Nội dung

ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 1 I. Phần chung cho cả hai ban Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 2  x  x2 7x  1 1) lim 2) lim 2x 4  3x  12 3) lim x1 x  x 1 x3 x  3 Bài 2. 1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó:  x2  5x  6  khi x  3 f ( x)   x  3 2 x  1 khi x  3 4) lim x3 x 1  2 9  x2 2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x3  5x2  x  1  0 . Bài 3. 1) Tìm đạo hàm của các hàm số sau: 3 a) y  x x2  1 b) y  (2x  5)2 x 1 2) Cho hàm số y  . x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = – 2. b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với d: y  x2 . 2 Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA = a 2 . 1) Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là những tam giác vuông. 2) Chứng minh rằng: (SAC)  (SBD) . 3) Tính góc giữa SC và mp (SAB) . 4) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) . II . Phần tự chọn. 1 . Theo chương trình chuẩn. Bài 5a. Tính x3  8 lim x 2 x2 .  11x  18 1 3 x  2 x2  6 x  8 . Giải bất phương trình y /  0 . 3 2. Theo chương trình nâng cao. Bài 6a. Cho y  Bài 5b. Tính lim x  2x  1 .  12x  11 x2  3x  3 Bài 6b. Cho y  . Giải bất phương trình y /  0 . x 1 x1 x2 --------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 SBD :. . . . . . . . . . ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 1 Bài 1. 2  x  x2 ( x  2)( x  1) 1) lim = lim  lim( x  2)  3 x1 x1 x1 x 1 ( x  1) 2) lim x  3) lim x3 2x4  3x  12 = lim x2 2  x 3 12    x x4 7x  1 x3 Ta có: lim ( x  3)  0, lim (7x  1)  20  0; x  3  0 khi x  3 nên I     x3 4) lim x3 x3 x 1  2 9  x2 x3 = lim x3 (3  1  lim x)(3  x)( x  1  2) x3 ( x  3)(  x  1  2) 1 24 Bài 2.  x2  5x  6  1) Xét tính liên tục của hàm số sau trên tập xác định của nó: f ( x)   x  3 2 x  1  Hàm số liên tục với mọi x  3.  Tại x = 3, ta có: + f (3)  7 + lim f ( x)  lim (2x  1)  7   x3 x3 + lim f ( x)  lim   x3 x3 khi x  3 khi x  3 ( x  2)( x  3)  lim ( x  2)  1 ( x  3) x3  Hàm số không liên tục tại x = 3. Vậy hàm số liên tục trên các khoảng (;3), (3; ) . 2) Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất hai nghiệm : 2 x3  5x2  x  1  0 . Xét hàm số: f ( x)  2x3  5x2  x  1  Hàm số f liên tục trên R. Ta có: f (0)  1  0 +   PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c1  (0;1) . f (1)  1  f (2)  1  0 +   PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm c2  (2;3) . f (3)  13  0  Mà c1  c2 nên PT f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm. Bài 3. 1) a) y  x x2  1  y '  2 x2  1 x2  1 3 b) y  (2x  5) 2  y'   12 (2x  5)3 x 1 2  y  ( x  1) x 1 ( x  1)2 a) Với x = –2 ta có: y = –3 và y ( 2)  2  PTTT: y  3  2( x  2)  y  2x  1. 2) y  b) d: y  x2 1 1 có hệ số góc k   TT có hệ số góc k  . 2 2 2 2 x  1 1 2 1 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có y ( x0 )      0 2 ( x0  1)2 2  x0  3 1 1 x . 2 2 1 7 + Với x0  3  y0  2  PTTT: y  x  . 2 2 Bài 4. 1)  SA  (ABCD)  SA  AB, SA  AD S  Các tam giác SAB, SAD vuông tại A.  BC  SA, BC  AB  BC  SB  SBC vuông tại B.  CD  SA, CD  AD  CD  SD  SCD vuông tại D. 2) BD  AC, BD  SA  BD  (SAC)  (SBD)  (SAC). + Với x0  1  y0  0  PTTT: y     BC  (SAB)  SC,(SAB)  BSC 3) A D  SAB vuông tại A  SB2  SA2  AB2  3a2  SB = O a 3 C B  SBC vuông tại B  tan BSC  BC 1  BSC  600  SB 3 4) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.    