt kinh nghiÖm, kiÓm tra kÕt qu¶. Dù giê, kiÓm tra chÊt lîng häc sinh, nghiªn cøu hå s¬ gi¶ng d¹y, ®iÒu tra trùc tiÕp th«ng qua c¸c giê häc, thÓ hiÖn trªn nhiÒu ®èi tîng häc sinh kh¸c nhau : Häc sinh kh¸, giái vµ häc sinh trung b×nh vÒ m«n To¸n. V. Ph¹m vi nghiªn cøu : Giíi h¹n ë vÊn ®Ò gi¶ng d¹y Nguyªn hµm – TÝch ph©n trong ch¬ng tr×nh líp 12 ë THPT. NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 2 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm VI. ph¬ng ph¸p + Lùa chän c¸c vÝ dô c¸c bµi tËp cô thÓ ph©n tÝch tØ mØ nh÷ng sai lÇm cña häc sinh vËn dông ho¹t ®éng n¨ng lùc t duy vµ kü n¨ng vËn dông kiÕn thøc cña häc sinh ®Ó tõ ®ã ®a ra lêi gi¶i ®óng cña bµi to¸n. +Thùc nghiÖm s ph¹m PhÇn II : néi dung I. c¬ së khoa häc Dùa trªn nguyªn t¾c qu¸ tr×nh nhËn thøc cña con ngêi ®i tõ: “ c¸i sai ®Õn c¸i gÇn ®óng råi míi ®Õn kh¸i niÖm ®óng”, c¸c nguyªn t¾c d¹y häc vµ ®Æc ®iÓm qu¸ tr×nh nhËn thøc cña häc sinh. II. néi dung cô thÓ. Mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n Bµi tËp minh ho¹ 2 Bµi 1: TÝnh tÝch ph©n: I = dx (x  1) 2 2 2 * Sai lÇm thêng gÆp : I = dx  2  2 (x  1) 2 = d ( x  1) 1 ( x  1) =- x  1 2 2 2  2 1 = - 3 -1 4 =-3 * Nguyªn nh©n sai lÇm : Hµm sè y = 1 ( x  1) 2 kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1    sè kh«ng liªn tôc trªn   2;2 2;2 suy ra hµm nªn kh«ng sö dông ®îc c«ng thøc newt¬n – leibnitz nh c¸ch gi¶i trªn. * Lêi gi¶i ®óng NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 3 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 1 ( x  1) 2 Hµm sè y = kh«ng x¸c ®Þnh t¹i x= -1    sè kh«ng liªn tôc trªn   2;2 2;2 suy ra hµm do ®ã tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i. * Chó ý ®èi víi häc sinh: b Khi tÝnh  f ( x)dx cÇn chó ý xem hµm sè y=f(x) cã liªn tôc trªn a  a; b kh«ng? nÕu cã th× ¸p dông ph¬ng ph¸p ®· häc ®Ó tÝnh tÝch ph©n ®· cho cßn nÕu kh«ng th× kÕt luËn ngay tÝch ph©n nµy kh«ng tån t¹i. * Mét sè bµi tËp t¬ng tù : TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:  2 5 1/ dx  4 0 (x  4) 3/  14 dx . 1 3 cos x 0 1  x 3 .e x  x 2 dx x3 1 2/ x( x 2  1) 2 dx . 4/  2  Bµi 2 :TÝnh tÝch ph©n: I = dx 1  sin x 0 x * Sai lÇm thêng gÆp : §Æt t = tan 2 th× dx = 2dt 1 t2 1 t2 (1  t ) 2  2dt dx 1  sin x = (1  t ) = 2(t  1) d(t+1) = 2 2   I= do tan dx  0 1  sin x  2 =  2 x tan  1 2  0 = 2 t 1 +c  2 2  tan  1 tan 0  1 2 kh«ng x¸c ®Þnh nªn tÝch ph©n trªn kh«ng tån t¹i *Nguyªn nh©n sai lÇm: x x §Æt t = tan 2 x   0;   t¹i x =  th× tan 2 kh«ng cã nghÜa. NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 4 1 ; 1  sin x = Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm * Lêi gi¶i ®óng:  I = x  d   dx x  2 4  tan       x  2 4 0 1  cos x   0 cos 2    2  2 4  dx = 1  sin x 0     tan  4  4   0 = tan   2  * Chó ý ®èi víi häc sinh: §èi víi ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè khi ®Æt t = u(x) th× u(x) ph¶i lµ mét hµm sè liªn tôc vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn  a; b . *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: TÝnh c¸c tÝch ph©n sau:  1/ dx 2/ sin x 0  dx 1  cos x 0 4 Bµi 3: TÝnh I=  x 2  6x  9 dx 0 * Sai lÇm thêng gÆp: 4 I= 4  x 2  6x  9 dx 0 4 2 =   x  3 dx  x  3 d  x  3  0 0  x  3 2 2 4 0 1 9    4 2 2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: PhÐp biÕn ®æi  x  3 2 x  3 víi x   0;4 lµ kh«ng t¬ng ®¬ng. * Lêi gi¶i ®óng: 4 I=  x 2  6x  9 dx 0 4 4 2 =   x  3 dx x  0 =- 0  x  3 2 2 3 0   x  3 2 2 NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 3 4 3 d  x  3   x  3 d  x  3   x  3 d  x  3 0 4 3 3 9 1   5 2 2 5 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm * Chó ý ®èi víi häc sinh: 2n  f  x   2n  n 1, n  N   f  x b b 2n   f  x  I =   f  x  dx ta 2n a ph¶i xÐt dÊu hµm sè f(x) trªn  a; b råi a dïng tÝnh chÊt tÝch ph©n t¸ch I thµnh tæng c¸c ph©n kh«ng chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 2  1/ I =  1 sin 2 x dx ;  3 3  2 x 3  2x 2  x dx 4/ I = 0  1 2 0 2/ I =    x 3/ I =  tan  2 1   2 2 x  dx x  cot 2 x  2 6 dx 0 Bµi 4: TÝnh I = x 1 2 dx  2x  2 * Sai lÇm thêng gÆp: 0 I= d  x  1  x  1 1 2 1 arctan  x  1 0 1  arctan 1  arctan 0  4 * Nguyªn nh©n sai lÇm : Häc sinh kh«ng häc kh¸i niÖm arctgx trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi * Lêi gi¶i ®óng: §Æt : x+1 = tant    dx  1  tan 2 t dt §æi cËn: x -1 t 0 NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 0  4 6 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm Khi ®ã : I =  4  4 1  tan t dt  2  0 tan t  1 dt t  4 0  0  4 * Chó ý ®èi víi häc sinh: C¸c kh¸i niÖm arcsinx , arctgx kh«ng tr×nh bµy trong s¸ch gi¸o khoa hiÖn thêi. Häc sinh cã thÓ ®äc thÊy mét sè bµi tËp ¸p dông kh¸i niÖm nµy trong mét s¸ch tham kh¶o, v× c¸c s¸ch nµy viÕt theo s¸ch gi¸o khoa cò (tríc n¨m 2000). Tõ n¨m 2000 ®Õn nay do c¸c kh¸i niÖm nµy kh«ng cã trong s¸ch gi¸o khoa nªn häc sinh kh«ng ®îc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy n÷a. V× vËy khi gÆp b tÝch ph©n d¹ng 1 1  x 2 ta dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn sè ®Æt dx a t = tanx hoÆc t = cotx ; b 1  1 dx x2 a th× ®Æt x = sint hoÆc x = cost *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 1/ I = 8  4 x  16 dx x Bµi 5: 1 1 2 2/ I = TÝnh :I = 1 4 x3  1 0 x2 2x 3  2x  3 dx  x2 1 0 3/ I = 3 x 3 dx  1 0 dx *Suy luËn sai lÇm: §Æt x= sint , dx = costdt x3  1 x2 sin 3 t dx  dt cos t §æi cËn: x 0 1/4 t NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 0 ? 