Ta có: (SBD )  ( ABCD )  BD , SO  BD, AO  BD  (SBD ),( ABCD )  SOA  SAO vuông tại A  tan SOA  SA 2 AO x2  8 Bài 5a. I  lim x2 x2  11x  18  x2  11x  18  ( x  2)( x  9)  0,  2  x  11x  18  ( x  2)( x  9)  0,  lim ( x2  8)  12  0 (* )  x2 2 Ta có: lim ( x  11x  18)  0 , x2 Từ (1) và (*)  I 1  lim x2 Từ (2) và (*)  I 2  lim x2 Bài 6a. y  x2  8 x2  11x  18 x2  8 x2  11x  18 khi x  2 khi x  2 (1) (2)   .   1 3 x  2x2  6x  18  y '  x2  4 x  6 3 BPT y '  0  x2  4x  6  0  2  10  x  2  10 Bài 5b. lim x  2x  1 x1 x2 Bài 6b. y   12x  11  lim ( x  2x  1)  x  2x  11 x1 ( x2  12x  11)  x  2x  1 = lim x1 ( x  11) x2  3x  3 x2  2 x  y'  x 1 ( x  1)2  2 x2  2 x x  0 BPT y  0   0   x  2x  0   . 2 x  2 ( x  1) x  1 ======================= 3 ( x  1) x 2x  1 0 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 2 I . Phần chung cho cả hai ban. Bài 1. Tìm các giới hạn sau: 1) lim x x2  x  1  3x 2x  7 2) lim (2x3  5x  1) 2x  11  x 5 5  x 3) lim x  4) lim x 0 x3  1  1 x2  x . Bài 2 .  x3  1  1) Cho hàm số f(x) = f ( x)   x  1 khi x  1 . Xác định m để hàm số liên tục trên R.. 2m  1 khi x  1 2) Chứng minh rằng phương trình: (1  m2 ) x5  3x  1  0 luôn có nghiệm với mọi m. Bài 3. 1) Tìm đạo hàm của các hàm số: a) y  2  2 x  x2 x2  1 b) y  1 2tan x . 2) Cho hàm số y  x 4  x2  3 (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C): a) Tại điểm có tung độ bằng 3 . b) Vuông góc với d: x  2y  3  0 . Bài 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC, đôi một vuông góc và OA = OB = OC = a, I là trung điểm BC 1) Chứng minh rằng: (OAI)  (ABC). 2) Chứng minh rằng: BC  (AOI). 3) Tính góc giữa AB và mặt phẳng (AOI). 4) Tính góc giữa các đường thẳng AI và OB . II . Phần tự chọn. 1 . Theo chương trình chuẩn . 1 2 n1 Bài 5a. Tính lim(   ....  ). 2 2 n 1 n 1 n2  1 Bài 6a. Cho y  sin2 x  2 cos x . Giải phương trình y / = 0 . 2 . Theo chương trình nâng cao . Bài 5b. Cho y  2x  x2 . Chứng minh rằng: y3 .y //  1  0 . Bài 6b . Cho f( x ) = f ( x)  64 60   3x  16 . Giải phương trình f  ( x)  0 . x3 x --------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 SBD :. . . . . . . . . . ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 2 Bài 1:   1 1 1 1 x   1   3   3 x 2   x x x x2 x2  x  1  3x  1 1) lim  lim  lim  x x x 2x  7   7 7 x 2  x2   x x    5 1  2) lim  2 x3  5x  1  lim x3  2      2 x x x x3   x 1 2x  11 x5 5  x  lim  5  x   0  x5 Ta có:  lim  2 x  11  1  0   x 5 x  5  5 x  0  3) lim 4) lim x 0 x3  1  1 x2  x 2 x  11   x5 5  x  lim x3  lim x 0 x  x  1    lim x3  1  1 x 0 x2  x  1  x3  1  1 0 Bài 2: 1)  Khi x  1 ta có f ( x)  x3  1  x2  x  1  f(x) liên tục  x  1. x 1  Khi x = 1, ta có:  f (1)  2m  1  f(x) liên tục tại x = 1  f (1)  lim f ( x)  2m  1  3  m  1 2 lim f ( x)  lim( x  x  1)  3 x1  x1 x1  Vậy: f(x) liên tục trên R khi m = 1. 