7 Trung t©m x8 S¸ng kiÕn kinh nghiÖm * Nguyªn nh©n sai lÇm: Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1 x2 th× thêng ®Æt x = sint nhng ®èi víi tÝch ph©n nµy sÏ gÆp khã kh¨n khi ®æi cËn cô thÓ víi x = 1 4 kh«ng t×m ®îc chÝnh x¸c t = ? * Lêi gi¶i ®óng: §Æt : t = x  dt = 1 x2 dx  tdt  xdx 1 x2 §æi cËn: 0 x 1/4 t 15 4 1 1 4 3 I = x 15 4 = dx 1 x2 0 15 4  1  t tdt  t  1  t dt  t  2 1 2  1 t3 3    1 15 4  15 15 15  2 33 15 2      192  3 192 3  4 * Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1 x2 th× thêng ®Æt x = sint hoÆc gÆp tÝch ph©n cña hµm sè cã chøa 1+x 2 th× ®Æt x = tant nhng cÇn chó ý ®Õn cËn cña tÝch ph©n ®ã nÕu cËn lµ gi¸ trÞ lîng gi¸c cña gãc ®Æc biÖt th× míi lµm ®îc theo ph¬ng ph¸p nµy cßn nÕu kh«ng th× ph¶i nghÜ ®Õnph¬ng ph¸p kh¸c. *Mét sè bµi tËp t¬ng tù: 1/ tÝnh I = 7  1 x 0 2 x 1 x3 2 2/ tÝnh I = dx dx x2 1 NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 8 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm 1 Bµi 6: TÝnh I = x2  1  4 dx  11  x 1   1 1  2  1 2 x   x  dx   2 1 2 1   1  1 x x   2 x2 x  1 1 * Sai lÇm thêng m¾c: I = 1 x  §Æt t = x+  dt  1   1   dx x2  §æi cËn: 2 I dt =2  2  2t = ln x -1 1 t -2 2 2 = ( 2 2 2 2 2 1 t 2  ln  1 t  2 2  2 2 2 )dt =(ln t  2 ln 2 2 2 2 2 1 2 -ln t  2 ) 2 2 ln t 2 t 2 2 2 1 x2 x 1  lµ sai v× trong   1;1 chøa 1 1  x4 2 x x2 * Nguyªn nh©n sai lÇm: x = 0 nªn kh«ng thÓ chia c¶ tö c¶ mÉu cho x = 0 ®îc * Lêi gi¶i ®óng: xÐt hµm sè F(x) = F’(x) = 1 2 2 1 2 2 ln x2  x 2 1 x2  x 2 1 (ln x2  x 2 1 x2  x 2 1 )  x2  1 x4 1 1 Do ®ã I = x2  1 1 x2  x 2 1 dx ln =  4 2 2 x2  x 2 1  11  x 1 1  1 ln 2  2 2 2 2 *Chó ý ®èi víi häc sinh: Khi tÝnh tÝch ph©n cÇn chia c¶ tö c¶ mÉu cña hµm sè cho x cÇn ®Ó ý r»ng trong ®o¹n lÊy tÝch ph©n ph¶i kh«ng chøa ®iÓm x = 0 . NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 9 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm III .HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn kinh nghiÖm: 1/KÕt qu¶ tõ thùc tiÔn: Ban ®Çu häc sinh gÆp khã kh¨n nhÊt ®Þnh trong viÖc gi¶i nh÷ng d¹ng tÝch ph©n nh ®· nªu.Tuy nhiªn gi¸o viªn cÇn híng dÉn häc sinh tØ mØ c¸ch ph©n tÝch mét bµi to¸n tÝch ph©n tõ hµm sè díi dÊu tÝch ph©n,cËn cña tÝch ph©n ®Ó lùa chän ph¬ng ph¸p phï hîp trªn c¬ së gi¸o viªn ®a ra nh÷ng sai lÇm mµ häc sinh thêng m¾c ph¶i trong qu¸ tr×nh suy luËn,trong c¸c bíc tÝnh tÝch ph©n nµy råi tõ ®ã híng c¸c em ®i ®Õn lêi gi¶i ®óng. Sau khi híng dÉn häc sinh nh trªn vµ yªu cÇu häc sinh gi¶i mét sè bµi tËp tÝch ph©n trong s¸ch gi¸o khoa Gi¶i TÝch Líp 12 vµ mét sè bµi trong c¸c ®Ò thi tuyÓn sinh vµo ®¹i häc,cao ®¼ng vµ trung häc chuyªn nghiÖp cña c¸c n¨m tríc th× c¸c em ®· thËn träng trong khi t×m vµ tr×nh bµy lêi gi¶i vµ ®· gi¶i ®îc mét lîng lín bµi tËp ®ã. 2/KÕt qu¶ thùc nghiÖm: S¸ng kiÕn ®îc ¸p dông trong n¨m häc 2009-2010. Bµi kiÓm tra trªn hai ®èi tîng líp 12A(49 häc sinh) kh«ng ¸p dông s¸ng kiÕn vµo 12B(47 häc sinh) ¸p dông s¸ng kiÕn nh sau: XÕp lo¹i giái kh¸ Tb YÕu Đèi tîng 12A 50% 40% 10% 0% 12B 0% 0% 40% 60% Sau khi thùc hiÖn s¸ng kiÕn häc sinh häc tËp rÊt tÝch cùc vµ høng thó ®Æc biÖt lµ khi gi¶i bµi to¸n tÝch ph©n c¸c em tÝnh tÝch ph©n rÊt thËn träng vµ hiÓu b¶n chÊt cña vÊn ®Ò NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 10 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm chø kh«ng tÝnh rËp khu«n mét c¸ch m¸y mãc nh tríc, ®ã lµ viÖc thÓ hiÖn viÖc ph¸t huy tÝnh tÝch cùc, chñ ®éng, s¸ng t¹o cña häc sinh. phÇn III : kÕt luËn – kiÕn nghÞ I. kÕt luËn: Nghiªn cøu, ph©n tÝch mét sè sai lÇm cña häc sinh khi tÝnh tÝch ph©n cã ý nghÜa rÊt lín trong qu¸ tr×nh d¹y häc v× khi ¸p dông s¸ng kiÕn nµy sÏ gióp häc sinh nh×n thÊy ®îc nh÷ng ®iÓm yÕu vµ nh÷ng hiÓu biÕt cha thËt thÊu ®¸o cña m×nh vÒ vÊn ®Ò nµy tõ ®ã ph¸t huy ë häc sinh t duy ®éc lËp, n¨ng lùc suy nghÜ tÝch cùc chñ ®éng cñng cè trau råi thªm kiÕn thøc vÒ tÝnh tÝch ph©n tõ ®ã lµm chñ ®îc kiÕn thøc, ®¹t ®îc kÕt qu¶ cao trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ c¸c kú thi tuyÓn sinh vµo c¸c trêng ®¹i häc, cao ®¼ng , THCN II . KiÕn nghÞ: HiÖn nay Trung T©m GDTX Yªn phong ®· cã mét sè s¸ch tham kh¶o tuy nhiªn cha cã mét s¸ch tham kh¶o nµo viÕt vÒ sai lÇm cña häc sinh khi gi¶i to¸n. V× vËy Trung T©m cÇn quan t©m h¬n n÷a vÒ viÖc trang bÞ thªm s¸ch tham kh¶o lo¹i nµy ®Ó häc sinh ®îc t×m tßi vÒ nh÷ng sai lÇm thêng m¾c khi gi¶i to¸n ®Ó c¸c em cã thÓ tr¸nh ®îc nh÷ng sai lÇm ®ã trong khi lµm bµi tËp . NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 11 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm tµi liÖu tham kh¶o 1. Híng dÉn «n tËp m«n To¸n líp 12 ( Ph¹m VÜnh Phóc- Chñ biªn - NXB Gi¸o dôc ViÖt Nam - 2009) 2. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n vµ Gi¶i tÝch tæ hîp ( NguyÔn Cam – NXB TrÎ ) 3. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n (TrÇn §øc Huyªn – TrÇn ChÝ Trung – NXB Gi¸o Dôc) 4. S¸ch gi¸o khoa Gi¶i tÝch 12 (TrÇn V¨n H¹o - Tæng Chñ biªn – NXB GD – 2008) 5. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n TÝch ph©n ( Lª Hång §øc – Lª BÝch Ngäc – NXB Hµ Néi – 2005) 6. Sai lÇm thêng gÆp vµ c¸c s¸ng t¹o khi gi¶i to¸n ( TrÇn Ph¬ng vµ NguyÔn §øc TÊn – NXB Hµ Néi – 2004) môc lôc trang phÇn I : më ®Çu 1 I. §Æt vÊn ®Ò 1 II. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 1 phÇn II : Néi dung 2 I. C¬ së khoa häc 2 II. Néi dung cô thÓ 2 III. HiÖu qu¶ cña s¸ng kiÕn 8 NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 12 Trung t©m S¸ng kiÕn kinh nghiÖm phÇn III: KÕt luËn - kiÕn nghÞ NguyÔn Kh¾c Hµo GDTX Yªn Phong 9 13 Trung t©m
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.