2) Xét hàm số f ( x)  (1  m2 ) x5  3x  1  f(x) liên tục trên R. Ta có: f ( 1)  m2  1  0,  m; f (0)  1  0,  m  f (0). f (1)  0, m  Phương trình có ít nhất một nghiệm c  (0;1) , m Bài 3: 1) a) y  2  2 x  x 2 x2  1  y'  2 x2  2 x  2 ( x2  1)2 b) y  1  2tan x  y '  1  tan2 x 1  2tan x 2) (C): y  x4  x2  3  y  4x3  2x x  0 a) Với y  3  x  x  3  3   x  1   x  1 4 2  Với x  0  k  y (0)  0  PTTT : y  3  Với x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2x  1  Với x  1  k  y (1)  2  PTTT : y  2( x  1)  3  y  2 x  1 2 1  Tiếp tuyến có hệ số góc k  2 . 2 Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: y ( x0 )  2  4x03  2 x0  2  x0  1 ( y0  3 ) b) d: x  2y  3  0 có hệ số góc kd    PTTT: y  2( x  1)  3  y  2x  1. Bài 4: 1)  OA  OB, OA  OC  OA  BC (1) A  OBC cân tại O, I là trung điểm của BC  OI  BC (2) Từ (1) và (2)  BC  (OAI)  (ABC)  (OAI) 2) Từ câu 1)  BC  (OAI) K O C I 3)    BC  (OAI)  AB,( AOI )  BAI  BI  B BC a 2  2 2  ABC đều  AI   ABI vuông tại I  cos BAI  BC 3 a 2 3 a 6   2 2 2 AI 3   BAI  300  AB,( AOI )  300 AB 2       4) Gọi K là trung điểm của OC  IK // OB  AI ,OB  AI , IK  AIK  AOK vuông tại O  AK 2  OA2  OK 2   AI 2  6a2 4  IK 2  a2 4 5a2 4  AIK vuông tại K  cos AIK  IK 1  AI 6  1 2 n1  1 Bài 5a: lim    ...  lim (1  2  3  ...  ( n  1))  n2  1  n2  1  n2  1 n2  1 1 1 1 ( n  1) 1 ( n  1)  ( n  1)n n 1 = lim  lim  lim 2 2 2 2 2 n 1 2(n  1) 2 n2 Bài 6a: y  sin2x  2cos x  y  2cos2x  2sin x    x  2  k2 sin x  1   x     k2 PT y '  0  2 cos2x  2sin x  0  2sin2 x  sin x  1  0    1 sin x    6  2  7  x  6  k2  Bài 5b: y  2 x  x2  y '  1 x 2 x  x2 Bài 6b: f ( x)  1  y"   y3y " 1  0 (2x  x2 ) 2x  x2 64 60 192 60   3x  16  f ( x)    3 x3 x x 4 x2 2  4 192 60  x  2 PT f ( x)  0     3  0   x  20x  64  0   4 2  x  4 x x x  0 ===================== 3 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 3 Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) lim ( x3  x2  x  1) 2) lim  x 4) lim x1 3 2 3 2 n 2x  5x  2x  3 x3 4 x 3x  2 x 1 5) lim  13x  4x  3  3 3x  2  2  Bài 2. Cho hàm số: f ( x)   x  2  ax  1  4 3) lim x2 x22 x 7 3 n 4 5 2n  3.5n khi x > 2 . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 2. khi x  2 Bài 3. Chứng minh rằng phương trình x5  3x 4  5x  2  0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt trong khoảng (–2; 5). Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau: 5x  3 1) y  2) y  ( x  1) x2  x  1 2 x  x 1 3) y  1 2tan x 4) y  sin(sin x) Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có ABC vuông tại A, góc B = 600 , AB = a; hai mặt bên (SAB) và (SBC) vuông góc với đáy; SB = a. Hạ BH  SA (H  SA); BK  SC (K  SC). 1) Chứng minh: SB  (ABC) 2) Chứng minh: mp(BHK)  SC. 3) Chứng minh: BHK vuông . 4) Tính cosin của góc tạo bởi SA và (BHK). x2  3x  2 (1). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp x 1 tuyến đó song song với đường thẳng d: y  5x  2 . Bài 6. Cho hàm số f ( x)  Bài 7. Cho hàm số y  cos2 2x . 1) Tính y , y . 2) Tính giá trị của biểu thức: A  y  16y  16y  8 . --------------------Hết------------------Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 SBD :. . . . . . . . . . ĐÁP ÁN ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 3 Bài 1:  1 1 1 1) lim (  x3  x2  x  1)  lim x3  1       2 x x x x x3    lim ( x  1)  0  x1 3x  2 3x  2 2) lim . Ta có:  lim (3x  1)  2  0  lim      x1 x  1 x1 x  1  x1  x  1  x  1  0 3) lim x 2 4) lim x2 2 x73  lim ( x  2)  x  7  3 x2 ( x  2) 2x3  5x2  2x  3 x3 4 x3  13x2  x  2  2 x7 3  lim x 2  x22 3 2 2x2  x  1 11  x3 4x2  x  1 17  lim  4x  3 n  4  5  1 n n 4 5 1 5) lim  lim    n 3 2n  3.5n  2  3  5    3 3x  2  2  Bài 2: f ( x)   x  2 ax  1  4 khi x > 2 khi x  2  f (2)  2a  Ta có: 3  lim f ( x)  lim x2 x2 1 4  1 1  lim f ( x)  lim  ax    2a  4 4 x 2 x2  3x  2  2  lim x2 x2 3( x  2) ( x  2)  3 (3x  2)2  23 (3x  2)  4 Hàm số liên tục tại x = 2  f (2)  lim f ( x)  lim f ( x)  2a    x2 x2   1 4 1 1   a0 4 4 Bài 3: Xét hàm số f ( x)  x5  3x4  5x  2  f liên tục trên R. Ta có: f (0)  2, f (1)  1, f (2)  8, f (4)  16  f (0). f (1)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c1  (0;1) f (1). f (2)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c2  (1;2) f (2). f (4)  0  PT f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm c3  (2; 4)  PT f(x) = 0 có ít nhất 3 nghiệm trong khoảng (–2; 5). Bài 4: 1) y  5x2  6x  8  y  x2  x  1 ( x2  x  1)2 5x  3 4x2  5x  3 2) y  ( x  1) x2  x  1  y  2 x2  x  1 2 3) y  1  2tan x  y '  1  2tan2 x 4) y  sin(sin x)  y '  cos x.cos(sin x) 1  2tan x Bài 5: 1) S  SAB   ABC    SBC    ABC    SB   ABC   SAB   SBC   SB K B H C 600 2) 3) 4) A CA  AB, CA  SB  CA  (SAB)  CA  BH Mặt khác: BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC Mà BK  SC  SC  (BHK) Từ câu 2), BH  (SAC)  BH  HK  BHK vuông tại H. Vì SC  (BHK) nên KH là hình chiếu của SA trên (BHK)  SA,( BHK )   SA, KH   SHK   Trong ABC, có: AC  AB tan B  a 3; BC2  AB2  AC2  a2  3a2  4a2 Trong SBC, có: SC2  SB2  BC2  a2  4a2  5a2  SC  a 5 ; SK  Trong SAB, có: SH  SB2 a 5  SC 5 SB2 a 2  SA 2 3a2 a 30  HK  10 10 HK 60 15  cos SA,( BHK )  cos BHK    SH 10 5 2 2 x  3x  2 x  2x  5 Bài 6: f ( x)   f  ( x)  x 1 ( x  1)2 Tiếp tuyến song song với d: y  5x  2 nên tiếp tuyến có hệ số góc k  5 . Trong BHK, có: HK 2  SH 2  SK 2    Gọi ( x0 ; y0 ) là toạ độ của tiếp điểm. Ta có: f ( x0 )  5  x02  2x0  5 ( x0  1)2  Với x0  0  y0  2  PTTT: y  5x  2  Với x0  2  y0  12  PTTT: y  5x  22 Bài 7: y  cos2 2x = 1 cos4x  2 2 1) y  2sin4x  y "  8cos4x  y '"  32sin 4x 2) A  y  16y  16y  8  8cos4x ========================== 3 x  0  5   0  x0  2 ĐỀ ÔN TẬP HỌC KÌ 2 Môn TOÁN Lớp 11 Thời gian làm bài 90 phút Đề số 4 Bài 1. Tính các giới hạn sau: 1) lim ( 5x3  2x2  3) x ( x  3)3  27 x 0 x 2) lim  x1 3x  2 x 1 3) lim x2 2 x x73  3n  4n  1  5) lim    2.4n  2n    4) lim  x 1  khi x  1 Bài 2. Cho hàm số: f ( x)   x  1 . Xác định a để hàm số liên tục tại điểm x = 1. 3ax khi x  1  Bài 3. Chứng minh rằng phương trình sau có it nhất một nghiệm âm: x3  1000x  0,1  0 Bài 4. Tìm đạo hàm các hàm số sau: 1) y  2 x2  6 x  5 2x  4 2) y  x2  2 x  3 2x  1 3) y  sin x  cos x sin x  cos x 4) y  sin(cos x) Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = 2a. 1) Chứng minh (SAC)  (SBD ) ; (SCD )  (SAD ) 2) Tính góc giữa SD và (ABCD); SB và (SAD) ; SB và (SAC). 3) Tính d(A, (SCD)); d(B,(SAC)) Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x3  3x2  2 : 1) Tại điểm M ( –1; –2) 1 2) Vuông góc với đường thẳng d: y   x  2 . 9 x2  2 x  2 Bài 7. Cho hàm số: y  . Chứng minh rằng: 2y.y  1  y2 . 2 ––––––––––––––––––––Hết––––––––––––––––––– Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . SBD :. . . . . . . . . . 1